하이젠베르크의 행렬 역학 진입로

자세한 내용은 양자역학 소개를 참조하십시오.
양자 물리학의 특정 주제에 대한 자세한 내용은 매트릭스 역학을 참조하십시오.

베르너 하이젠베르크는 옛 양자물리학이 점점 더 많은 장애물이 흩어져 있는 분야를 발견하고 있는 시점에서 과학에 기여했다.그는 양자물리학을 처음부터 다시 생각해야 한다고 결정했다.그렇게 하면서 그는 고전 물리학과 그것의 거시적 세계 모델링에 기초하는 몇 가지 항목들을 제거했다.하이젠버그는 그의 양자역학을 "원칙적으로 관측할 수 있는 양 사이의 관계에 전적으로 의존한다"^[1]고 결정했다.그렇게 함으로써 그는 행렬 역학의 진입로를 건설했다.

그는 그 후 '전자의 회전 위치와 기간'^[2]과 같은 것에 대해 어떤 진술도 사용할 수 없다는 것을 관찰했다.오히려 가장 단순한 경우의 방사선, 즉 흥분된 수소 원자의 방사선을 이해하는데 있어서 진정한 진전을 이루기 위해, 사람들은 함께 작용하는 수소 광선 스펙트럼의 주파수와 강도만을 측정했다.

고전 물리학에서는 복사 시스템에서 생성되는 각 빛의 주파수의 강도는 그 주파수에서 방사선의 진폭의 제곱과 같기 때문에 다음에 관심이 진폭에 떨어졌다.하이젠베르크가 양자 이론 방정식을 형성하기 위해 사용하기를 바랐던 고전 방정식은 우선 진폭을 산출할 것이고, 고전 물리학에서는 진폭을 단순히 제곱함으로써 강도를 계산할 수 있을 것이다.그러나 하이젠베르크는 크라머스가 행한 빛의 분산을 계산하는 최근의 작업에 의해 제공된 선례를 따르는 것이 "가장 단순하고 가장 자연스러운 가정"^[3]이라고 보았다.^[4]그가 이전 year[5]를 Kramers 했던 그 일은 지금 그를 어떻게 모델화할 때, 하나의 주파수의 적외선이 에너지가 들어오는 빛을 배달해 – 언젠가 re-radiated는 분산 매질에 원자와 그 흥분해 무슨 일이 일어났는지 빛 방사가 흥분한 수소 가스에게 일어난 일에 대해 중요한 단서를 제공했다.s원래 주파수에서 그러나 종종 두 개의 낮은 주파수에서 합은 원래 주파수와 동일하다.그들의 모델에 따르면, 들어오는 광자의 에너지를 받아들임으로써 더 높은 에너지 상태로 몰렸던 전자가 평형 위치로 한 단계 되돌아와 같은 주파수의 광자를 재방사시키거나, 혹은 평형 상태로 복귀하는 각 단계마다 하나의 광자를 방사하면서 한 단계 이상 되돌아올 수도 있다.이러한 고려사항에 근거하여 새로운 방정식을 도출하는 데 있어 요인이 소멸되는 방식 때문에, 결과는 비교적 간단하다.

완전 양자역학 이론 개발

베르너 하이젠베르크는 고전물리학이 원자와 분자보다 더 큰 사물의 세계에 있는 현상에 적용될 때 정확하기 때문에, 그것은 보다 포괄적인 양자 이론 모델의 특별한 사례로 서야 한다는 생각을 사용했다.그래서 그는 매개변수가 일상적인 물체의 척도에 있을 때는 고전물리학처럼 보이도록 양자물리학을 변형할 수 있기를 바랐지만, 매개변수를 원자 척도로 끌어내렸을 때는 가시적인 수소 광선 스펙트럼의 넓은 간격의 주파수 같은 것들에서 보이는 불연속성을 볼 수 있기를 바랐다.다시 시야에 들어오다

당시 사람들이 수소 방사선에 대해 가장 이해하고 싶었던 것은 스펙트럼 내 선의 강도를 어떻게 예측하거나 설명하느냐 하는 것이었다.하이젠베르크는 당시에는 몰랐지만 양자 이론적 계산으로 작업하는 새로운 방식을 표현하기 위해 그가 고안한 일반적인 형식은 두 행렬의 레시피와 이를 어떻게 곱할 것인가 하는 역할을 할 수 있다.^[6]

하이젠베르크의 1925년의 획기적인 논문은 매트릭스를 사용하지도 언급하지도 않는다.하이젠베르크의 큰 발전은 "수소 방사선의 관련 물리적 특성(변환 빈도와 진폭)을 원칙적으로 결정할 수 있는 계획"^[7]이었다.

