웨일 문자식

수학에서, 표현 이론에서의 Weyl 문자 공식은 콤팩트한 Lie 그룹의 되돌릴 수 없는 표현들의 등장인물들을 그들의 가장 높은 무게의 관점에서 묘사한다.^[1]헤르만 바일(1925, 1926a, 1926b)에 의해 증명되었다.반실행 Lie 대수학의 불가해한 표현 특성에 밀접하게 관련된 공식이 있다.^[2]커넥티드 컴팩트 리 그룹의 표현 이론에 대한 Weyl의 접근에서, 문자 공식의 증명은 모든 지배적인 적분 원소가 실제로 어떤 되돌릴 수 없는 표현 중 가장 높은 무게로 발생한다는 것을 증명하는 핵심 단계다.^[3]캐릭터 공식의 중요한 결과는 Weyl 치수 공식과 Kostant 다중성 공식이다.

By definition, the character ${\displaystyle \chi }$ of a representation ${\displaystyle \pi }$ of G is the trace of ${\displaystyle \pi (g)}$, as a function of a group element ${\displaystyle g\in G}$. The irreducible representations in this case are all finite-dimensional (this is part of the Peter–Weyl t히림); 즉, 추적의 개념은 선형대수학에서 흔히 볼 수 있는 개념이다.$\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$의 문자 $\chi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \chi}$에 대한 지식은 $itself$ ${\displaystyle \pi }$ 그 자체에 대한$$ 많은 정보를 제공한다.

Weyl의 공식은 G와 그것의 Lie 대수학으로 구성된 다른 물체들의 측면에서 문자 ${\displaystyle \chi$ $\}$에 대한 닫힌 공식이다.

Weyl 문자 수식

문자 공식은 복잡한 반시 구현 리 알헤브라의 표현이나 콤팩트 리 그룹의 (본질적으로 동등한) 표현 이론의 측면에서 표현할 수 있다.

복잡한 반시 구현 리알헤브라스

${\displaystyle \pi}}$을(를) 복잡한 semisimply Lie $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$ g ${\$을(를) 되돌릴 수 없고 유한한 차원으로 하자$$$.$ $h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 카르탄 하위 골격이라고$$ 가정하자$.$$\$ {\$displaystyle \pi}$의 문자는 ${\displaystyle {\pi }_{}}$: h${\displaystyle }$→ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$에 의해 정의된$$ 함수 ch ${\displaystyle {\mathrm{ch}}_{}}$ : ${\displaystyle h\mathfrak{}}$ → C}이다$$.

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)=\operatorname {tr}(e^{\pi (H)})}$

$H{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle H=0}$에서 문자 값은 $\pi$ ${\displaystyle \pi }$의 치수임$.$ 기본적인 고려에 따라 문자를 다음과 같이 계산할 수 있다.

${\displaystyle {ch}_{}H}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle \underset{}{}}$μm ${\displaystyle {\mu m}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{\mu e}}^{}}$ ${\displaystyle {\mu e}^{}}$μs$($H ) {\$displaystyle \operatorname {ch}$_{\$pi }(H$)=\$sum _${\$mu$}m_{\$mu e^{\mu(H$

여기서 합계는 $\mu$의 모든 가중치 $\mu {\displaystyle }$$[\displaystyle \pi }$에 걸쳐 있으며, $m$ μ는$\mu$의 $곱인$ {\$displaystyle$m_${\$$mu$ } . (앞 식은 때때로 문자의 정의로 간주된다.)

문자 공식에 ${\displaystyle {\mathrm{따르면<sup\; class="reference"\; id="cite\_ref-4"><a\; href="\#cite\_note-4">[4]</a></sup>}}_{}}$ ch${\displaystyle {}_{}{\pi }_{}(H}$ )$${\$displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)}$도 다음과 같이 계산할$$ 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}}{\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(e^{\alpha (H)/2}-e^{-\alpha (H)/2})}}}$

