양자장론

이론 물리학에서 양자장 이론(QFT)은 고전장 이론, 특수 상대성 이론, 양자 ^[1]^{: xi}역학을 결합한 이론 체계이다.QFT는 소립자 물리학에서 아원자 입자의 물리적 모델을 구성하기 위해, 그리고 준입자 모델을 구성하기 위해 응축 물질 물리학에서 사용됩니다.

QFT는 입자를 기초 양자장의 들뜬 상태(양자라고도 함)로 취급하며 입자보다 더 기초적입니다.입자 간의 상호작용은 대응하는 양자장을 포함하는 라그랑지안의 상호작용 항으로 설명된다.각 상호작용은 양자역학에서의 섭동 이론에 따라 파인만 다이어그램으로 시각적으로 표현될 수 있다.

역사

양자장 이론은 20세기의 많은 부분에 걸친 여러 세대의 이론 물리학자들의 작업으로부터 생겨났다.그것의 발전은 1920년대에 빛과 전자 사이의 상호작용에 대한 설명과 함께 시작되었고, 최초의 양자장 이론인 양자 전기역학으로 정점에 이르렀다.주요한 이론적 장애물은 곧 섭동 계산에서 다양한 무한대의 출현과 지속으로 이어졌고, 문제는 1950년대에야 정규화 절차의 발명으로 해결되었다.두 번째 주요 장벽은 일부 이론가들이 현장 이론 접근법의 포기를 요구할 정도로 약하고 강한 상호작용을 설명할 수 없는 QFT의 명백한 무능력함이었다.게이지 이론의 발전과 1970년대 표준 모형의 완성은 양자장 이론의 부흥을 이끌었다.

이론적 배경

철제 줄 세공으로 시각화된 자기장 선.종이 한 장에 철필링을 뿌리고 막대 자석 위에 놓으면 철필링이 자기장의 방향에 따라 정렬되어 호를 형성합니다.

양자장론은 고전장론, 양자역학, 특수상대성이론의 ^[1]^{: xi}조합에서 비롯된다.이러한 이론적 전조들에 대한 간략한 개요는 다음과 같다.

최초의 성공적인 고전장 이론은 뉴턴의 만유인력의 법칙에서 나온 이론으로, 그의 1687년 논문인 Philoshié Naturalis Principia Mathematica에 나오는 필드의 개념이 완전히 없음에도 불구하고.뉴턴이 설명한 중력은 "원거리에서의 작용"으로 먼 물체에 미치는 영향은 거리에 관계없이 순간적입니다.그러나 리처드 벤틀리와의 서신 교환에서 뉴턴은 "무생물이 물질이 아닌 다른 것의 매개 없이 상호 ^[2]^{: 4}접촉 없이 다른 물질에 작용하고 영향을 미친다는 것은 상상할 수 없다"고 말했다.수학 물리학자들은 18세기가 되어서야 장에 기초한 중력의 편리한 기술을 발견했다. 즉, 공간의 모든 점에 할당된 수치(중력장의 경우 벡터)는 그 지점에서 어떤 입자에 대한 중력의 작용을 나타낸다.하지만, 이것은 단지 수학적인 ^[3]^{: 18}속임수로 여겨졌다.

19세기 전자기학의 발달과 함께 자기장이 존재하기 시작했다.마이클 패러데이는 1845년에 "필드"라는 영어 용어를 만들었다.그는 물리적인 영향을 미치는 공간의 특성으로 필드를 소개했다.그는 "원거리에서의 작용"에 반대하며 공간을 채우는 "힘의 선"을 통해 물체 간의 상호작용이 일어난다고 제안했다.이 필드에 대한 설명은 ^[2]^[4]^{: 301}^[5]^{: 2}오늘날까지 남아 있습니다.

고전 전자기학의 이론은 1864년 맥스웰 방정식으로 완성되었는데, 맥스웰 방정식은 전기장, 자기장, 전류, 그리고 전하 사이의 관계를 설명했다.맥스웰의 방정식은 전자기파의 존재를 암시했는데, 전자기장과 자기장이 한정된 속도로 한 공간 지점에서 다른 곳으로 전파되는 현상인데, 이것이 빛의 속도인 것으로 밝혀졌다.원거리 동작은 이렇게 결정적으로 ^[2]^{: 19}반박되었다.

