극한(수학)

수학에서 극한(limit)은 입력(또는 인덱스)이 어떤 값에 접근할 때 함수(또는 시퀀스)가 접근하는 값입니다.^[1] 극한은 미적분학과 수학적 분석에 필수적이며 연속성, 도함수, 적분을 정의하는 데 사용됩니다.

수식에서 함수의 극한은 일반적으로 다음과 같이 표기됩니다.

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L,}$

그리고 "x가 L에 접근하기 때문에 x의 f의 한계"로 읽힙니다. 이것은 x를 c에 충분히 가깝게 선택함으로써 함수 f의 값을 임의로 L에 가깝게 만들 수 있음을 의미합니다. 또는 x가 c에 접근함에 따라 함수 f가 한계 L에 접근한다는 사실은 다음과 같이 오른쪽 화살표(→ 또는 → ${\displaystyle \rightarrow})$로 표시되기도 합니다.

${\displaystyle f(x)\to L{\text{ as }x\to c,}$

"$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$이(가) L ${\displaystyle L}$이(가) 됩니다."$$

수열의 극한 개념은 위상망의 극한 개념으로 더욱 일반화되어 범주 이론에서 극한과 직접 극한과 밀접한 관련이 있습니다.

열등한 한계와 우월한 한계는 한 점에서 한계가 존재하지 않을 수 있는 경우에 특히 관련된 한계 개념의 일반화를 제공합니다.

역사

헨켈(1871)에 따르면, 현대의 극한 개념은 유클리드와 아르키메데스에서 발견된 소진 방법의 기초를 이루는 유클리드의 원소 명제 X.1에서 유래합니다. "큰 것에서 큰 것보다 큰 것을 빼면 두 가지 크기가 동일하지 않게 설정됩니다. 그리고 그 절반보다 더 큰 규모로 남겨져 있고, 이 과정이 계속 반복된다면, 그보다 더 작은 규모로 남겨질 것입니다."^[2][3]

그레고아르 드 생빈센트는 그의 작품 Opus Geometricum (1647)에서 기하급수의 극한(종점)에 대한 첫 번째 정의를 내놨습니다: "진행의 종점은 그녀가 무한히 계속되더라도 어떤 진행도 도달할 수 없는 급수의 끝입니다. 그러나 그녀는 주어진 부분보다 더 가까이 접근할 수 있습니다."^[4]

극한에 대한 현대적인 정의는 1817년 연속 함수를 정의하기 위해 엡실론-델타 기법의 기초를 개발한 베르나르 볼자노로 거슬러 올라갑니다. 그러나 그의 업적은 그가 죽은 지 30년이 지나도록 다른 수학자들에게 알려지지 않은 채로 남아 있었습니다.^[5]

1821년 아우구스틴-루이 코시는 카를 바이어슈트라스에 이어 함수의 극한에 대한 정의를 공식화했고, 이는 (ε, δ)-한계 정의로 알려지게 되었습니다.

화살표를 극한 기호 아래에 놓는 현대적인 표기법은 1908년 그의 책 A Course of Pure Mathematics에서 그것을 소개한 G. H. Hardy 때문입니다.^[7]

한계의 종류

순서대로

실수

식 0.999... 0.9, 0.99, 0.999, ... 등의 수열의 극한으로 해석해야 합니다. 이 수열은 극한 1을 갖는 것으로 엄밀하게 나타낼 수 있으므로 이 표현식은 값 1을 갖는 것으로 의미 있게 해석됩니다.^[8]

형식적으로, a₁₂, a, …가 실수의 연속이라고 가정합니다. 수열의 극한이 존재할 때, 실수 L은 모든 실수 ε > 0에 대하여, 모든 n > N에 대하여 -L < ε를 갖는 자연수 N이 존재할 경우에만 이 수열의 극한입니다. 일반적인 표기법

는 다음과 같이 읽힙니다.

"a가_n 무한대에 접근할 때의 극한은 L과 같다" 또는 "n이 a의_n 무한대에 접근할 때의 극한은 L과 같다".

형식적인 정의는 절대값 a_n - L이 a와_n L 사이의 거리이기 때문에 결국에는 수열의 모든 요소가 임의로 극한에 가까워진다는 것을 직관적으로 의미합니다.

모든 시퀀스에 한계가 있는 것은 아닙니다. 한계가 있는 수열을 수렴(convergent)이라고 하고, 그렇지 않으면 발산(divergent)이라고 합니다. 수렴하는 수열은 한 개의 극한만을 갖는다는 것을 보여줄 수 있습니다.

수열의 극한과 함수의 극한은 밀접한 관계가 있습니다. 한편, n이 수열 {a_n}의 무한대에 접근할 때의 극한은 단순히 자연수 {n}에 정의된 함수 a(n)의 무한대에서의 극한입니다. 반면에 X가 함수 f(x_n)의 정의역이고 n이 무한대에 접근할 때의 극한이 x에₀ 수렴하는 X - x의₀ 임의의 점 {x_n}열에 대하여 L이면 x가 x에₀ 접근할 때의 함수 f(x)의 극한은 L과 같습니다.^[10] 이러한 시퀀스 중 하나는 {x₀ + 1/n}입니다.