하이젠버그는 자신의 지상고안을 작성한 후, 필요한 수정을 위해 선배 동료 중 한 명에게 넘겨주고 충분한 휴가를 갔다.맥스 본은 하이젠베르크가 골치 아프고 불안하다고 생각한 방정식과 비계산 방정식에 대해 어리둥절했다.며칠 후 그는 이러한 방정식이 행렬을 작성하는 방향과 같다는 것을 깨달았다.매트릭스는 그 당시의 수학자들에게도 다소 뒤떨어져 있었지만, 이미 그들로 수학을 어떻게 할 것인가는 분명히 정립되어 있었다.그와 몇 명의 동료들은 하이젠베르크가 휴가에서 돌아오기 전에 매트릭스 형태로 모든 것을 해결하는 일을 맡았고, 몇 달 안에 매트릭스 형태의 새로운 양자역학이 또 다른 논문의 기초를 형성했다.

하이젠베르크의 매트릭스 역학의 맥락에서 위치, 모멘텀과 같은 양이 언급될 때, pq q qp와 같은 문장은 p의 단일 값과 단일 값 q를 가리키는 것이 아니라 위치 값과 모멘텀 값의 매트릭스(정의된 방법으로 배열된 값의 그리드)를 가리키는 것임을 명심해야 한다.따라서 p 곱하기 q 또는 q 곱하기 p는 두 행렬의 행렬 곱하기입니다.두 행렬을 곱하면 정답은 세 번째 행렬이다.

Max Born은 pq와 qp를 나타내는 행렬이 계산될 때 그들은 같지 않을 것이라고 보았다.하이젠베르크도 사물을 형성하는 본래의 방식에서 이미 같은 것을 보았으며, 하이젠베르크도 본에게 거의 즉각적으로 명백했던 것 - pq와 qp에 대한 해답 행렬의 차이는 항상 하이젠베르크의 원래 수학에서 나온 두 가지 요인을 포함한다는 것을 짐작했을지도 모른다: 플랑크의 상수 h와 i, whic.h는 음의 제곱근이다.그래서 하이젠베르크의 원래 방정식에는 하이젠베르크의 "불확실성 원리"(보통 불확실성 원리로 알려져 있음)라고 부르는 바로 그 생각이 도사리고 있었다.

Paul Dirac은 하이젠버그가 원래 문제적으로 발견한 바로 그 특징에 하이젠베르크 작품의 본질은, 즉 변위 매트릭스에 의한 운동 매트릭스의 곱셈과 운동 매트릭스에 의한 변위 매트릭스의 곱셈과 같은 비확정성의 사실에 있다고 결정했다.그 통찰력은 디랙을 새롭고 생산적인 방향으로 이끌었다.^[8]

불확실성 원리

하이젠베르크의 선배 중 한 명인 맥스 본은 위에서 주어진 자신의 이상한 "레시피"를 어떻게 받아들였고, 땅이 깨지는 것을 발견했는지를 설명했다.^[9]

...의 예에 의하여...[하이젠베르크] 이 법칙을 발견했다....이것은 1925년 여름이었다.하이젠베르크...휴직...그리고 그의 논문을 나에게 넘겨서 출판하게 했다.

하이젠베르크의 곱셈 법칙은 내게 아무런 평화를 남기지 않았고, 일주일 동안 집중적인 사고와 실험을 한 끝에 문득 대수학 이론이 떠올랐다....그러한 2차 배열은 수학자들에게 꽤 친숙하며, 확연한 곱셈 규칙과 연관되어 행렬이라고 불린다.나는 이 규칙을 하이젠베르크의 양자 조건에 적용했고, 그것이 대각선 원소에 대해 동의한다는 것을 발견했다.남아 있는 원소, 즉 무효가 무엇이어야 하는가를 쉽게 짐작할 수 있었고, 바로 그 이상한 공식이 눈앞에 서 있었다.