고전 전자기학의 엄청난 성공에도 불구하고, 원자 스펙트럼의 이산 선이나 다른 파장의 ^[6]흑체 방사선의 분포를 설명할 수 없었다.막스 플랑크의 흑체 복사에 대한 연구는 양자 역학의 시작을 알렸다.그는 전자기 복사를 흡수하고 방출하는 원자를 에너지가 연속적인 것이 아니라 일련의 이산적인 값에만 취할 수 있는 결정적인 성질을 가진 작은 발진기로 취급했다.이것들은 양자 조화 진동자로 알려져 있다.에너지를 이산값으로 제한하는 이 과정을 ^[7]^{: Ch.2}양자화라고 합니다.이 아이디어를 바탕으로, 알버트 아인슈타인은 1905년에 광전 효과에 대한 설명을 제안했는데, 빛은 광자라고 불리는 에너지의 개별 패킷으로 구성되어 있다.이는 전자기 복사가 고전적인 전자기장에서는 파장이지만 ^[6]입자의 형태로도 존재한다는 것을 암시한다.

1913년 닐스 보어는 원자 내부의 전자가 연속적인 에너지보다는 일련의 이산 에너지만을 취할 수 있는 원자 구조의 보어 모델을 도입했다.이것은 양자화의 또 다른 예입니다.Bohr 모델은 원자 스펙트럼 라인의 이산적인 성질을 성공적으로 설명했습니다.1924년 루이 드 브로이는 현미경 입자가 서로 다른 상황에서 ^[6]파도와 같은 성질을 보인다는 파동-입자 이중성 가설을 제안했다.이러한 흩어진 생각들을 하나로 묶어서, 1925년과 1926년 사이에, 막스 플랑크, 루이 드 브로글리,^[3]^{: 22-23} 베르너 하이젠베르크, 막스 보른, 에르빈 슈뢰딩거, 폴 디락, 그리고 볼프강 파울리의 중요한 공헌과 함께 일관성 있는 학문인 양자 역학이 공식화 되었다.

광전효과에 대한 논문과 같은 해에 아인슈타인은 맥스웰의 전자기학에 기초한 특수상대성이론을 발표했다.로렌츠 변환이라고 불리는 새로운 규칙이 관찰자의 속도 변화에 따라 사건의 시간과 공간 좌표가 변하는 방식에 주어졌고 시간과 공간의 구별이 ^[3]^{: 19}모호해졌다.모든 물리 법칙은 서로 다른 속도의 관측자에 대해 동일해야 하며, 즉 로렌츠 변환 하에서는 물리 법칙이 불변해야 한다는 것이 제안되었다.

두 가지 어려움이 남았다.관측적으로, 양자 역학의 기초가 되는 슈뢰딩거 방정식은 전자가 외부 전자기장의 작용으로 새로운 광자를 방출하는 원자로부터의 방사선의 자극 방출을 설명할 수 있지만, 그것은 전자가 자발적으로 에너지를 감소시키고 광자를 방출하는 자발적인 방출을 설명할 수 없었다.외부 전자기장의 작용이 없는 ven.이론적으로, 슈뢰딩거 방정식은 광자를 기술할 수 없었고 특수 상대성 이론과 일치하지 않았다. 즉, 시간을 ^[6]선형 연산자에게 공간 좌표를 촉진하는 동안 일반 수치로 취급한다.

양자 전기 역학

양자장 이론은 ^[8]^{: 1}1920년대에 전자기장이 유일하게 알려진 고전장이었기 때문에 자연스럽게 전자기 상호작용의 연구와 함께 시작되었다.

1925~1926년 Born, Heisenberg, Pascual Jordan의 작업을 통해 전자장을 양자 조화 ^[8]^{: 1}진동자의 집합으로 취급함으로써 정준 양자화를 통해 자유 전자장의 양자 이론을 개발하였다.그러나 상호작용을 제외하고, 그러한 이론은 아직 현실 ^[3]^{: 22}세계에 대한 양적 예측을 할 수 없었다.

그의 1927년 논문인 방사선의 방출과 흡수 양자 이론에서, Dirac은 자유 전자장을 설명하는 용어에 전류 밀도와 전자 벡터 퍼텐셜 사이의 추가적인 상호작용 항을 추가하는 이론인 양자 전기 역학이라는 용어를 만들었습니다.1차 섭동 이론을 이용하여, 그는 자연 방출 현상을 성공적으로 설명했다.양자역학에서의 불확도 원리에 따르면 양자 조화 발진기는 정지 상태를 유지할 수 없지만 최소 에너지가 0이 아니므로 최저 에너지 상태(지반 상태)에서도 항상 진동해야 합니다.따라서, 완벽한 진공 상태에서도, 제로 포인트 에너지를 가진 진동하는 전자장이 남아 있습니다.진공에서 전자장의 양자 변동은 원자에서 전자에 의한 방사선의 자발적인 방출을 "자극화"시키는 것입니다.Dirac의 이론은 원자에 의한 방사선의 방출과 흡수 모두를 설명하는데 매우 성공적이었다. 2차 섭동 이론을 적용함으로써 광자의 산란, 공명 형광, 비상대론적 콤프턴 산란을 설명할 수 있었다.그럼에도 불구하고,^[6]^{: 71} 고차 섭동 이론의 적용은 계산에서 문제가 있는 무한으로 인해 어려움을 겪었다.