한계로서의 무한대

유한한 값 $L{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle L}$이 아닌 "무한대로 가는 경향"을 갖는다는 개념도 있습니다$.$ 수열${\displaystyle }${${\displaystyle {an}_{}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}$이(가$)$ 바운드라고 알려진각 M>$0$에 대해 "무한대로 가는 경향"이 있다고 합니다$$. 각 > N ${\displaystyle$ n>$N}$에 대해$$ 다음과 같은 정수 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $N$$}$이 있습니다

즉, 가능한 모든 바운드에 대해 시퀀스가 결국 바운드를 초과합니다. $lim$→ ∞ =$$∞ {\$displaystyle$ \$lim$_{$n\rightarrow$\infty }a_{n}=\${\displaystyle {infty}_{}}$ } 또는 $간단히$→ ∞ {\$displaystyle$a_$\{$n}\rightarrow \infty }라고 적습니다.

수열이 발산하는 것은 가능하지만 무한대가 되는 경향은 없습니다. 이러한 시퀀스를 진동이라고 합니다. 발진 시퀀스의 예는 =${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- 1${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$ ${\display a_{n$} = (-1$)^\{$n}입니다.

음의 무한대, ${\displaystyle {lim}_{}}$ → ∞ 및 = - ∞{\displaystyle \lim _{n$\$rightarrow \infty }a_{n}=-\infty }, 위 정의의 부등식을 M < 0인 n < M, {\displaystyle a_{n}< M,}로 변경하여 정의합니다. {\displaystyle M<0.}

$limn$→ ∞ =$$∞ {\$displaystyle$ \$lim$_{$n\rightarrow$\infty } a_{n} =\infty }인 시퀀스$${${\displaystyle {an}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$\lim _{n\rightarrow \infty } a_{n} =\infty } 이 있는 시퀀스를 unbounded라고 하며, 이 정의는 복소수 또는 임의의 메트릭 공간에서 시퀀스에 동일하게 유효합니다. 무한대에 치우치지 않는 수열을 유계라고 합니다. 양의 무한대에 치우치지 않는 수열을 위에서는 유계라고 하고, 음의 무한대에 치우치지 않는 수열은 아래에서 유계라고 합니다.

미터법 공간

위의 수열에 대한 논의는 실수의 수열에 대한 것입니다. 한계의 개념은 메트릭 공간과 같이 더 추상적인 공간에서 값을 매긴 시퀀스에 대해 정의할 수 있습니다. If ${\displaystyle M}$ is a metric space with distance function ${\displaystyle d}$, and ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}}$ is a sequence in ${\displaystyle M}$, then the limit (when it exists) of the sequence is an element ${\displaystyle a\in M}$ such that, ϵ$>$0${\displaystyle$ \$epsilon$> 0}인 경우 N ${\displaystyle$ N}이$($) 존재하므로 각N> N${\displaystyle$ n N}에 다음과 같습니다.

실수 ${\displaystyle \mathrm{d}(a,}$ ${\displaystyle a_{}}$ → 0 ${\displaystyle$ d$(a,a_{n})\rightarrow$ 0$}$인 경우 → ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle$ $a_$${n}\rightarrow$ $a$$}$입니다$.$

예: ℝ

중요한 예는 원소 $x$ =${\displaystyle }$(${\displaystyle x_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}{}_{}}$⋯$,$ x n) ${\displaystyle \mathbf$ {x} = ($x_${1$},\cdots,$x_{n})}인 $n개$의 ${\displaystyle n}$차원 실수 벡터의 공간입니다. 여기서 $xi$ {\$displaystyle$x_{i}}는 실수이고, 적절한 거리 함수의 예는 다음과 같이 정의되는 유클리드 거리입니다.

$점${ ${\displaystyle {}_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$ ≥ 0 {\$displaystyle \{\mathbf {x} _{n$}\}${\displaystyle \_}$${$n\geq 0}}의 시퀀스는 제한이${\displaystyle {}_{}}$‖ x n - $x$‖ →$$0${\displaystyle \mathbf {$x} _{n} -$\mathbf$ $\{$x} \rightarrow 0}으로$수렴$합니다.

위상공간

어떤 의미에서 한계를 정의할 수 있는 가장 추상적인 공간은 위상 공간입니다. If ${\displaystyle X}$ is a topological space with topology ${\displaystyle \tau }$, and ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}}$ is a sequence in ${\displaystyle X}$, then the limit (when it exists) of the sequence is a point ${\displaystyle a\in X}$ such that, {\$displaystyle$a}의$($열린) 이웃 $U$∈ τ {\$displaystyle U\in$\$tau$}이(가) 주어졌을 때 n> N {\$displaystyle$n>N}에 대해 다음과 같이 N {\$displaystyle$N}이$($가) $존재$합니다.

만족합니다. 이 경우 한계(존재하는 경우)는 고유하지 않을 수 있습니다. $그러나{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$ X$}$이(가) 하우스도르프 공간이면 고유해야 합니다.

함수공간

이 절에서는 함수열의 한계 개념을 다루는데, 아래에서 논의되는 함수열의 한계 개념과 혼동하지 않습니다.

