잔류물(복잡한 분석)

수학에서, 더 구체적으로 말하면, 잔여물은 특이점 중 하나를 둘러싸는 경로를 따라 용적함수의 등고선 적분에 비례하는 복잡한 수이다.(더 일반적으로, 잔여물은 필수 특이점인 {a_k}_k을(를) 제외한 $f\colon \mathbb {C} \setminus \{a_{k}\}_{k}\rightarrow \mathbb {C}$ 함수 f : $f\colon \mathbb {C} \setminus \{a_{k}\}_{k}\rightarrow \mathbb {C}$ C $f\colon \mathbb {C} \setminus \{a_{k}\}_{k}\rightarrow \mathbb {C}$ { $f\colon \mathbb {C} \setminus \{a_{k}\}_{k}\rightarrow \mathbb {C}$ k $f\colon \mathbb {C} \setminus \{a_{k}\}_{k}\rightarrow \mathbb {C}$ → $f\colon \mathbb {C} \setminus \{a_{k}\}_{k}\rightarrow \mathbb {C}$ ${\$ C $} \setminus \{a_{k}\{k}}\rightarrow$ \mathb { $C}}}}$ 에 대해 계산할 수 있다.)잔류물은 꽤 쉽게 계산할 수 있으며, 일단 알려지면 잔류 정리를 통해 일반 윤곽선 통합을 결정할 수 있다.

정의

The residue of a meromorphic function $f$ at an isolated singularity $a$ , often denoted $\operatorname {Res} (f,a)$ or $\operatorname {Res} _{a}(f)$ , is the unique value $R$ such that $f(z)-R/(z-a)$ $f(z)-R/(z-a)$ ( $f(z)-R/(z-a)$ ( $f(z)-R/(z-a)$ - ) ${\displaystyle$ f $(z)-R/(z-a)}$ 에 펑크 난 $0<\vert z-a\vert <\delta$ < z $0<\vert z-a\vert <\delta$ > - $0<\vert z-a\vert <\delta$ {\ $displaystyle 0<\vert z-a\vert$ <\ $delta$ }}에 분석 항변성제가 있다 $f(z)-R/(z-a)$ $0<\vert z-a\vert <\delta$

또는 Laurent 시리즈 확장을 찾아 잔류물을 계산할 수 있으며, 잔류물을 Laurent 시리즈의 계수 a로₋₁ 정의할 수 있다.

잔류물의 정의는 임의의 리만 표면으로 일반화할 수 있다. $\omega$ $\omega$ 이 $\omega$ (가) Riemann 표면의 1 형태라고 가정하십시오.Let $\omega$ be meromorphic at some point $x$ , so that we may write $\omega$ in local coordinates as $f(z)\;dz$ . Then, the residue of $\omega$ at $x$ is defined to be the residue of $f(z)$ $f(z)$ $x$ $f(z)$ x $x$ 에 해당하는 지점 $f(z)$ .

예

단면체의 잔류물

단량체의 잔류물 계산

\point _{C}z^{k}\,dz

대부분의 잔여 연산을 하기 쉽게 만든다.경로 적분 계산은 동종 피복 불변성이므로 $C$ $C$ 을(를) $반지름$ 1 ${\displaystyle 1$ 의 원으로 한다. 그런 다음 $C$ 좌표 $z\to e^{i\theta }$ → $z\to e^{i\theta }$ $z\to e^{i\theta }$ → e $z\to e^{i\theta }$ ${\displaystyle$ z\ $to e^{i\tea}}}}}$ 을(를)로 $z\to e^{i\theta }$ 변경하면 알 수 있다.

(\displaystyle dz\to d(e^{i\theta })=ie^{i\theta }\,d\theta }

그러므로 우리의 본질은 지금 다음과 같이 읽는다.

\point _{C}z^{k}dz=\int_{0}^{2\pi }ie^{i(k+1)\theta }\,d\\begin}{base}2\pi i&{\text}if }}k=-1,\0&{\text{기타텍스트 {otherwise}.\end{case}}

단원 잔류물 도포함

예를 들어 등고선 적분을 고려하십시오.

\point _{C}{e^{z}\over z^{5}\,dz

여기서 C는 약 0의 단순한 닫힌 곡선이다.