어디에

• ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$은(는) Weyl 그룹이다.
• ${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}^{}}$+ ${\$는 루트$$ 시스템$$Δ {\$displaystyle \Delta$ $\}$ ;
• ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$은(는) 양의 뿌리의 반쪽 합으로 종종 Weyl 벡터라고 불린다.
• ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$은(는) 수정할 수 없는 표현 $V$의 가장 높은 중량이다$([\displaystyle$ V$\};$
• ${\displaystyle \epsilon }$( $){\displaystyle \varepsilon (w)}$은(는) Cartan subalgebra $h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \subset }$ g ${\displaystyle {h}\mathfrak {g}$에 있는$$ $w{\displaystyle }$ ${\displaystystyle w}$의 동작의 결정 요인이다$.$${\displaystyle \mathrm{이것}}$은 (${\displaystyle }$- 1${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\ell }^{}}$( ${\displaystyle w^{}}$ $){\$과 같으며, 여기서 $\ell {\displaystyle }$( $){\displaystyle \ell (w)}$은 Weyl 그룹 요소의 길이로서 $w{\displaystyle }$ ${\displaysty w}$이 해당 반사의 산물과 동일한 단순 루트에 대한 최소 반사로 정의된다.

토론

Weyl 분모 공식(아래 설명)을 사용하여 문자 공식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}}{\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}}}}$,

또는 동등하게

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H){\sum _{w\in W}\varepsilon(w)}}=\w\\varepsilon(w){w}\lambda +\rho )(H)}}}$

인물 그 자체로 기하급수적으로 큰 액수다.이 마지막 표현에서, 우리는 그 캐릭터를 지수들의 교대 합으로 곱한다. 즉, 겉으로 보기에는 지수들의 훨씬 더 큰 합이 될 것이다.캐릭터 공식의 놀라운 부분은 우리가 이 제품을 계산할 때 실제로 적은 수의 용어만 남아 있다는 것이다.이것보다 훨씬 많은 용어는 캐릭터와 Weyl 분모의 산물에서 적어도 한 번 이상 발생하지만, 이러한 용어의 대부분은 0으로 취소된다.^[5]The only terms that survive are the terms that occur only once, namely ${\displaystyle e^{(\lambda +\rho )(H)}}$ (which is obtained by taking the highest weight from ${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }}$ and the highest weight from the Weyl denominator) and things in the Weyl-group orbit of ${\displaystyle e^{}}$${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {\lambda }^{}}$+ ${\displaystyle {\rho }^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle H^{}}$) ${\$ e$^{(\lambda +\rho )(H$

컴팩트 거짓말 그룹

Let ${\displaystyle K}$ be a compact, connected Lie group and let ${\displaystyle T}$ be a maximal torus in ${\displaystyle K}$. Let ${\displaystyle \Pi }$ be an irreducible representation of ${\displaystyle K}$. Then we define the character of ${\displaystyle \Pi }$ to be the function

${\displaystyle \mathrm {X}(x)=\operatorname {trace}(\Pi(x)),\quad x\in K.}$

이 $문자$는 K ${\displaystyle K}$에서 클래스 함수라고 쉽게 볼 수 있으며$$, Peter-Weyl 정리는 문자가 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ K$\}$^[6]에서 사각 통합 클래스 함수의 공간에 대해 정형화된 기초를 형성한다고 주장한다.

$X{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$는) 클래스 함수이므로$$ $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ T$}$에 대한 제한으로 결정된다$.$ 이제 ${\displaystyle t$ ${\$의 Lie 대수 t {\\\\displaystystyt}에 있는$$ $H{\displaystyle }$ {\$daystystystystymathfark${t}을(H$)$에 대해$,$

${\displaystyle \operatorname {trace}(\Pi (e^{H}))$$=\operatorname {trace}(e^{\pi(H$

where ${\displaystyle \pi }$ is the associated representation of the Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ of ${\displaystyle K}$. Thus, the function ${\displaystyle H\mapsto \operatorname {trace} (\Pi (e^{H}))}$ is simply the character of the associated representation ${\displaystyle \pi }$이전 하위 섹션에 설명된 대로 $k{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 ${\displaystyle \pi$$\}.$$그러면{\displaystyle \mathrm{}}$ {$${\$displaystyle \Pi }$에서 T$${\$displaystyle$T}까지의 문자의 제한은 Lie 대수학 사례에서와 동일한 공식으로 주어진다$$.