함수 분석 분야는 부분적으로 함수 공간에 대한 수렴의 유용한 개념을 식별하려고 합니다. 예를 들어, 일반 $집합$ E${\displaystyle$ E$}$부터 $R$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$까지의 함수 공간을 생각해 보자$.$ 각 함수가 ${\displaystyle {fn}_{}}$이 되도록 > ${\displaystyle \{n}\}_{n>0}}$의 시퀀스가 주어졌을 때${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle E}$ → R ${\displaystyle f_{n}:$$E\right$ ${\displaystyle \mathrm{arrow}}$$\mathbb {R$ $각$ x$$$∈$ E ${\displaystyle$x\in E}에 대하여 다음과 같은 함수가 존재한다고 가정하자.

그러면 ${\displaystyle {시퀀스}_{}}$ f ${\$가 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에 점 단위로 수렴한다고 합니다$$$.$ 그러나 이러한 시퀀스는 예기치 않은 동작을 나타낼 수 있습니다. 예를 들어, 불연속적인 점 단위 한계를 갖는 연속 함수의 수열을 구성할 수 있습니다.

수렴의 또 다른 개념은 균일 수렴입니다. 두 함수 $f{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle g:}$ ${\displaystyle E}$ → R ${\displaystyle$ f$,g:$$E\rightarrow \mathbb {R} }$은(는) $인수$ $x$$∈$ E ${\displaystyle$x\in E}이(가) 달라지므로 두 함수 간의 최대 차이입니다. 그것은,

그런 다음 이 거리에 대해 $f$ ${\displaystyle n_{}}$ → ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{n}\rightarrow f}$인 경우 $f$ ${\$displaystyle f} ${\displaystyle {시퀀스}_{}}$는 균일하게 수렴하거나 $f$ ${\displaystyle f}$의 균일한 한계를 갖는다고 합니다. 균일한 한계는 점 단위 한계보다 "nicer" 속성을 갖습니다. 예를 들어, 연속 함수열의 균일한 극한은 연속형입니다.

함수 공간에는 다양한 수렴 개념이 정의될 수 있습니다. 이것은 때때로 공간의 규칙성에 따라 달라집니다. 수렴 개념이 있는 함수 공간의 대표적인 예로는 Lp 공간과 Sobolev 공간이 있습니다.

기능상

f가 실수 함수이고 c가 실수라고 가정합니다. 직관적으로 말씀드리면 표현이.

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$

x를 c에 충분히 가깝게 함으로써 f(x)를 원하는 만큼 L에 가깝게 만들 수 있음을 의미합니다.^[11] 그 경우 위의 식을 "x가 c에 가까워짐에 따라 x의 f의 극한은 L"로 읽을 수 있습니다.

형식적으로 "$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$가 c ${\displaystyle c}$에 접근할$$ 때 f${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle f(x$$)\}$의 한계의 정의는 다음과 같습니다. The limit is a real number ${\displaystyle L}$ so that, given an arbitrary real number ${\displaystyle \epsilon >0}$ (thought of as the "error"), there is a ${\displaystyle \delta >0}$ such that, for any ${\displaystyle x}$ satisfying ${\displaystyle 0< x-c <\delta }$, (- L<ϵ {\$displaystyle$f(x)-L epsilon }를 유지합니다. 이를 (ε, δ)-한계 정의라고 합니다.

0< - $displaystyle$ 0 < x - $c}$는 고려 중인 포인트 집합에서$$ $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$를 제외하는 데 사용되지만 일부 저자는 이를 한계 정의에 포함하지 않습니다. < x- c<δ {\$displaystyle$0 < x - c<\delta }을를) -c < δ {\$displaystyle$x-c <\delta }(으)로 대체합니다. 이 교체는 f$${\displaystyle f}가 c$\{\backslash$displaystyle c}에서$$연속이어야 함을 $추가로$하는 것과 같습니다.

수열의 한계와 함수의 한계 사이의 연결을 명확하게 하는 동등한 정의가 있음을 증명할 수 있습니다.^[12] 동등한 정의는 다음과 같습니다. $먼저{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$ 도메인의$$ 모든 시퀀스${\displaystyle }${${\displaystyle x_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}$에 $대해{\displaystyle }$$$f ${\displaystyle f}$ 아래에 시퀀스의 이미지인${\displaystyle }${${\displaystyle f({}_{}}$ ${\displaystyle n_{})\}}$ ${\displaystyle \{f(x_{n})\}$이(가$)$ 있습니다$.$ 제한은 실수 $L$ ${\displaystyle L}$이므로 모든 시퀀스 $x$ ${\displaystyle n}$ → c ${\displaystyle x_{n}\rightarrow$ c$\}$에 대해 관련 $시퀀스$ f ${\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ → ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f(x_{n})\rightarrow L}$입니다$.$

