나선성 기준

표준 모델에서는 양자장 이론을 사용하여 나선성 기준을 사용하여 계산을 단순화하는 것이 관례적이다(예: 단면도).이 기초에서 스핀은 입자의 움직임 방향으로 축을 따라 정량화된다.

스피너

2개의 성분 헬리컬리티 고유스테이트 ${\$_{\$lambda }}$ 충족$$

${\displaystyle \cdot {\p}\xi _{\putda }\leftda \{p}\p}\right)=\\pda \xi_{\putda }\{\p}\p}\,},}$

어디에

$【\$은(는) Pauli 행렬이며,

${\displaystyle \stackrel{}{p}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ $displaystyle {\hat{p}\,}$은(는) 페르미온 운동량의 방향이다.

${\displaystyle \lambda }$=${\displaystyle }$± ${\displaystyle 1}$ ${\$ 1$\},$ $스핀$이 p${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ $displaystyle {\p}$과 같은 방향을 가리키는지 또는 반대 방향을 가리키는지에$$ 따라$$ 달라진다.

${\displaystyle {\xi }_{}}$ more $displaystyle \xi$_{\$lambda$}\,}에 대해 더 자세히 설명하기 위해 우리는$$ 페르미온 4-모멘텀의 일반 형식을 사용할 것이다.

${\displaystyle p^{\mu }=\좌측(E,\왼쪽 {\vec{p}\오른쪽 \sin {\p}cos {\p}}}}\좌측 \sin {\pc}\우측 \cos {\tea}, {\p}, 우측 \cosescos {\c},},},}, },},}, }$

그렇다면 두 개의 나선성 고유성은

${\displaystyle \xi _{+1}({\vec {p})={\frac {1}{\sqrt {2\좌측 {\vec}\우측 \좌측(\\vec {p}\좌측)\좌측(\\vec {p}\우측 +p_{z}\우측)}}}{\begin{pmatrix}\left {\vec {p}}\right +p_{z}\\p_{x}+ip_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos {\frac {\theta }{2}}\\e^{i\phi }\sin {\frac {\theta }{2}}\end{pmatrix}}\,}$

그리고

${\displaystyle \xi _{-1}({\vec {p}})={\frac {1}{\sqrt {2 {\vec {p}} ( {\vec {p}} +p_{z})}}}{\begin{pmatrix}-p_{x}+ip_{y}\\\left {\vec {p}}\right +p_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-e^{-i\phi }\sin {\frac {\theta }{2}}\\\cos {\frac {\theta }{2}}\end{pmatrix}}\,}$

이는 모멘텀 방향이 평행 또는 반병렬이 되도록 z축을 정의하여 단순화할 수 있다.

${\displaystyle \stackrel{}{z}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$=${\displaystyle }$± ${\displaystyle p\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ $displaystyle {\z}=\pm {\hat {p$

이러한 상황에서 헬리코리티 고유상태는 입자 운동량이 $p{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$=${\displaystyle }$+ ${\displaystyle z\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ $displaystyle {\p}=+{\hat{z}\,}$일 때 발생한다.

${\displaystyle \xi _{+1}({\hat {z}})={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\,}$ and ${\displaystyle \xi _{-1}({\hat {z}})={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\,}$

모멘텀이 $p{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle z\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ $displaystyle {\p}=-{\hat {z}\,}$인 경우

${\displaystyle \xi _{+1}(-{\hat {z}})={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\,}$ and ${\displaystyle \xi _{-1}(-{\hat {z}})={\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}\,}$

페르미온(스핀 1/2) 파동 기능

페르미온 4성분 파동 함수인 $\psi {\displaystyle }$ ${\$은(는) 확실한 4-모멘텀이 있는 상태로 분해될 수 있다$$.