${\displaystyle \mathrm {X}(e^{H}={\frac {\sum _{w\in W}\varecpsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}{w\sum_{w\in W}e^{w(\rho )(H)}}.}$

컴팩트 그룹 설정에서 캐릭터 공식에 대한 Weyl의 증명서는 반이행 리 알헤브라스 설정에서 캐릭터 공식에 대한 대수적 증명과는 완전히 다르다.^[7]콤팩트 그룹 설정에서는 여기서 사용하는 뿌리 및 무게와$$ $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ i$}$의 인수에 의해 다른 "진짜 뿌리"와 "진짜 무게"를 사용하는 것이 일반적이다.따라서 콤팩트 그룹 설정의 공식은 전체 지수에서$$ $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ i$}$의 요인을 가진다.

SU(2) 케이스

그룹 SU($2)$의 경우 $치수{\displaystyle }$ m${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$의 수정 $불가능한 표현$을 고려하십시오$.$$T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$을(를) SU(2)의 대각선 부분군으로 본다면$$ 이 경우의 문자 공식은 다음과^[8] 같다.

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {e^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin \theta }}.}$

(문자 공식의 분자와 분모는 모두 두 개의 항을 가지고 있다.)이 경우 이 공식을 직접 검증하여 Weyl 문자 공식에 내재된 취소 현상을 관찰할 수 있도록 하는 것이 유익하다.

표현은 매우 명백하게 알려져 있기 때문에 표현 문자는 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle \mathrm{X} \좌측({\begin{pmatrix}e^{i\0\\e^{-i\i\}\end{pmatrix}\우측)=e^{-im\ta }+e^{}+e-imots{-im\cdots}.$

한편 Weyl 분모는 단순히 e $i{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$- e -${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {\theta }^{}}$ ${\$ 캐릭터에 Weyl 분모가 주는 기능을 곱하면 된다.

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)(e^{i\theta }-e^{-i\theta })=\left(e^{i(m+1)\theta }+e^{i(m-1)\theta }+\cdots +e^{-i(m-1)\theta }\right)-\left(e^{i(m-1)\theta }+\cdots +e^{-i(m-1)\theta }+e^{-i(m+1)\theta }\right).}$

우리는 이제 위의 오른쪽의 두 임기 사이에 대부분의 약관이 취소되어 우리에게만 남겨진 것을 쉽게 확인할 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)(e^{i\theta }-e^{-i\theta })=e^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}$

하도록

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {e^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin \theta }}.}$

이 경우의 문자는 $R{\displaystyle }$= e ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {\theta }^{}}$ ${\$을(를) 가진 기하계열이며, 앞의 주장은$$ 유한 기하계열의 합계에 대한 공식의 표준 유래의 작은 변종이다.

바일분모식

사소한 1차원 표현의 특별한 경우 캐릭터는 1이므로 Weyl 문자 공식은 Weyl 분모 공식으로 다음과 같이 된다.^[9]

${\displaystyle {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )}=\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}(e^{\alpha(H)/2}}}.}$

특수 단일 군집단의 경우 이는 표현과 동일하다.

${\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,X_{1}^{\sigma (1)-1}\cdots X_{n}^{\sigma (n)-1}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{j}-X_{i})}$

반데르몬드 결정자를 ^[10]위해

웨일 치수 공식

${\displaystyle \mathrm{Weyl}}$의$$문자 $공식$은 H = 0 {\displaystyle $H=0}$에서 문자를 평가하여 Weyl 치수 공식을 제공한다$.$

${\displaystyle \dim(V_{\lambda }}={\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}(\lambda +\rho ,\alpha ) \prod \{\delta ^}}}}}$

최대 $중량$이 ${\displaystyle \lambda }$인 유한 치수 표현 $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ \$lambda$ $\}\}$의 치수에 대해 (평소처럼 ρ은 양의 뿌리의 절반 합이고 제품은 양의 뿌리 α를 초과한다.)특성화는 완전히 사소한 것이 아니며, 이는 위일 문자 공식의 분자와 분모가 모두 신분적 요소에서 높은 순서로 사라지기 때문에, L'Hospital's rule의 버전을 이용하여 정체성에 맞는 원소의 추적을 제한해야 하기 때문이다.^[11]In the SU(2) case described above, for example, we can recover the dimension ${\displaystyle m+1}$ of the representation by using L'Hospital's rule to evaluate the limit as ${\displaystyle \theta }$ tends to zero of ${\displaystyle \sin((m+1)\theta )/\sin \theta }$.

우리는 복잡한 반실현 Lie 대수 sl(3,C), 또는 동등하게 콤팩트 그룹 SU(3)를 예로 고려할 수 있다.이 경우 표현은 음이 아닌 정수의$$ 쌍$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle(m_{1},m_{2})$으로 레이블이 지정된다.이 경우 세 가지 양의 뿌리가 있으며 치수 공식이 명시적 형태를^[12] 취하는지 검증하는 것은 어렵지 않다.