${\displaystyle {QP-PQ={\frac {ih}{2\pi }}}}}}}}$
[기호 Q는 변위 행렬이고, P는 운동량 행렬이고, i는 음의 제곱근을 나타내며, h는 플랑크의 상수다.]^[10]

이 공식은 수학에서 파생된 하이젠베르크 불확실성 원리의 핵심이다.양자역학은 움직이는 아원자 입자의 성질을 측정할 수 있는 정밀도를 강하게 제한한다.관찰자는 위치(변위)나 운동량을 정밀하게 측정할 수 있지만 둘 다 측정할 수는 없다.한도에서 두 변수를 완전히 정밀하게 측정하면 다른 변수를 측정할 때 정밀도가 완전히 결여될 수 있다.

돌파 방정식

베르너 하이젠베르크는 일부 물리학자들이 "마법적"이라고 지칭한 일련의 강렬한 수학 유사문헌을 이용하여 강도의 고전적 계산을 위한 양자역학적 아날로그인 방정식을 작성했다.아래의 방정식은 1925년 그의 논문에서 나타난다.^[11][12]그 일반적인 형태는 다음과 같다.

${\displaystyle C(n,n-b)=\sum _{a}^{}\,A(n,n-a)B(n-a,n-b)}$

이 일반적인 형식은 일부 용어 C가 일부 관련 용어 B 그룹에 의해 일부 용어 A 그룹의 모든 제품을 합산하여 계산된다는 것을 나타낸다.A 용어와 일치하는 B 용어의 무한 시리즈가 있을 수 있다.이러한 각각의 승수는 전자 에너지 상태 사이의 순차적 하향 전환과 관련된 두 가지 측정을 요인으로 가지고 있다.이런 유형의 규칙은 매트릭스 역학을 일상 생활에서 익숙한 물리학의 종류와 구별하는데, 중요한 값은 전자가 한 가지 또는 다른 상태에 있을 때 전자가 무엇을 하고 있는 것이 아니라, (어떤 에너지 상태나 "오르비탈"에서) 전자가 어디에서 시작하고 어떤 에너지 상태에서 끝나느냐이기 때문이다.

이 공식은 다소 위협적으로 보이지만, 예를 들어, A와 B 모두 주파수 목록을 참조한다면, 다음과 같은 배수를 수행한 후 요약하면 된다.

상태 n에서 상태 n-a로 에너지 변경 빈도에 상태 n-a에서 상태 n-b로 에너지 변경 빈도를 곱하고 상태 n-a에서 상태 n-b로 에너지 변경 빈도에 상태 n-b에서 상태 n-c로 에너지 변경 빈도를 곱하여 발견된 제품을 추가한다.상징적으로, 그것은 다음과 같다.

f(n, n-a) * f(n-a,n-b) +

f(n-a,n-b) * f(n-b,n-c) +

등(사용되는 관례에 따르면 n-a는 n보다 높은 에너지 상태를 나타내기 때문에 n-a에서 n-a로 전환하면 전자가 들어오는 광자로부터 에너지를 받아들여 더 높은 궤도 위쪽으로 상승했다는 것을 나타내는 반면, n-a에서 n으로 전환하면 전자가 낮은 궤도 위쪽으로 떨어져 광자를 방출하는 것을 의미한다)

일부 측정된 양에 대해 이 프로세스의 각 단계를 수행하는 것이 쉬울 것이다.예를 들어, 이 글의 머리부분에 있는 상자형 공식은 각각의 필요한 파장을 순서대로 제공한다.계산된 값은 아래에 설명된 대로 그리드로 매우 쉽게 채울 수 있다.하지만, 이 시리즈는 무한하기 때문에, 아무도 전체 계산을 할 수 없었다.

하이젠베르크는 원래 같은 종류(암페어)의 두 가지 측정치를 스스로 곱할 수 있도록 이 방정식을 고안했으므로 어느 순서로 곱하는지는 문제가 되지 않았다.그러나 하이젠베르크는 모멘텀, p, 변위 등 두 변수를 곱하기 위해 동일한 스키마를 사용하려고 하면 q, 즉 "중대한 난이도가 발생한다"^[13]는 점에 주목했다.p의 행렬에 q의 행렬을 곱하면 q의 행렬에 p의 행렬을 곱한 것과 다른 결과가 나온다는 것이 밝혀졌다.그것은 약간의 차이를 만들었을 뿐이지만, 그 차이는 결코 특정 한계 이하로 줄어들 수 없었고, 그 한계는 플랑크의 상수인 h. 나중에 더 많은 것을 포함했다.아래는 매트릭스라고 불리는 그리드에 배치되는 계산의 매우 짧은 샘플이다.하이젠베르크의 선생님은 수학자들이 이미 효율적인 방법으로 행렬을 포함하는 계산을 하는 방법에 익숙했기 때문에 그의 작품이 매트릭스 형식으로 표현되어야 한다고 거의 즉각적으로 보았다.(하이젠베르크도 광자 방사선에 관심이 있었기 때문에, 그 삽화는 더 높은 에너지 레벨에서 오는 전자라는 관점에서 제시될 것이다.l 낮은 레벨에서 높은 레벨로 이동하는 대신 낮은 레벨로, 예를 들어, n→n-1)