직렬별 통합에 대한 표준 수렴 결과를 사용하여 이 통합 요소를 평가해 봅시다.우리는 테일러 시리즈를 $e^{z}$ 에 $e^{z}$ $e^{z}$ z $e^{z}$ {\ $displaystyle e$ ^{ $z}$ 로 대체할 수 있다.그러면 그 본질은 될 것이다.

\point _{C}{1 \over z^{5}\좌측(1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \3} \오버 3!}+{z^{4} \over 4!}+{z^{5} \5} \5} \5} \5} \over 6!}}}}}}}}{z^+++}}}}}{cdz}} \{cdz+}}}}}}}}}}}

1/z⁵ 인자를 시리즈로 가져오자.그런 다음 영상 시리즈의 등고선 적분

{\displaystyle{\begin{정렬}&,\oint _ᆫ\leftᆩ\,dz\\[4pt]={}&,\oint _{C}\left({1\over\;z^{5}}+{1\over\;z^{4}}+{1\over 2!\;z^{3}}+{1\over 3!\;z^{2}}+{1\over 4!\;z}+{1\o.Ver.5!}+{z \over 6!}+\cdots \right)\,dz.\end{정렬}}}

시리즈는 통합 경로의 지지에 따라 균일하게 수렴되기 때문에, 우리는 통합과 합산을 교환할 수 있다.그러면 일련의 경로 통합은 이전의 계산 때문에 훨씬 단순한 형태로 붕괴된다.그래서 이제 cz형식이⁻¹ 아닌 다른 모든 용어의 C 주위에 있는 적분은 0이고, 적분은 0으로 줄어든다.

\point _{C}{1 \over 4\;z}\,dz={1 \over 4!}}\point _{C}{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i)={\pi i \over 12}}

값 1/4!은 z = 0에서 e^z/z의⁵ 잔류물이며, 표시된다.

\operatorname {Res} _{0}{e^{z} \over z^{5}},{\text{ or }}\operatorname {Res} _{z=0}{e^{z} \over z^{5}},{\text{ or }}\operatorname {Res} (f,0){\text{ for }}f={e^{z} \over z^{5}}.

잔류물 계산

복합 평면에 구멍이 난 디스크 D = {z : 0 < z - c < R}이(가) 주어지고 f가 D에 정의된(적어도) 홀로모르픽 함수라고 가정하자.f at c에서 f의 잔류물 Res(f, c)는 f around c의 Laurent 시리즈 팽창에서 (z - c)⁻¹의 계수 a이다₋₁.이 값을 계산하기 위한 다양한 방법들이 존재하며, 어떤 방법을 사용할 것인가는 문제의 함수, 그리고 특이점의 특성에 따라 결정된다.

잔류물 정리상 다음과 같은 것이 있다.

\operatorname {Res}(f,c)={1 \over 2\pi i}\point _{\gamma }f(z)\,dz

여기서 γ c 주위의 원을 시계 반대 방향으로 추적한다.우리가 원하는 만큼 choose이 작은 c 주위의 반지름 ε의 원으로 γ 경로를 선택할 수도 있다.이는 적분을 직접 계산할 수 있는 경우 계산에 사용할 수 있지만, 일반적으로 잔류물을 적분 계산을 단순화하기 위해 사용하는 경우가 많으며, 그 반대는 아니다.

탈착식 특이점

함수 f를 전체 $|y-c|<R$ $|y-c|<R$ - c $|y-c|<R$ < $|y-c|<R$ $y-c <R$ 의 홀로모픽 함수로 계속할 수 있다면 Res(f, c) = 0이다 $|y-c|<R$ 그 반대는 일반적으로 사실이 아니다.

심플 폴

간단한 극 c에서 f의 잔류물은 다음과 같이 주어진다.

\operatorname {Res}(f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).

만약 그 한계가 존재하지 않는다면, 거기에는 본질적인 특이점이 있다.0일 경우 분석 또는 탈착 가능한 특이점이 있다.무한대일 경우 순서는 1보다 높다.