${\displaystyle \dim(V_{m_{1},m_{2}}:={\frac {1}{1}{1}+1)(m_{2}+1)(m_{1}+1)}$

사례 $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \mathrm{m}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= 0 ${\displaystyle m_{1}=1,\,m_{2}=0}$은 표준 표현이며$$ 실제로 치수 공식은 이 경우 값 3을 제공한다.

코스탄트 다중성 공식

Weyl 문자 공식은 각 표현에 대한 특성을 지수로 제공하며, 여기서 분자와 분모는 각각 지수들의 유한 선형 결합이다.원칙적으로 이 공식이 성격을 결정하지만, 이 지수를 어떻게 지수의 유한한 합으로 명시적으로 계산할 수 있는가는 특별히 명확하지 않다.이미 위에서 설명한 SU(2) 사례에서는 캐릭터가 ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{m}}$+ 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \sin \sin }$ ) / sin ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sin(m+1)\teta )/\sin \theta }$로 되돌아가는$$ Weyl 문자 공식에서 기하급수적인 합으로 돌아가는 방법이 즉각적으로 명확하지 않다.

${\displaystyle e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots +e^{-im\theta }}}$

이 경우, ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle (}$( (${\displaystyle m}$ + ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle \sin }$ ) / sin${\displaystyle \theta }$ sin \ { { { $\\displaystyle \sin(m+1)\theta )/\sin \theta }$라는 표현을 유한 기하계열의 합으로 인식하는$$ 것은 아마도 크게 어렵지 않을 것이지만, 일반적으로 우리는 보다 체계적인 절차가 필요하다.

일반적으로 Weyl 분모의 공식 역수를 계산한 다음 Weyl 문자 공식의 분자에 이 형식 역수를 곱하여 분할 프로세스를 수행할 수 있다.^[13]그 결과는 유한한 지수합으로서의 성격을 부여한다.이 팽창의 계수는 무게 공간의 치수, 즉 무게의 곱셈이다.따라서 우리는 Weyl 문자 공식에서 Kostant 다중성 공식으로 알려진 가중치의 다중성에 대한 공식을 얻는다.어떤 경우에는 더 계산적으로 추적할 수 있는 대체 공식이 다음 절에 제시되어 있다.

프로이덴탈 공식

한스 프로이덴탈의 공식은 무게의 다중성에 대한 재귀 공식으로 코스탄트 다중성 공식과 같은 답을 주지만, 때로는 합칠 용어가 훨씬 적을 수 있기 때문에 계산에 사용하기 더 쉽다.이 공식은 카시미르 요소의 사용에 기초하며, 그 유래는 문자 공식과 무관하다.명시되어^[14] 있다.

${\displaystyle (\ \Lambda +\rho \ ^{2}-\ \lambda +\rho \ ^{2})m_{\Lambda }(\lambda )=2\sum _{\alpha \in \Delta ^{+}}\sum _{j\geq 1}(\lambda +j\alpha ,\alpha )m_{\Lambda }(\lambda +j\alpha )}$

어디에

• λ은 가장 높은 중량이다.
• λ은 다른 무게로,
• m_Λ(m)은 중량의 다중성(多重性)으로, 수정 불가능한 표현 V에서_Λ λ이다.
• ρ은 웨일 벡터다.
• 첫 번째 합은 모든 양의 뿌리 α에 걸쳐 있다.

웨일-케이크 문자 공식

Weyl 문자 공식은 Weyl-Kac 문자 공식으로 알려진 Kac-Moody Algebras의 통합 가능한 최고 중량 표현을 위한 것이다.유사하게 Kac-Moody Algebras에는 분모 정체성이 있는데, 아핀 리 알헤브라의 경우 맥도날드 정체성과 동등하다.A타입의₁ 어핀 리 대수학의 가장 간단한 경우, 이것은 자코비 3중 제품 정체성이다.

${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1-x^{2m-1}y\right)\left(1-x^{2m-1}y^{-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}y^{n}.}$

문자 공식은 또한 일반화된 Kac-Moody Algebras의 통합 가능한 최고 중량 표현까지 확장될 수 있다.