${\displaystyle Y(n,}$ ${\displaystyle n}$- ${\displaystyle b}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}(n,}$ n${\displaystyle }$- ${\displaystyle a}$) ${\displaystyle q(n}$- a${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle n}$- b${\displaystyle }$) q(n - $, n$ - ${\displaystyle b}$ )$$q(결합 변수 모멘텀 및 위치 등) q$($n - a, n - b)$q(n-a, n-b)}($동작 변수 모멘텀 및 위치 등)

매트릭스 오브 p

전자 상태	n-a	n-b	n-c	....
n	p(nn-a)	p(nnn-b)	p(nnn-c)	.....
n-a	p(n-a-n-a)	p(n-a︎←n-b)	p(n-a︎←n-c)	.....
n-b	p(n-b︎←n-a)	p(n-b︎←n-b)	p(n-b︎←n-c)	.....
전환....	.....	.....	.....	.....

q 행렬

전자 상태	n-b	n-c	n-d	....
n-a	q(n-a︎←n-b)	q(n-a︎←n-c)	q(n-a︎←n-d)	.....
n-b	q(n-b︎←n-b)	q(n-b︎←n-c)	q(n-b︎←n-d)	.....
n-c	q(n-c︎←n-b)	q(n-c︎←n-c)	q(n-c︎←n-d)	.....
전환....	.....	.....	.....	.....

하이젠베르크의 1925년 논문에서 관련 방정식에 의해 명시된 상기 두 행렬의 산출물 행렬은 다음과 같다.

전자 상태	n-b	n-c	n-d	.....
n	A	.....	.....	.....
n-a	.....	B	.....	.....
n-b	.....	.....	C	.....

어디에

A=p(n-c︎n-a)*q(n-a︎n-b)+p(n-a︎n-b)*q(n-b︎n-b)+p(n-b︎n-c)*q(n-c︎n-b)+...

B=p(n-a︎n-a)*q(n-a︎n-c)+p(n-a︎n-b)*q(n-b︎n-c)+p(n-a︎n-c)+*q(n-c︎n-c)+...

C=p(n-b︎n-a)*q(n-a-a︎n-d)+p(n-b︎n-b)*q(n-b︎n-d)+p(n-b︎n-c)*q(n-d︎n-d)+...

등등의

행렬이 역전되면 다음과 같은 값이 나올 것이다.

A=q(n-c︎n-a)*p(n-a-a︎n-b)+q(n-b︎n-b)*p(n-b︎n-b)+q(n-c︎n-c)+*p(n-c︎n-b)+...

B=q(n-a︎n-a)*p(n-a︎n-c)+q(n-a︎n-b)*p(n-b︎n-c)+q(n-a-ann-c)+...

C=q(n-b︎n-a)*p(n-a-a︎n-d)+q(n-b︎n-b)*p(n-b︎n-d)+*p(n-d-n-d)+...

등등의

곱셈 순서를 변경하면 실제로 곱셈되는 숫자들이 단계별로 어떻게 변화하는지 주목하라.

참조

• 애치슨은, 이안 J.R.;Seu, 데이비드 A.,.스나이더 토마스 M.(2004년)."이해 하이젠베르크의"magical"7월 1925년 종이:타산적인 세부 사항을 새로운 표정".아메리칸 저널 물리학. 72(11):1370–1379. arXiv:quant-ph/0404009.Bibcode:2004AmJPh..72.1370A. doi:10.1119/1.1775243.S2CID 53118117.애치슨은(알에 이 주제에 직접 다운로드할 수 있다..
• P.A.M. 디락(1925), "양자역학의 기본 방정식.런던 왕립 협회의 의사 진행.시리즈 A, 수학 및 물리적 문자의 논문 포함", 109(752), 642–653 온라인.현재 채용된 현대 언어를 소개하는 하이젠베르크 논문의 결정적인 재해석 합성.
• B.L.Van der Waerden, Quantum Mechanics 출처, Dover Publishes(2007), ISBN 978-0486458922