1928년, 디락은 상대론적 전자를 기술한 파동 방정식, 즉 디락 방정식을 썼다.이는 다음과 같은 중요한 결과를 가져왔다. 전자의 스핀은 1/2이고, 전자 g-인자는 2이며, 수소 원자의 미세 구조에 대한 정확한 소머펠트 공식으로 이어졌으며, 상대론적 콤프턴 산란을 위한 클라인-니시나 공식 도출에 사용될 수 있다.결과는 알찬 것이었지만,^[6]^{: 71–72} 이 이론은 방사능 방출에 의해 항상 낮은 에너지 상태로 붕괴될 수 있기 때문에 원자가 불안정해질 수 있는 음의 에너지 상태의 존재를 암시하기도 했다.

그 당시 지배적인 견해는 세계는 두 가지 매우 다른 성분으로 구성되어 있다는 것이었다: 물질 입자 (전자 등)와 양자장 (광자 (광자)물질 입자는 공간의 주어진 영역이나 속도의 범위에서 각 입자를 찾을 확률로 설명되는 물리적 상태로 영구적인 것으로 간주되었다.반면에 광자는 단지 기초가 되는 양자화된 전자기장의 들뜬 상태로 간주되어 자유롭게 생성되거나 파괴될 수 있었다.조던, 유진 위그너, 하이젠버그, 파울리, 엔리코 페르미가 물질 입자가 양자장의 들뜬 상태로 보일 수 있다는 것을 발견한 것은 1928년에서 1930년 사이였다.광자가 양자화된 전자기장의 들뜬 상태인 것처럼, 각 입자 유형에는 대응하는 양자장이 있었습니다: 전자장, 양성자장 등.충분한 에너지가 주어진다면, 이제 물질 입자를 만드는 것이 가능할 것이다.이 아이디어를 바탕으로, 페르미는 1932년에 페르미의 상호작용으로 알려진 베타 붕괴에 대한 설명을 제안했다.원자핵은 전자 그 자체를 포함하지 않지만 붕괴 과정에서 주변 전자장으로부터 전자가 생성되는데, 이는 들뜬 ^[3]^{: 22-23}원자의 복사 붕괴에서 주변 전자장으로부터 생성된 광자와 유사하다.

1929년 디락과 다른 사람들에 의해 디락 방정식이 암시하는 음의 에너지 상태는 전자와 질량은 같지만 전하가 반대인 입자의 존재를 가정함으로써 제거될 수 있다는 것이 실현되었다.이것은 원자의 안정성을 보장했을 뿐만 아니라 반물질의 존재에 대한 최초의 제안이었다.사실, 양전자의 증거는 1932년 칼 데이비드 앤더슨이 우주선에서 발견했다.광자를 흡수하는 것과 같은 충분한 에너지로 전자-양전자 쌍이 생성될 수 있고 쌍 생산이라고 불리는 과정이 생성될 수 있으며, 역과정인 전멸도 광자의 방출과 함께 발생할 수 있다.이것은 상호작용 중에 입자 수가 고정될 필요가 없다는 것을 보여주었다.그러나 역사적으로 양전자는 처음에는 새로운 종류의 입자가 아니라 무한한 전자 바다에 있는 "구멍"으로 생각되었고, 이 이론은 디락 홀 ^[6]^{: 72}^[3]^{: 23}이론으로 언급되었다.QFT는 형식주의에 ^[3]^{: 24}자연스럽게 반입자를 포함시켰다.

무한 및 재규격화

로버트 오펜하이머 1930년에 QED에 고차 동요시키는 늘 계산이 전자 self-energy와 전자와 광자 fields,[6]은 시간에 계산 방법 올바르게 상호 작용 전 남편과 광자 관련된 사건으로 다루지 않을 수 있다고 주장하면서의 진공 상태 영점 에너지 같은 무한한 수량,에 보여 주었다.나무멜리 하이 ^[3]^{: 25}모멘타20년이 지난 후에야 그러한 무한대를 제거하기 위한 체계적인 접근법이 개발되었습니다.