It may be that the function f can be expressed as a quotient of two functions, $f(z)={\frac {g(z)}{h(z)}}$ , where g and h are holomorphic functions in a neighbourhood of c, with h(c) = 0 and h'(c) ≠ 0. In such a case, L'Hôpital's rule can be used to simplify the above formula to:

{\begin{aligned}\operatorname {Res} (f,c)&=\lim _{z\to c}(z-c)f(z)=\lim _{z\to c}{\frac {zg(z)-cg(z)}{h(z)}}\\[4pt]&=\lim _{z\to c}{\frac {g(z)+zg'(z)-cg'(z)}{h'(z)}}={\frac {g(c)}{h'(c)}}.\end{정렬}}

고차 폴에 대한 수식 제한

보다 일반적으로, c가 n 순서의 극인 경우, z = c 주위에 f의 잔류물은 다음 공식으로 찾을 수 있다.

\operatorname {Res}(f,c)={\frac {1}{(n-1)!}}}\lim _{z\to c}{\frac {d^{n-1}{dz^{n-1}}\왼쪽(z-c)^{nf(z)\오른쪽).

이 공식은 저차 극의 잔류물을 결정하는 데 매우 유용할 수 있다.고차 극의 경우 계산이 관리 불가능해질 수 있으며, 일반적으로 직렬 확장이 용이하다.필수적인 특이점의 경우, 그러한 단순한 공식은 존재하지 않으며, 잔여물은 일반적으로 직렬 팽창으로부터 직접 채취해야 한다.

무한대의 잔류물

일반적으로 무한대의 잔류물은 다음과 같이 정의된다.

\operatorname {Res}(f(z),\inflt )=-\operatorname {Res} \좌({\frac {1}{z^{2}}:f\좌({\frac {1}{z}\오른쪽),0\우).

다음 조건이 충족되는 경우:

\lim _{ z \to \infit }f(z)=0,

그 다음 무한대의 잔류물은 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있다.

\operatorname {Res}(f,\ft )=-\lim _{ z \to \inft }z\cdot f(z).

만약 그 대신에

\lim _{ z \to \infit }f(z)=c\neq 0,

무한대의 잔여물은

\operatorname {Res}(f,\ft )=\lim _{z^{2}\cdot f'(z)

홀로모르픽 기능의 경우, 격리된 특이치의 잔류물과 무한대의 잔류물의 합은 0이다.

직렬 방식

기능의 일부 또는 전체를 테일러 시리즈 또는 Laurent 시리즈로 확장할 수 있는 경우, 기능 전체 또는 일부가 표준 시리즈 확장을 가질 경우 잔류물 계산이 다른 방법보다 상당히 간단하다.