단측한도

"왼손잡이" 한계(아래로부터)와 "오른손잡이" 한계(위로부터)의 개념을 정의할 수 있습니다. 이것들은 동의할 필요가 없습니다. An example is given by the positive indicator function, ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$, defined such that ${\displaystyle f(x)=0}$ if ${\displaystyle x\leq 0}$, and ${\displaystyle f(x)=1}$ if ${\displaystyle x>0}$. ${\displaystyle \mathrm{x}}$ = 0 ${\displaystyle$x=$0$에서 함수의 "왼손잡이 한계"는 0, "오른손잡이 한계"는 1이며, 그 한계는 존재하지 않습니다. Symbolically, this can be stated as, for this example, ${\displaystyle \lim _{x\to c^{-}}f(x)=0}$, and ${\displaystyle \lim _{x\to c^{+}}f(x)=1}$, and from this it can be deduced ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)}$ doesn't exist, ${\displaystyle \underset{}{왜냐하면}}$ lim ${\displaystyle \underset{}{x}}$ → ${\displaystyle \underset{}{{}^{}}}$- ${\displaystyle f}$( x )${\displaystyle }$≠ lim ${\displaystyle \underset{}{{}^{}}}$ → c${\displaystyle }$+$$ ( x ) ${\displaystyle \lim$ _{x$\to c^{-}f$(x)\n$eq \lim _{x\to c^{+}}f(x)}$.

함수의 극한에서의 무한대

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$의 도메인에서 "무한대로 가는" 개념을 정의할 수 있습니다$.$

$이$ 식에서 무한대는 +$$∞ ${\displaystyle$+\infty$또는$ - ∞${\displaystyle$ $-$\infty} 중 하나로 서명된 것으로 간주됩니다. "f의 한계 x가 양의 무한대로 가는 경향"은 다음과 같이 정의됩니다. It is a real number ${\displaystyle L}$ such that, given any real ${\displaystyle \epsilon >0}$, there exists an ${\displaystyle M>0}$ so that if ${\displaystyle x>M}$, ${\displaystyle f(x)-L <\epsilon }$. Equivalently, $임의$의 시퀀스 ${\displaystyle x_{}}$ n →${\displaystyle }$+ ∞ {\$displaystyle$$$x_{$n}\rightarrow$infty}에 대해${\displaystyle {}_{}}$f (x ${\displaystyle n}$) → L ${\displaystyle f(x_${n$})\rightarrow$L}가${\displaystyle }있습니다$.

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 값에서 "무한대로 가는" 개념을 정의할 수도 있습니다$.$

그 정의는 다음과 같습니다. Given any real number ${\displaystyle M>0}$, there is a ${\displaystyle \delta >0}$ so that for ${\displaystyle 0< x-c <\delta }$, the absolute value of the function ${\displaystyle f(x) >M}$. Equivalently, ${\displaystyle \mathrm{임의}}$의 시퀀스 ${\displaystyle x_{}}$ $n$ → c ${\$$displaystyle$ $x_{n}\rightarrow$ c$}$에$$대해 시퀀스 $f{\displaystyle }$(${\displaystyle x_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$ → ∞ ${\displaystyle f(x_${n$})\rightarrow$\infty}입니다.

비표준분석

비표준 분석(숫자 시스템의 초실수 확대를 포함함)에서 수열$({\displaystyle {an}_{}}$ ${\displaystyle(a_{n})}$의 극한은 값 a ${\displaystyle H_{}}$ ${\$의 표준 부분으로 표현될$$ 수 있습니다.무한 초자연 지수 n$=$H에서 시퀀스의 자연스러운 확장의 H$}.$ 따라서,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\operatorname {st}(a_{H}).}$

여기서, 표준 부품 함수 "st"는 각각의 유한 초실수를 가장 가까운 실수로 반올림합니다(그들 사이의 차이는 무한히 작습니다). 이것은 인덱스의 "매우 큰" 값에 대해 시퀀스의 항이 시퀀스의 한계 값에 "매우 가까운" 자연스러운 직관을 공식화합니다. 반대로, 초현실 $a$ =${\displaystyle }$[${\displaystyle {an}_{}}$ ${\displaystyle$a = [$a_{n}]}$의 표준 부분은 코시 시퀀스$({\displaystyle {an}_{}}$ ${\displaystyle(a_{n})}$에 의해 초현실적으로 표현되며$,$ 단순히 해당 시퀀스의 한계입니다.

${\displaystyle \operatorname {st}(a)=\lim _{n\to \infty }a_{n}}$

이런 의미에서 극한을 취하는 것과 표준 부품을 취하는 것은 동등한 절차입니다.

리미트 집합

시퀀스의 한계 집합

n> ${\$을 위상 공간 X ${\displaystyle$ X$}$의 수열이라고 합니다$.$ 구체적인 설명을 위해 X ${\displaystyle X}$을 R ${\$이라고 생각할$$ 수$$있지만 정의는 일반적으로 유효합니다. 한계 집합은 ${\displaystyle {k_{}}_{}}$ → ${\displaystyle a_{n_{$$k}}\{k$>$0$$}$인 수렴하는 하위 집합{> 이 있는 경우 ${\displaystyle a_${n_{$k}}_$${k>0}$이$($$)$ 한계 집합에 속하도록 점 집합입니다. 이러한 맥락에서 이러한 ${\displaystyle$ a$}$를 한계점이라고 부르기도$$ 합니다.

