고조파 미분

수학에서 표면의 실제 미분 1형식 Ω을 Ω으로 표기하고, Ω으로^∗ 표기된 그 결합 1형식을 모두 닫으면 고조파 미분이라고 한다.

설명

2차원 실제 다지관에 정의된 실제 단일 형태의 경우를 고려하십시오.또한, 복잡한 미분류의 실제 부분인 실제 단일 형태를 고려하십시오.Ω = A dx + B dy로 하고, 공식적으로 Ω^∗ = A dy - B dx로 결합형 1-폼을 정의한다.

동기

복잡한 분석과 분명한 연관성이 있다.실제 부분과 가상 부분, 즉 각각 x와 y라고 하는 복잡한 숫자 z를 쓰자. 즉 z = x + iy.Ω + iΩ^∗ = (A - iB)(dx + i dy)이기 때문에, 복합 분석의 관점에서 dz가 0이 되기 때문에, 지수(Ω + iΩ^∗)/dz는 한계에 도달하는 경향이 있다.즉, Ω의^∗ 정의는 파생상품(분석성)의 개념과의 관련성을 위해 선택되었다.복합단위에 대한 또 다른 연결은 (Ω^∗)^∗ = -Ω(i² = -1과 동일)이다.

주어진 함수 f동안 우리 조직ω)의, 즉 ω).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser- 써 드리죠.출력이 ∂가 일부 파생 상품을 나타내.den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}∂f/∂x dx+∂f/∂y에, .sfrac.그러면 (df)^∗ = ∂f/∂x dy - ∂f/∂y dx.이제 d(df)^∗가 항상 0인 것은 아니며, 실제로 d(df)^∗ = Δf dx dy, 여기서 Δf = Δf = ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y².

코치-리만 방정식

위에서 살펴본 바와 같이, Ω과 Ω이^∗ 모두 닫히면 우리는 Ω 고조파라고 부른다.즉, aA/∂y = bB/xx(Ω은 닫힘), ∂B/∂y = -∂A/∂x(Ω은^∗ 닫힘)를 의미한다.이를 A - iB의 Cauchy-Remann 방정식이라고 한다.보통 u(x, y) + iv(x, y)의 용어로 ∂u/∂x = ∂v/∂xy, vv/xx = -uu/yy로 표현된다.

주목할 만한 결과

• 고조파 미분(한 형태)은 정밀하게 (분석적) 복합 미분 중 실제 부분이다.^{[1]: 172} 이를 증명하기 위해 u + iv가 국소적으로 x + iy의 분석 함수인 경우 정확하게 u + iv가 Cauchy–Remann 방정식을 만족한다는 것을 보여준다.물론 w(z) = u + iv 분석 함수는 어떤 것의 국부적 파생물이다(명칭 ∫w(z) dz).
• 고조파 차분 Ω은 라플레이스의 방정식 Δf = 0에 대한 용액의 df 차이다.^{[1]: 172}
• Ω이 고조파 차이라면 Ω도^∗ 마찬가지다.^{[1]: 172}

참고 항목

• 드 람 코호몰로지

참조