1934년부터 1938년 사이에 에른스트 슈테켈베르크에 의해 QFT의 상대론적 불변 공식을 확립한 일련의 논문이 발표되었다.1947년 Stueckelberg는 또한 독립적으로 완전한 정규화 절차를 개발했다.불행하게도, 그러한 성과는 이론계에서 ^[6]이해되고 인정받지 못했다.

이러한 무한성에 직면하여, John Archibald Wheeler와 Heisenberg는 각각 1937년과 1943년에 문제가 있는 QFT를 소위 S 매트릭스 이론으로 대체할 것을 제안했다.현미경 상호작용의 구체적인 세부 사항은 관찰에 접근할 수 없기 때문에, 이론은 상호작용의 현미경적 세세한 부분에만 관심을 가지기 보다는 상호작용에서 소수의 관측 가능(예를 들어 원자의 에너지) 사이의 관계를 설명하려고 시도해야 한다.1945년 리처드 파인만과 휠러는 대담하게 QFT를 완전히 포기하고 입자 ^[3]^{: 26}상호작용의 메커니즘으로 원거리 동작을 제안했다.

1947년, 윌리스 램과 로버트 레더포드는 램 시프트라고도 불리는 수소 원자의 S와_1/2 P 에너지_1/2 수준의 미세한 차이를 측정했다.에너지가 전자 질량을 초과하는 광자의 기여를 무시함으로써 한스 베테는 램 ^[6]^[3]^{: 28}시프트의 수치를 성공적으로 추정했다.그 후, Norman Myles Kroll, Lamb, James Bruce French 및 Victor Weisskopf는 무한대가 다른 무한대를 상쇄하여 유한량을 산출하는 접근방식을 사용하여 이 값을 다시 확인하였다.그러나 이 방법은 어설프고 신뢰할 수 없었으며 다른 ^[6]계산으로 일반화할 수 없었다.

그 돌파구는 결국 1950년경에 줄리안 슈윙거, 리처드 파인만, 프리먼 다이슨, 그리고 토모나가 신이치로에 의해 무한대를 제거하는 보다 강력한 방법이 개발되었을 때 찾아왔다.주요 아이디어는 질량과 전하의 계산된 값을 무한대일지라도 유한한 측정값으로 대체하는 것입니다.이 체계적인 계산 절차는 재규격화라고 알려져 있고 섭동 ^[6]이론의 임의의 순서에 적용될 수 있다.토모나가 노벨상 강연에서 말한 것처럼:

이러한 변형된 질량과 전하의 부분은 필드 반작용에 의해 [무한화]되기 때문에 이론상으로는 계산할 수 없다.그러나 실험에서 관측된 질량과 전하는 원래 질량과 전하가 아니라 현장 반응에 의해 변형된 질량과 전하이며 유한하다.반면에, 이론에서 나타나는 질량과 전하는 현장 반응에 의해 변형된 값입니다.그렇기 때문에, 특히 이론이 변형된 질량과 전하를 계산할 수 없기 때문에, 우리는 현상학적으로 그것들을 위해 실험적인 값으로 대체하는 절차를 채택할 수 있다.이 과정을 질량과 전하의 재규격화라고 한다…오랜 시간 동안 힘든 계산 끝에 우리는 슈윙거보다 덜 능숙하게 결과를 얻었다…그것은 ^[9]미국인의 의견과 일치했다.

재규격화 절차를 적용하여 최종적으로 전자의 비정상적인 자기모멘트(2로부터의 전자 g인자의 편차)와 진공편파를 설명할 수 있는 계산이 이루어졌다.이러한 결과는 실험적인 측정과 상당히 일치하여 "무한에 대한 ^[6]전쟁"의 종말을 알렸다.

동시에, 파인만은 양자 역학의 경로 적분 공식과 파인만 ^[8]^{: 2}도표를 도입했다.후자는 시각적이고 직관적으로 정리하고 섭동 팽창의 항을 계산하는 데 사용할 수 있다.각 다이어그램은 상호작용에서의 입자의 경로로 해석할 수 있으며, 각 정점과 선은 대응하는 수학식을 가지며,^[1]^{: 5} 이들 식의 곱은 다이어그램에 의해 나타나는 상호작용의 산란 진폭을 제공한다.