이 개념의 사용은 진동 시퀀스의 "장기 동작"을 특성화하는 것입니다. 예를 들어, ${\displaystyle {수열}^{}}$을 =${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1{}^{}}$ n ${\displaystyle a_{n$} = (-1$)^\{$n}라고 생각해 보십시오.$$수열의 처음 몇 개의 항은${\displaystyle -1,}$+${\displaystyle 1,-1,}$+$1,$ ⋯ ${\displaystyle -1$, +1$,$-1, +1,\cdots}입니다. 진동식이므로 제한이 없지만${\displaystyle \mathrm{제한점}}$이$${ -1,${\displaystyle +1\mathrm{}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{-1,+1$

궤적의 한계 집합

이 개념은 동적 시스템에서 궤적의 한계를 연구하는 데 사용됩니다. 궤적을 함수${\displaystyle }$γ: R → X ${\displaystyle \$gamma $:\mathbb$ {R} $rightarrow$ X}로 정의하면$$점 γ$t) {\displaystyle$ \gamma(t)}는 "$time$ t {\displaystyle t}에서$궤적$의 "위치"로 간주됩니다. 궤적의 한계 집합은 다음과 같이 정의됩니다. $\{{\displaystyle {tn}_{}}$ ${\displaystyle \{t_{n}\}$$번$ 증가하는 순서에는$$$\{$${\displaystyle {xn}_{}}$ =${\displaystyle }${γ$tn)}$ ${\displaystyle$\{x_{n$}\}$=$\{\$gamma$($t_{n})\}번 증가하는 순서가 있습니다. 증가하는 시간 시퀀스에 대해$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$이${\displaystyle }${${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ 시퀀스의 한계 집합인 경우 x ${\displaystyle x}$는 궤적의 한계 집합입니다.

엄밀히 말하면 이것은$$ω${\displaystyle$\omega} -limit set입니다. $시간$이 감소하는 시퀀스에 대해 설정된 해당 제한을 α ${\displaystyle \alpha}$ -limit$$ set라고 합니다.

예를 들어 원 궤적:${\displaystyle }$γ(t) =${\displaystyle }$(${\displaystyle \cos }$⁡(${\displaystyle t),}$sin ⁡$(t$)) {\$displaystyle$\gamma$($t)=(\cos(t),\sin(t)}입니다. 이것은 고유한 제한이 없지만 각$$θ ∈ R ${\displaystyle \theta \in \mathbb$R} }에 대해 ${\displaystyle 점(\cos }$⁡$($θ), sin ⁡$($θ$)) {\$displaystyle(\cos(\theta),\sin(\theta))}은$$t$$=$$θ$$+ π n {\displaystyle t_{n}=\theta + 2\pin}의$$로 ${\displaystyle 주어진}$ ${\displaystyle {제한점}_{}}$입니다. 그러나 한계점은 궤도상에서 달성될 필요가 없습니다. 궤적${\displaystyle }$γ(t) =${\displaystyle t}$ /${\displaystyle }$(1 ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle t)}$(${\displaystyle \cos }$⁡(${\displaystyle t),}$sin ⁡$(t$)) {\$displaystyle \$gamma$(t$)=t/(1+t)(\cos(t),\sin(t)}에도 제한 집합으로 단위 원이 있습니다.

사용하다

한계는 분석에서 여러 가지 중요한 개념을 정의하는 데 사용됩니다.

시리즈

수열의 극한으로 공식화되는 특정 관심 표현은 무한급수의 합입니다. 이것들은 실수의 "무한합"이며, 일반적으로 다음과 같이 씁니다.

이는 다음과 같이 제한을 통해 정의됩니다.^[12] 실수 $\{{\displaystyle {an}_{}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$의 시퀀스가 주어지면$$부분합 시퀀스는 다음과 같이 정의됩니다. 시퀀스$${${\displaystyle {sn}_{}}$ ${\displaystyle \{s_{n}\}}$의 한계가 있는 경우 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{식}}}$ ∑ ${\displaystyle n_{}}$ =$1$∞${\displaystyle$ \$sum$_{$n$=1}^{\infty}a_{n}}의 값이 한계로 정의됩니다. 그렇지 않으면 시리즈가 발산한다고 합니다.

대표적인 예로 = 1${\displaystyle }$/ n ${\displaystyle 2^{}}$ ${\style a_{n$} = $1/n^{2}}$을(를) 표시하는 바젤 문제를 들 수 있습니다$.$ 그러면

그러나 시퀀스의 경우 본질적으로 고유한 수렴 개념이 있는 반면, 직렬의 경우 서로 다른 수렴 개념이 있습니다. 이는 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{식}}}$ ∑ ${\displaystyle n_{}}$ =$1$∞${\displaystyle$ \$sum$_{$n$=1}^{\infty }a_{n}}a_{n$}}$가 시퀀스 {$an} {\displaystyle$\{a_{n}}}}의$$서로 다른 순서를 구별하지 않는 반면, 부분합 시퀀스의 수렴 속성은 시퀀스의 순서에 따라 달라질 수 있기 때문입니다.

모든 순서에 대해 수렴하는 급수를 무조건 수렴이라고 합니다. 절대 수렴과 동등하다는 것을 증명할 수 있습니다. 이는 다음과 같이 정의됩니다. ∑$$n =$1$ ∞이고${\displaystyle$ \$sum$ _${n$=$1}^{\$infty} a_{n} }가 잘 정의되어 있으면 급수는 절대 수렴합니다. 또한 가능한 모든 주문은 동일한 값을 제공합니다.

