하리쉬-찬드라의 규칙성 정리

Harish-Chandra's regularity theorem

수학에서, Harish-Chandra (1963년)에 의해 소개된 Harish-Chandra의 규칙성 정리는 반실행된 Lie 그룹에 대한 모든 불변적 eigend 분포, 특히 Hilbert 공간에 대한 불가해한 단일적 표현의 모든 성격은 지역적으로 통합될 수 있는 기능에 의해 주어진다.Harish-Chandra (1978년, 1999년)는 반이행 p-adic 그룹에 대해 유사한 정리를 증명했다.null

Harish-Chandra(1955, 1956년)는 이전에 불변성 eigendant 분포가 그룹의 정규 요소에서 분석된다는 것을 보여주었고, 이러한 요소에서 그것이 타원 미분 방정식의 해결책임을 보여주었다.문제는 그것이 집단의 단수 원소에 특이점을 가지고 있을 수 있다는 것이다; 규칙성 정리는 이러한 특이점들이 너무 심하지 않다는 것을 암시한다.null

성명서

그룹 G 또는 그것의 Lie 대수에서 분포가 G에 의한 결합에 따라 불변인 경우 불변성이라고 한다.

G군이나 그 Lie 대수에서 분포하는 것을 G의 보편적 포락 대수 중심(G의 좌우 불변 미분 연산자와 동일시)의 고유 벡터라면 Eigend 분포라고 한다.

Harish-Chandra의 규칙성 정리는 반실행 그룹이나 Lie 대수에서 불변성 에겐드 분포는 국소적으로 통합할 수 있는 함수라고 명시하고 있다.그것이 에겐드 분포라는 조건은 만능포함대수의 중심 아래 그것의 이미지가 유한한 차원이라는 조건으로 약간 완화될 수 있다.규칙성 정리는 또한 각 카르탄 하위격자에서 분포를 Weyl 문자 공식의 분모와 매우 유사한 함수 Δ로 나눈 유한한 지수 합으로 작성할 수 있음을 암시한다.null

증명

정규성 정리에 대한 하리쉬-찬드라의 원래 증명은 5개의 논문(Harish-Chandra 1964a, 1964b, 1964c, 1965a, 1965b)의 순서로 주어진다.아티야(1988)는 SL2(R)의 경우를 위해 하리쉬-찬드라(Harish-Chandra)의 규칙성 정리의 증거에 대한 설명을 하고, 그 일반화를 상위 계급 집단으로 스케치했다.null

대부분의 증거는 다음과 같이 여러 단계로 나눌 수 있다.null

  • Step 1. inv이 불변성 eigend 분포인 경우 G의 정규 요소에 대해 분석한다.이것은 타원형 정규성에서 따르며, 만능 포락 대수 중심에는 어떤 정규 궤도에 대해서도 "G 궤도에 대한 엘립틱 가로"인 원소가 있음을 보여준다.
  • 단계 2. if이 불변성 eigend distribution인 경우, G의 정규 요소에 대한 제한은 G에서 국부적으로 통합할 수 있다(G의 비정규 요소가 0을 가지고 있기 때문에 타당하다).이는 각 카르탄 하위골격의 ΔΔ는 지수식의 유한한 합이며, 여기서 Δ는 본질적으로 Weyl 분모식의 분모로서 국소적으로 통합 가능한 1/Δ이다.
  • 3단계. 1단계와 2단계에 의해 불변성 고유분포 θ은 총 S+F로서 F는 국소적으로 통합할 수 있는 함수로서 S는 G의 단일한 요소에 대한 지지를 가지고 있다.문제는 S가 사라진다는 것을 보여주는 것이다.이것은 G의 국소적으로 닫힌 서브매니폴드의 조합으로 G의 단수 원소 집합을 층화하고 층의 코디네이션에 유도를 사용함으로써 이루어진다.미분방정식의 고유함수는 F 로컬로 통합할 수 있고 S는 서브매니폴드에 대한 단일 지지로 S+F형일 수 있지만, 이는 미분방정식의 고유함수가 일부 제한조건을 만족하는 경우에만 가능하다.그런 다음 G의 카시미르 운영자가 S가 사라지게 하는 단수 집합의 지층에서 이러한 조건을 만족하지 않는지 확인할 수 있다.

참조