헤비사이드 은폐법

올리버 헤비사이드의 이름을 딴 헤비사이드 커버업 방법은 합리적인 함수의 부분 굴절 확장을 수행할 때 계수를 결정할 때 가능한 접근법 중 하나이다.^[1]

방법

부분 대수적 표현을 부분 분수로 분리하는 것은 각 분수를 가장 낮은 공통분모(LCD)로 변환하고 분자를 추가함으로써 분수를 결합하는 과정의 역이다. 이러한 분리는 부분분수의 계수를 결정하기 위한 또 다른 방법인 Hubiside cover-up 방법에 의해 이루어질 수 있다. 사례 1은 분모에 있는 요인이 고유한 부분적 식을 가지고 있다. 사례 2는 일부 요인이 이항력의 힘으로 반복될 수 있는 부분적 표현을 가지고 있다.

적분 미적분에서 우리는 각각의 간단한 분수의 적분을 따로따로 취하기 위해 부분 분수의 합으로 부분 대수적 표현을 쓰기를 원한다. 원래 분모인 D가₀ 인수되면 분모의 각 인자에 대해 분수를 설정한다. 우리는 D의₀ 인자인 각 부분분수의 분모를 나타내기 위해 첨자 D를 사용할 수 있다. 문자 A, B, C, D, E 등은 각 부분 분수의 분자를 나타낸다. 부분분수 항이 분모에 단일(즉, 미복제) 이항체를 갖는 경우 분자는 입력분수에 의해 정의된 함수의 잔류물이다.

우리는 (1) 분모의 뿌리(즉 분모를 0으로 만드는 x의 값)를 취하여 각 분자를 계산하고 (2) 이 뿌리를 원래의 표현으로 대체하되 분모의 해당 인자는 무시한다. 변수에 대한 각 루트는 우리가 0으로 나누지 않기 때문에 식에 정의되지 않은 값을 제공하는 값이다.

세 개의 고유한 루트가 있는 입방 분모의 일반 공식:

${\displaystyle {\ell x^{2}+mx+n}{(x-b)(x-c)}}}{\frac {A}{(x-a)}}}}}}{\frac {B}}}}+{\frac {C}{x-c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}"$

어디에

${\displaystyle A={\frac {\ell a^{2}+ma+n}{(a-b)(a-c)};}$

그리고 어디에

${\displaystyle B={\frac {\ell b^{2}+mb+n}{(b-c)(b-a)}};}$

그리고 어디에

${\displaystyle C={\frac {\ell c^{2}+mc+n}{(c-a)(c-b)}}.}$

사례 1

분모의 식을 인수한다. 분모의 각 요인에 대해 부분 분수를 설정하십시오. 각 부분분수의 새 분자에 대해 해결하려면 커버업 규칙을 적용하십시오.

예

${\displaystyle {\x^{3x^{2}+12x+11}{(x+1)(x+2)}}}{\frac {A}{x+1}+{B}{x+2}}+{\frac {C}{x+3}}}}}}}}}}}$

분모의 각 요인에 대해 부분 분수를 설정하십시오. 이 프레임워크로 우리는 A, B, C에 대해 해결할 수 있는 은폐 규칙을 적용한다.

1. D는₁ x + 1이고, 0으로 설정한다. 이는 x = -1일 때 A에 대한 잔류물을 준다.

2. 다음으로 x의 이 값을 분수식으로 대체하되 D는₁ 제외한다.

3. 이 값을 A의 값으로 내려놓는다.

B와 C에 대해서도 비슷하게 진행하십시오.

D는₂ x + 2이며, 잔류물 B는 x = -2를 사용한다.

D는₃ x + 3이며, 잔류물 C의 경우 x = -3을 사용한다.

따라서 A에 대해 해결하려면 식에 x = -1을 사용하되 D₁:

${\displaystyle {\frac{3x^{2}+12x+11}{(x+2)}}}{\frac {3-12+11}{(1)(2)}}}{\frac {2}{2}}=1=A.}$

따라서 B에 대해 해결하려면 식에 x = -2를 사용하되 D를₂ 사용하지 마십시오.

${\displaystyle {\frac{3x^{2}+12x+11}{(x+1)}}{\frac {12-24+11}{(1)}}}}{\frac {-1}{(-1)}=+1=B.}$

따라서 C에 대해 해결하려면 D: 없이 식에 x = -3을 사용하십시오₃.

${\displaystyle {\frac{3x^{2}+12x+11}{(x+1)}}{\frac {27-36+11}{(2)(-1)}}{\frac {2}{(+2)}}}}}=+1=C.}$

그러므로,

${\displaystyle {\x^{3x^{2}+12x+11}{(x+1)(x+2)}}}={\frac {1}{x+1}+{1}{x+2}}+{\frac {1}{x+3}}}}}}}}}$

사례2

분모의 요인이 하나의 표현의 힘을 포함할 때 우리는

1. 각 고유 요인 및 D의 낮은 전력에 대해 부분 분수를 설정한다.
2. 모두 LCD로 변환된 경우 분자의 관계를 나타내는 방정식을 설정한다.

각 분자, A, B, C, D 등에 대해 우리가 푸는 분자의 방정식으로부터. 이 분자의 방정식은 x의 모든 값에 대해 참인 절대적 정체성이다. 따라서 x의 값을 임의로 선택하여 분자에 대해 해결할 수 있다.