그렇지 않으면 시리즈가 조건부 수렴합니다. 조건부 수렴 급수에 대한 놀라운 결과는 리만 급수 정리입니다. $순서$에 따라 부분합은 ±$$∞ {\$displaystyle$ \$pm$infty}뿐만 아니라 임의의 실수로 수렴할 수 있습니다.

멱급수

급수의 합 이론의 유용한 응용은 멱급수에 대한 것입니다. 이것들은 양식의 일련의 합입니다.

$종종{\displaystyle }$ z ${\displaystyle z}$는 복소수로 간주되며$$ 복소수 시퀀스의 적절한 수렴 개념이 필요합니다. $시리즈$ 합이 수렴하는 ${\displaystyle z}$ ∈ C ${\displaystyle$z\$in \mathbb$ {C}}의 값 집합은 원이며, 그 반지름은 수렴 반지름이라고 합니다.

한 점에서의 함수의 연속성

한 점에서의 연속성의 정의는 한계를 통해 주어집니다.

위의 극한 정의는 $f$ ${\displaystyle (c)}$ ≠ L ${\displaystyle$f(c)\n에도 참입니다.$Eq$ L$\}.$ 실제로 함수 f는 c에서 정의될 필요가 없습니다. 그러나 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle (c)}$ ${\displaystyle f(c)}$가 정의되고 L ${\displaystyle L}$과 같으면$$함수는 c $지점{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$에서 연속이라고 합니다$.$

마찬가지로 함수는 x → c ${\displaystyle$ $x$$\rightarrow c}$와 $같이$ $f$ $)$ → f${\displaystyle }$($c$ ${\displaystyle$ x\$rightarrow c}$인 $경우$$$c ${\displaystyle c$$}$에서 연속이거나 시퀀스 측면에서 ${\displaystyle x_{}}$ → ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x_{n}\rightarrow c}$일 때마다 연속입니다$.$ $그런$ 다음 f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$) → f${\displaystyle }$(${\displaystyle c)}$ ${\displaystyle$ f $(x_$ f $(c)}.$

$c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$에서 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 정의되지 않은 한계의 예는 다음과$$ 같습니다.

함수를 고려합니다.

그러면 f(1)은 정의되지 않지만(불확정 형식 참조), x가 임의로 1에 가깝게 움직일 때 f(x)는 대응하여 2에 접근합니다.^[13]

f(0.9)	f(0.99)	f(0.999)	f(1.0)	f(1.001)	f(1.01)	f(1.1)
1.900	1.990	1.999	미정의	2.001	2.010	2.100

따라서 x를 1에 충분히 가깝게 하는 것만으로 f(x)를 임의로 2의 극한에 가깝게 만들 수 있습니다.

다시 말해서.

이는 모든 실수 x ≠ 1에 대해 $\frac{x^{}}{}$ 2$\frac{{}^{}}{}$- $\frac{}{}$ $\frac{\mathrm{x}}{}$- $\frac{1}{}$ =$$($\frac{x}{}$+ $\frac{1)}{}$- $\frac{1}{}$ = $x$+ $1$ ${\textstyle {\frac {x^{2}-1}{x-1$}}={\$frac {(x+1)(x-1)}{x-1$}=$x+1}$과 같이 대수적으로 계산할 수도 있습니다.

이제 x + 1은 x at 1에서 연속이므로 이제 x에 대해 1을 연결할 수 있으므로 방정식으로 이어집니다.

유한한 값에서의 한계 외에도 함수도 무한대에서의 한계를 가질 수 있습니다. 예를 들어, 함수를 고려합니다.

위치:

• f(100) = 1.9900
• f(1000) = 1.9990
• f(10000) = 1.9999

x가 매우 커지면 f(x)의 값은 2에 가까워지고, x를 충분히 크게 만들어 f(x)의 값을 원하는 만큼 2에 가깝게 만들 수 있습니다. 따라서 이 경우 x가 무한대에 접근함에 따라 f(x)의 극한은 2, 또는 수학적 표기법으로,

연속함수

극한을 고려할 때 중요한 함수 등급은 연속 함수입니다. 이들은 $정확히$ f ${\displaystyle f}$가 연속 함수이면 $f$ ${\displaystyle f}$의 $도메인$에서 → ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a_{n}\rightarrow$ a$}$일 때마다 한계를 보존하는 함수입니다$.$ $그러면{\displaystyle }$ f${\displaystyle ({an}_{}}$ ${\displaystyle$ f$(a_{n})}$ 한계가 존재하며$$ $f{\displaystyle (a)}$ ${\displaystyle f(a)}$입니다$.$

위상 공간의 가장 일반적인 설정에서는 다음과 같은 짧은 증명이 제공됩니다.

${\displaystyle \mathrm{위상}}$ 공간 $X{\displaystyle }$${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$를 위상 공간 X ${\displaystyle$ $X$$}$와 Y ${\displaystyle$ Y$}$ 사이의 연속 함수라고 하자$.$ $정의$에 따라 Y ${\displaystyle Y}$의 각 열린집합 V ${\displaystyle V}$에 대하여$,$ ${\displaystyle {\mathrm{사전}}^{}}$ 이미지 $f{\displaystyle {}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle V}$) ${\displaystyle$ $f$$^{-1}(V)}$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$에서 열려$$ 있습니다$.$

Now suppose ${\displaystyle a_{n}\rightarrow a}$ is a sequence with limit ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle X}$. Then ${\displaystyle f(a_{n})}$ is a sequence in ${\displaystyle Y}$, and ${\displaystyle f(a)}$ is some point.