${\displaystyle {\sum _{w\in W}^{w}^{\lambda +\rho }S) \over e^{\rho }\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(1-e^{-\lpha }}).}$

여기서 S는 상상의 단순한 뿌리의 관점에서 주어지는 교정용어 입니다.

${\displaystyle S=\sum _{I}(1)^{{}e^{\\Sigma I}\,}$

여기서 합계는 쌍으로 직교하고 최고 중량에 직교하는 가상의 단순 근원의 모든 유한 부분 집합 I에 걸쳐 있으며, I는 I의 카디널리티이고 σI는 I의 원소의 합이다.

몬스터 리 대수학의 분모 공식은 제품 공식이다.

${\displaystyle j(p)-j(q)=\left1 \over p}-{1 \over q}\right)\prod _{n,m=1}^{n,m^{n}}^{c_{nm}}}}}}}}$

타원 모듈 함수 j.

피터슨은 Weyl-Kac 분모 공식과 동일하지만 계산에 사용하기 쉬운 대칭성(일반화된) Kac-Moody 대수의 뿌리 β의 다중(β)에 대한 재귀 공식을 제공했다.

${\displaystyle(\displaystyle,\disp -2\rho )c_{\\disput }=\sum _{\disp +\disp =\sum }(\disput,\disput )c_{\c_},},}},}$

합이 양의 뿌리 γ, Δ 및

${\displaystyle c_{\property }=\sum _{n\geq 1}{\multname {mult}(\reason /n) \overn}.}$

하리쉬-찬드라 캐릭터 포뮬러

Harish-Chandra는 Weyl의 캐릭터 공식은 실제적이고 환원적인 그룹의 표현에 대한 일반화를 인정한다는 것을 보여주었다.Suppose ${\displaystyle \pi }$ is an irreducible, admissible representation of a real, reductive group G with infinitesimal character ${\displaystyle \lambda }$. Let ${\displaystyle \Theta _{\pi }}$ be the Harish-Chandra character of ${\displaystyle \pi }$; it is given by integration against an analytic functi정시에H가 G의 카르탄 부분군이고 H'가 H의 정규 원소 집합인 경우

${\displaystyle \theta_{\pi } _{H'}={\sum_{w_{\lambda }{w}e^{w\lambda }}\over e^{\rho }\prod_{\alpha \data \}}}}{\delta }}}}}}}}}}}}}}}}}}{\delta \delta \e^{{{-^-\e^-\e-pa }}}$

여기

• W는 $G{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {C\mathbb{}}_{}}$ ${\$$mathb {C$$}}}$에 대한 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {C\mathbb{}}_{}}$ ${\$displaystyle $H_{\$$mathb {C$$}}}}$의 복합 Weyl 그룹이다.
• ${\displaystyle W_{}}$ ${\$은(는) W에$$ 있는 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$의 스태빌라이저 입니다$$.

그리고 나머지 표기법은 위와 같다.

${\displaystyle {계수}_{}}$ $a{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 여전히 잘 이해되지 않는다$$.이러한 계수에 대한 결과는 허브, 애덤스, 슈미드, 슈미드, 슈미드빌론 등의 논문에서 확인할 수 있다.

참고 항목

• 특성 이론
• 대수 문자
• 데마주어 문자식
• Weyl 통합 공식

참조

• 풀턴, 윌리엄과 해리스, 조(1991)표현 이론: 첫 번째 과정.뉴욕: 스프링거-베를라크. ISBN0387974954.OCLC 22861245.^[1]

• Hall, Brian C. (2015), Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Humphreys, James E. (1972), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90053-7.
• 무한 치수 리알헤브라스, V. G. Kac, ISBN 0-521-37215-1
• Duncan J. Melville (2001) [1994], "Weyl–Kac character formula", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Weyl, Hermann (1925), "Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. I", Mathematische Zeitschrift, Springer Berlin / Heidelberg, 23: 271–309, doi:10.1007/BF01506234, ISSN 0025-5874
• Weyl, Hermann (1926a), "Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. II", Mathematische Zeitschrift, Springer Berlin / Heidelberg, 24: 328–376, doi:10.1007/BF01216788, ISSN 0025-5874
• Weyl, Hermann (1926b), "Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare Transformationen. III", Mathematische Zeitschrift, Springer Berlin / Heidelberg, 24: 377–395, doi:10.1007/BF01216789, ISSN 0025-5874