첫 번째 예로서 함수의 특이점에서의 잔류물 계산을 고려하십시오.
$f(z)={\sin z \over z^{2}-z}$
특정 등고선 적분 계산에 사용될 수 있다.이 함수는 z = 0에 특이점이 있는 것으로 보이지만, 한 개의 인자가 분모를 인수하여 다음과 같이 함수를 기록하면
$f(z)={\sin z \over z(z-1)}}}$
z = 0에서 특이점이 탈착 가능한 특이점이고, 그 다음 z = 0에서 잔류물이 0인 것이 명백하다.
유일한 특이점은 z = 1. 함수 g(z)에 대한 Taylor 시리즈의 식을 z = a:
$g(z)=g(a)+g'(a)(z-a)+{g')^{2} \over 2!}+{g''(a)(z-a)^{3} \over 3!}+\cdots }$
그래서 g(z) = sin z와 a = 1에 대해
$\sin z=\sin 1+(\cos 1)+{-(\sin 1)^{2} \over 2!}+{-(\cos 1)^{3} \over 3!}+\codots .$ g(z) = 1/z 및 a = 1의 경우 ${\frac {1}{z}={\frac {1}{{1}(z-1)+1}=1-(z-1)+(z-1)^{2}-(z-1)^{3}+\cdots .$
그 두 시리즈를 곱하고 1/(z - 1)을 도입하면 우리는
${\frac {\sin z}{z(z-1)}={\sin 1 \over z-1}+(\cos 1-\sin 1)+(z-1)+\왼쪽{\frac {\sin-1}{2!}}}-\cos 1+\sin 1\오른쪽)+\cdots .$
따라서 z = 1에서 f(z)의 잔류물은 죄 1이다.
다음 예는 시리즈 확장에 의한 잔류물 계산에서, 주요 역할은 라그랑주 반전 정리에 의해 수행된다는 것을 보여준다.내버려두다 $u(z):=\sum _{k\geq 1}u_{k}z^{k}}}}$ 전체 기능이다, 그리고 하게 하다. $v(z):=\sum _{k\geq 1}v_{k}z^{k}}}}$ 정합 반경 v 1 ${\textstyle v_{1}\neq 0}$ ${\textstyle v_{1}\neq 0}$ ${\textstyle v_{1}\neq$ 0 $}$ 과(와) 함께 ${\textstyle v_{1}\neq 0}$ ${\textstyle v(z)}$ v ${\textstyle v(z)}$ ( z ${\textstyle v(z)}$ ) {\ $textstyle v(z)}$ 은(는 ${\textstyle V(z)}$ ) 0에 ${\textstyle V(z)}$ 역 V ${\textstyle V(z)}$ ( ${\textstyle V(z)}$ ) ${\$ $textstyle$ $V($ ${\textstyle u(1/V(z))}$ 이 ${\textstyle v(z)}$ (가) 있고, $u$ 1 $/V(z)$ 는 ${\textstyle u(1/V(z))}$ 0에 meromorphic이다.그리고 다음이 있다. $\operatorname {Res} _{0}{\big (}u(1/V(z){\big )}=\sum _{k=0}^{\infit }ku_{k}v_{k}.$ 정말, $\operatorname {Res} _{0}{\big (}u(1/V(z)){\big )}=\operatorname {Res} _{0}\left(\sum _{k\geq 1}u_{k}V(z)^{-k}\right)=\sum _{k\geq 1}u_{k}\operatorname {Res} _{0}{\big (}V(z)^{-k}{\big )}$ 첫 번째 시리즈는 0 주위에 있는 어떤 작은 원 위에서 균일하게 수렴되기 때문이다.라그랑주 반전 정리 사용 $\operatorname {Res} _{0}{\big (}V(z)^{-k}{\big )}=kv_{k}}}}$ 그리고 우리는 위의 표현을 얻는다.예를 들어 $u(z)=z+z^{2}$ z $u(z)=z+z^{2}$ ) $u(z)=z+z^{2}$ = $u(z)=z+z^{2}$ + $u(z)=z+z^{2}$ $u(z)=z+z^{2}$ ${\$ 및 $u(z)=z+z^{2}$ $v(z)=z+z^{2}$ $v(z)=z+z^{2}$ = z $v(z)=z+z^{2}$ + $v(z)=z+z^{2}$ $v(z)=z+z^{2}$ ${\$ 인 경우 $v(z)=z+z^{2}$ $V(z)={\frac {2z}{1+{\sqrt{1+4z}}}$ 그리고 $u(1/V(z))={\frac {1+{\sqrt{1+4z}}{2z}{2z}}{2z}}}{2z^{2}}.$ 첫 번째 용어는 잔류물에 1을 기여하고, 두 번째 용어는 $1/z^{2}+2/z$ / $1/z^{2}+2/z$ 2 $1/z^{2}+2/z$ + $1/z^{2}+2/z$ / $z$ 에 무증상이기 때문에 2를 기여한다 $.$ ${\textstyle u(z)}$ ) ${\textstyle u(z)}$ {\ $textstyle u(z)}$ ${\textstyle v(z)}$ v ${\textstyle v(z)}$ 에 해당하는 더 강한 대칭 가정과 함께 ${\textstyle v(z)}$ u(z) ${\textstyle v(z)}$ {\ $textyle v(z)}$ 에 대한 대칭 가정도 다음과 같다. $\operatorname {Res} _{0}\left(1/V)\right)=\operatorname {Res} _{0}\left(1/U)\right),$ 여기서 ${\textstyle U(z)}$ ( ${\textstyle U(z)}$ ) ${\textstyle U(z)}$ 은 ${\textstyle U(z)}$ (는) 0에서 ${\textstyle u(z)}$ ${\textstyle u(z)}$ ( ${\textstyle u(z)}$ ) ${\textstyle u(z)}$ 의 로컬 역이다.

참고 항목

잔류물 정리는 함수의 극 일부 주위에 있는 등고선 적분과 잔차의 합을 연관시킨다.
코치의 적분식
코치의 적분 정리
미타그-레플러의 정리
등고선 통합 방법
모레라의 정리
복합분석에서의 부분분수

참조

Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis. McGraw Hill.
Marsden, Jerrold E.; Hoffman, Michael J. (1998). Basic Complex Analysis (3rd ed.). W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-2877-1.

외부 링크

"Residue of an analytic function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Complex Residue". MathWorld.

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