$이웃{\displaystyle }$ V ${\displaystyle V}$ $off$(a) ${\displaystyle f(a)}$을(를) 선택합니다$.$ Then ${\displaystyle f^{-1}(V)}$ is an open set (by continuity of ${\displaystyle f}$) which in particular contains ${\displaystyle a}$, and therefore ${\displaystyle f^{-1}(V)}$ is a neighborhood of ${\displaystyle a}$. By the convergence of ${\displaystyle a_{n}}$ to ${\displaystyle a}$, there exists an ${\displaystyle N}$ such that for ${\displaystyle n>N}$, we have ${\displaystyle a_{n}\in f^{-1}(V)}$.

Then applying ${\displaystyle f}$ to both sides gives that, for the same ${\displaystyle N}$, for each ${\displaystyle n>N}$ we have ${\displaystyle f(a_{n})\in V}$. Originally ${\displaystyle V}$ was an arbitrary neighborhood of ${\displaystyle f(a)}$, $따라서{\displaystyle }$(${\displaystyle {an}_{}}$ → ${\displaystyle f}$(${\displaystyle a)}$ ${\displaystyle f(a_{n})\right$ arrow $f(a)}$입니다$.$ 이것으로 증명을 마칩니다.

실제 분석에서 부분 ${\displaystyle 집합}$ E$$⊂ R ${\displaystyle$ E$\subset \mathbb$ $\{$R} },${\displaystyle 즉}$ f : $E$→ R ${\displaystyle$ f :$E\rightarrow \mathbb {R$ 연속 함수는 정의역의 모든 점에서 연속인 함수로 정의될 수도 있습니다.

제한점

토폴로지에서 한계는 토폴로지 공간의 부분 집합의 한계점을 정의하는 데 사용되며, 이는 닫힌 집합의 유용한 특성을 제공합니다.

In a topological space ${\displaystyle X}$, consider a subset ${\displaystyle S}$. A point ${\displaystyle a}$ is called a limit point if there is a sequence ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ in ${\displaystyle S\backslash \{a\}}$ such that ${\displaystyle a_{n}\rightarrow a}$.

$\{{\displaystyle {an}_{}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$이$($가) $S$∖ {a} ${\$$displaystyle$ $S\backslash$\{a\}}에 있다고 정의된 이유는 다음 예제에서 설명합니다. Take ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ and ${\displaystyle S=[0,1]\cup \{2\}}$. Then ${\displaystyle 2\in S}$, and therefore is the limit of the constant sequence ${\displaystyle 2,2,\cdots }$. But ${\displaystyle 2}$ is not a limit point of ${\displaystyle S}$.

열린 집합의 보체로 정의되는 닫힌 집합은 모든 한계점을 포함하는$$ 모든 집합 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$와 동등합니다.

파생상품

도함수는 형식적으로 극한으로 정의됩니다. 실수 분석의 범위에서, 미분은 부분 ${\displaystyle 집합}$ $E$⊂ R ${\displaystyle$ E$\subset \mathbb$ $\{$R$}$ }에 정의된 실수 $함수$ f ${\displaystyle f}$에 대해 먼저 정의됩니다.$x$ ∈ E${\displaystyle$ x\in E}에서의${\displaystyle }$미분은 다음과 같이 정의됩니다. 한계가 있는 경우

${\displaystyle \mathrm{h}}$ → 0 ${\displaystyle h\rightarrow$ 0$}$이(가) 존재하므로 $x$ ${\displaystyle x}$의 도함수는 이 한계입니다.

마찬가지로 $y$ → ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\right$ arrow $x}$의 극한값입니다.

파생상품이 존재하는 경우 일반적으로 $f{\displaystyle {}^{}\text{'}(x)}$ ${\displaystyle$ f$'(x)}$로 표시됩니다$.$

특성.

실수의 수열

실수의 수열에 대해서는 여러 가지 성질을 증명할 수 있습니다.^[12] $\{{\displaystyle {an}_{}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}$ 및${\displaystyle }${${\displaystyle {bn}_{}}$ ${\displaystyle \{b_{n}\}}$이(가) 각각$$ ${\displaystyle$ $a$$}$및 $b$ ${\displaystyle$ b$}$로 수렴되는 두 시퀀스라고 가정합니다.

• 한도의 합이 한도의 합과 같습니다.

• 한도의 제품은 제품의 한도와 동일합니다.

• Inverse of limit은 Inverse limit과 $($≠ 0${\display style$ a\n인 $경우$).$eq$ 0$\})$

마찬가지로 함수 ${\displaystyle f}$( x${\displaystyle )}$ = ${\displaystyle 1}$/ x ${\displaystyle$ $f$$(x$)= 1$/x}$는 0이 아닌 $x$ ${\displaystyle$ x$}$에 대해 연속적입니다$.$

코시 수열

실수들의 수렴 수열의 특성은 그것들이 코시 수열이라는 것입니다.^[12] 코시 수열$${${\displaystyle {an}_{}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}$의 정의는 모든 실수ϵ > 0${\displaystyle$ \$epsilon$ 0}에 대해 ,n > N${\displaystyle$m,n>N}일때마다 $N {\displaystyle$ N}이 있다는 것입니다.