${\displaystyle \psi (x)=\int {{\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}{\sqrt {2E}}}}\sum _{\lambda \pm 1}{\left({\hat {a}}_{p}^{\lambda }u_{\lambda }(p)e^{-ip\cdot x}+{\hat {b}}_{p}^{\lambda }v_{\lambda }(p)e^{ip\cdot x}\right)}}\,}$

어디에

${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}^{}}$$a{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ $displaystyle {\a}_{p}^{\\$p},$$b$$${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}^{}}$^${\displaystyle {}_{}^{}}$ $displaystyle {\b}_{p}^{$p}}^{\$messda }\}}}$은(는) 생성 및 소멸 연산자이며,

${\displaystyle u_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$(${\displaystyle p}$) ${\$ $v$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$(${\displaystyle p}$ ${\displaystyle )}$ ${\$는 각각 페르미온과 안티페르미온을 위한 모멘텀 공간 디락 스피너이다.

좀 더 명확하게 말하면, 페르미온의 나선형 기반에 있는 디락 스피너는

${\displaystyle u_{\lambda }(p)={\begin{pmatrix}u_{-1}\\u_{+1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {E-\lambda \left {\vec {p}}\right }}\chi _{\lambda }({\hat {p}})\\{\sqrt {E+\lambda \left {\vec {p}}\right }}\chi _{\lambda }({\hat {p}})\end{pmatrix}}\,}$

그리고 반페르미온을 위해

${\displaystyle v_{\lambda }(p)={\begin{pmatrix}v_{+1}\\v_{-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\lambda {\sqrt {E+\lambda \left {\vec {p}}\right }}\chi _{-\lambda }({\hat {p}})\\\lambda {\sqrt {E-\lambda \left {\vec {p}}\right }}\chi _{-\lambda }({\hat {p}})\end{pmatrix}}}$

디락 행렬

이러한 나선성 상태를 사용하려면 Dirac 행렬에 Weyl (chiral) 표현을 사용할 수 있다.

스핀-1 웨이브 기능

평면파 팽창은

${\displaystyle \psi (x)=\int {{\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}{\sqrt {2E}}}}\sum _{\lambda =0}^{3$$}}\왼쪽 \hat{a}_{p$}_{p$,\\da }\epsilon _{\\ip\cdot$x}+{-$ip$\cdot x$}+{$a}}}{\$hat {a}_{p,\cda }^{\\\cda}^{\**(p)},$}}}}}},$$}}}}}}}}}}}}}}},},},},},}}},},},},},},},},},

질량 m과 4-모멘텀 ${\displaystyle {\mu }^{}}$=${\displaystyle }$(${\displaystyle E}$, ${\displaystyle q_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle q_{}}$ y ,${\displaystyle {}_{}{q}_{}}$ z${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle q^{\mu }=(E,q_{x},q_{y},q_{z})$인 벡터의 경우$,$ 모멘텀 방향과 관련하여 정량화된 양극화 벡터는 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle {\pregated}\epsilon ^{\mu }(q,x)&={\frac {1}{\\좌측 {\vec{q}\오른쪽 q_{\text}{\\cHB}T}}}}}\왼쪽(0,q_{x}q_{z},q_{y}q_{z},-q_{\text{}T}}^{2}\오른쪽)\\\epsilon ^{\mu }(q,y)&={\frac {1}{q_{\text{T}}}}\왼쪽(0,-q_{y},q_{x},0\오른쪽)\\\epsilon ^{\mu }(q,z)&={\frac {E}{m\왼쪽 {\vec{q}\right}}\{\frac {\\\\bec {q}\right ^{2}}:{E},q_{x},q_{z}\rig}}}}}}}}}}}}}\end{a}}}}}}}}}}}}}}}}}}}liged}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

어디에

$displaystyle q_{\text{$$T}}}={\sqrt{q_{x}^{2}+q_{y}^{2}}}\,}$은(는) 횡방향 운동량이며,

$displaystyle E={\sqrt}{\vec{q}}^{2}+m^{2$$$$}}}\,}$은(는) 보손의 기운이다.