예

${\displaystyle {\frac {3x+5}{{{2}}={\frac {A}{(1-2x)^{2}}+{\frac {B}{1-2x}}}}}}}$

여기서는 분모의 각 하강력에 대해 부분분수를 설정한다. 그리고 나서 우리는 A와 B라는 숫자에 대해 해결한다. $({\displaystyle 1}$- ${\displaystyle 2}$ $){\displaystyle (1-2x)}}$이(가) 반복적인 요소인$$ 만큼, 이제 두 숫자를 찾아야 하기 때문에 두 숫자를 모두 해결하기 위해서는 추가적인 관계가 필요하다. To write the relation of numerators the second fraction needs another factor of ${\displaystyle (1-2x)}$ to convert it to the LCD, giving us ${\displaystyle 3x+5=A+B(1-2x)}$. In general, if a binomial factor is raised to the power of ${\displaystyle n}$, then ${\displaystyle n}$ 상수 ${\displaystyle K_{}}$ ${\$가 필요하며$$, 각각 연속적인 힘으로 나타나는${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle 2}$ x${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle k^{}}$ ${\$ $여기$서 k ${\$$displaystyle k}$은 1에서$n$까지 실행된다$.$ 은폐 규칙은 ${\displaystyle {An}_{}}$ ${\$를 찾는 데 사용할 수 있지만$,$ 잔류물이라고 하는 A ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}이다. 여기서 $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n=2$ A${\displaystyle }$= ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $B{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 대해 해결하려면:$$

${\displaystyle 첫}$ 번째 분수의 분모를 0으로 설정하여$${\${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$$A$}을(를) $해결$할 수 있으며$$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$-$$2 ${\displaystyle \mathrm{x}}$ = 0 {\$displaystyle$ 1-2x$=0$

$x{\displaystyle }$${\displaystyle x}$을(를) 해결하면 A ${\displaystyle A$에 대한 은폐 값이 ${\displaystyle 제공}$됨${\displaystyle :}$x = 1 / 2 {\$displaystyle$ x$=1/2$}$$.

이${\displaystyle }값$을 ${\displaystyle \mathrm{x}}$ = 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}${\$displaystyle x=1/2}$로 바꾸면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다$.$

${\displaystyle 3\왼쪽({\frac {1}{2}}\오른쪽)+5=A+B(0)}$

${\displaystyle A={\frac {3}{2}}+5={\frac {13}{2}}:}$

$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$에 대해 해결하려면:$$

여기서 ${\displaystyle \mathrm{숫자}}$ 방정식은 3 $x{\displaystyle \mathrm{}}$+ ${\displaystyle 5}$= A${\displaystyle }$+ ${\displaystyle B(1}$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{x}}$ )${\displaystyle 3x+5=A+B(1-2x$의 모든 x 값에 $대해{\displaystyle }$ 참이므로$,$ $x{\displaystyle }${\$displaystyle x}$ 값을 선택하고$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$에 대해 해결하는 데 사용한다$.$

위의$$ $A{\displaystyle }$$${\$displaystyle A}$ 값 A${\displaystyle }$= ${\displaystyle 13}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle A=13/2}$에 대해 해결했듯이$,$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$에 대해 해결하려면 이 값을 사용하십시오$.$

$x{\displaystyle }$${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle$ x$=0}$을($$를) 선택하고 A${\displaystyle }$= ${\displaystyle 13\mathrm{}}$/ 2 ${\displaystyle A=13/2$}을$($를) 사용한 $다음{\displaystyle }$ B ${\displaystyle B}$에 대해 해결하십시오.$$

${\displaystyle {\begin{aligned}3x+5&=A+B(1-2x)\\0+5&={\frac {13}{2}}+B(1+0)\\{\frac {10}{2}}&={\frac {13}{2}}+B\\-{\frac {3}{2}}&=B\\\end{aligned}}}$

$x{\displaystyle }$${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ x$=1$}을($$를$)$ 선택한 다음 B ${\displaystyle B}$에 대해 해결하십시오.$$

${\displaystyle {\begin{aligned}3x+5&=A+B(1-2x)\\3+5&={\frac {13}{2}}+B(1-2)\\8&={\frac {13}{2}}+B(-1)\\{\frac {16}{2}}&={\frac {13}{2}}-B\\B&=-{\frac {3}{2}}\end{aigned}}}$

$x{\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x=-1}$을(를) 선택할 수 있다.$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}:$

${\displaystyle {\begin{aligned}3x+5&=A+B(1-2x)\\-3+5&={\frac {13}{2}}+B(1+2)\\{\frac {4}{2}}&={\frac {13}{2}}+3B\\-{\frac {9}{2}}&=3B\\-{\frac {3}{2}}&=B\end{aligned}}}$

그러므로,

${\displaystyle {\frac {3x+5}{{{2}}:}={\frac {13/2}{(1-2x)^{2}}:}+{\frac {-3/2}{(1-2x)}}},}$

또는

${\displaystyle {\frac {3x+5}{{{2}}:}={\frac {13}{2(2x)^{2}}-{\frac {3}{2(2x)}}}}}}$

참조

외부 링크

• http://www.math-cs.gordon.edu/courses/ma225/handouts/heavyside.pdf
• MIT 18.03 교수에 의한 Hubiside의 은폐 방법에 관한 참고사항 아서 마턱