비공식적으로 임의의 작은 오류$$ϵ ${\displaystyle$ $\backslash$epsilon}에 대해 결국 시퀀스가 구간 내에 포함되도록 $직경$ϵ${\displaystyle$ \epsilon}의 구간을 찾을 수 있습니다.

코시 시퀀스는 수렴 시퀀스와 밀접한 관련이 있습니다. 사실, 실수의 수열의 경우, 그것들은 동등합니다: 임의의 코시 수열은 수렴합니다.

일반적인 메트릭 공간에서는 수렴 시퀀스도 코시(Cauchy)라는 것을 계속 유지합니다. 그러나 모든 코시 수열이 일반적인 메트릭 공간에서 수렴하는 것은 아닙니다. 고전적인 반례는 일반적인 거리를$$갖는 $유리수{\displaystyle \mathbb{}}$ Q ${\$입니다. $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$번째$$ 소수 자리에서 잘린$$$2{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$에 대한 소수 근사 시퀀스는 코시 시퀀스이지만 Q ${\$에서 수렴하지 않습니다$.$

모든 코시 수열도 수렴하는 메트릭 공간, 즉 코시 수열이 수렴하는 시퀀스와 동등한 메트릭 공간을 완전 메트릭 공간이라고 합니다.

코시 시퀀스가 수렴 시퀀스보다 "작업하기 더 쉽다"는 한 가지 이유는 수렴 시퀀스가${\displaystyle }${${\displaystyle {an}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}$ 시퀀스만의$$ 속성인 반면 수렴 시퀀스는${\displaystyle }${${\displaystyle {an}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}$ 시퀀스뿐만$$ 아니라 ${\displaystyle$ a$} 시퀀스$의 한계도 필요하기 때문입니다$.$

수렴순서

시퀀스${\displaystyle }${${\displaystyle {an}_{}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$이(가) 한계 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ a$}$에 수렴하는지$$ 여부를$$넘어 시퀀스가 $한계$에 얼마나 빨리 수렴하는지 설명할 수 있습니다. 이를 정량화하는 한 가지 방법은 시퀀스의 수렴 순서를 사용하는 것입니다.

수렴 순서에 대한 공식적인 정의는 다음과 같이 말할 수 있습니다. > 0 ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n>0}}$이(가) 한계 $a$ ${\displaystyle$ a$}$에 수렴하는 실수의 수열이라고 가정합니다$.$ $또한$, ≠ ${\displaystyle a_{}}$ {\$displaystyle$a_{n}\n$모든{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$에 대해 $eqa}$입니다$.$ 양의 상수$$λ${\displaystyle$\$}$ 및 α${\displaystyle$\alpha}가 다음과 같이 존재하는 경우

그런 다음 ${\displaystyle a_{n}}$가 수렴 $$ ${\displaystyle \alpha}$의 순서로 ${\displaystyle$ a$}$에 수렴한다고 합니다$.$ 상수$$λ${\displaystyle$\lambda}를 점근 오차 상수라고 합니다.

수렴 순서는 오류 분석에서 수치 분석 분야에 사용됩니다.

계산가능성

한계는 계산하기 어려울 수 있습니다. 수렴 계수를 결정할 수 없는 한계식이 존재합니다. 재귀 이론에서 한계 보조 정리는 한계를 사용하여 결정할 수 없는 문제를 인코딩할 수 있음을 증명합니다.^[14]

한계가 존재하는지 여부를 나타내는 몇 가지 정리나 검정이 있습니다. 이것들은 수렴 테스트로 알려져 있습니다. 그 예로는 비율 검정과 스퀴즈 정리가 있습니다. 그러나 그들은 한계를 계산하는 방법을 말하지 않을 수 있습니다.

참고 항목

• 점근적 분석: 제한적 행동을 설명하는 방법
  • Big O 표기법: 인수가 특정 값 또는 무한대를 향하는 경향이 있을 때 함수의 제한 동작을 설명하는 데 사용됩니다.
• 일반적인 한계를 확장하는 바나흐 공간$$ℓ ∞ {\$displaystyle \ell ^{\$infty }에 정의된 바나흐 한계.
• 확률변수의 수렴
• 수렴행렬
• 범주이론의 한계
  • 직접한도
  • 역한계
• 함수의 극한
  • 편측 극한: x가 위 또는 아래에서 한 점에 접근할 때 실수 변수 x의 두 함수 극한 중 하나
  • 한계 목록: 공통 기능에 대한 한계 목록
  • 스퀴즈 정리: 다른 두 함수와의 비교를 통해 함수의 극한을 찾습니다.
• 한도우량과 한도우량
• 수렴 모드
  • 주석이 달린 색인

메모들

참고문헌

• Apostol, Tom M. (1974), Mathematical Analysis (2nd ed.), Menlo Park: Addison-Wesley, LCCN 72011473

외부 링크

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