QFT가 완전한 이론 ^[8]^{: 2}프레임워크로 떠오른 것은 재규격화 절차와 파인만 다이어그램의 발명으로였다.

비규격성

QED의 엄청난 성공을 감안할 때, 많은 이론가들은 1949년 이후 몇 년 동안 QFT가 광자, 전자, 양전자 사이의 상호작용뿐만 아니라 모든 미시적 현상에 대한 이해를 제공할 수 있다고 믿었다.이러한 낙관론과는 달리 QFT는 거의 20년 ^[3]^{: 30}동안 지속된 또 다른 불황기에 접어들었다.

첫 번째 장애물은 재규격화 절차의 제한된 적용 가능성이었다.QED의 섭동 계산에서, 모든 무한 수량은 적은 수의 물리적 양(즉 전자의 질량과 전하)을 재정의함으로써 제거될 수 있다.다이슨은 1949년 QED를 예로 들며 "정규화 가능한 이론"이라고 불리는 소수의 이론들만이 가능하다는 것을 증명했다.그러나 약한 상호작용에 대한 페르미 이론을 포함한 대부분의 이론은 "재규격화 불가능"하다.이러한 이론에서 1차 이상의 섭동 계산은 유한한 수의 물리량을 ^[3]^{: 30}재정의함으로써 제거할 수 없는 무한을 초래할 것이다.

두 번째 주요 문제는 섭동 이론의 직렬 확장에 기반을 둔 파인만 다이어그램 방법의 제한된 타당성에서 비롯되었다.급수가 수렴되고 저차 계산이 양호한 근사치가 되려면 급수가 확장되는 결합 상수가 충분히 작아야 합니다.QED의 결합 상수는 미세 구조 $상수$ α $\leq$ 1/ $137$ 이며, 이는 가장 단순하고 낮은 차수의 파인만 다이어그램만 현실적인 계산에 고려하면 될 정도로 작다.이와는 대조적으로, 강한 상호작용에서의 결합 상수는 대략 1의 순서이며, 복잡하고 고차적인 파인만 다이어그램은 단순한 것만큼이나 중요합니다.따라서 섭동 QFT ^[3]^{: 31}방법을 사용하여 강력한 상호작용에 대한 신뢰할 수 있는 정량적 예측을 도출할 방법이 없었다.

이러한 어려움이 나타나면서 많은 이론가들이 QFT를 외면하기 시작했다.어떤 이들은 대칭 원리와 보존 법칙에 초점을 맞췄고, 다른 이들은 휠러와 하이젠베르크의 오래된 S 행렬 이론을 들었다.QFT는 경험적으로 지침 원칙으로 사용되었지만 정량적 ^[3]^{: 31}계산의 기초로 사용되지 않았다.

하지만 슈윙거는 다른 길을 택했다.10년 이상 동안 그와 그의 학생들은 필드 이론의 ^[10]거의 유일한 주창자였지만, 1966년에 그는 소스 ^[11]이론이라고 불리는 새로운 방법으로 무한의 문제를 피할 방법을 찾았다.새로운 관점이 가장 성공적으로 적용된 파이온 물리학의 발전은 그에게 수학적 단순성과 그것의 사용이 ^[12]주는 개념적 명확성의 큰 이점을 확신시켰다.

근원 이론에는 분기도 없고, 정규화도 없다.그것은 필드 이론의 계산 도구라고 볼 수 있지만,^[13] 더 일반적이다.소스 이론을 이용하여, 슈윙거는 1947년에 그가 했던 것처럼, 전자의 비정상적인 자기 모멘트를 계산할 수 있었지만, 이번에는 무한대의 ^[14]양에 대한 '왜곡 발언' 없이 계산할 수 있었다.

슈윙거는 또한 그의 QFT 중력 이론에 근원 이론을 적용했고 아인슈타인의 고전적인 결과인 중력 적색 이동, 중력에 의한 빛의 편향과 감속, 그리고 ^[15]수성의 근일점 세차 운동을 모두 재현할 수 있었다.물리학계의 근원론 무시는 슈윙거에게 큰 실망이었다.

다른 사람들이 이러한 사실을 인식하지 못하는 것은 우울했지만 이해할 수 있다. -J. 슈윙거^[12]

표준 모델

표준모형의 소립자: 6종류의 쿼크, 6종류의 렙톤, 4종류의 게이지 보손, 그리고 소립자의 질량을 부여하는 힉스 보손.

1954년, 양첸닝과 로버트 밀스는 QED의 국소 대칭을 일반화하였고, 더 복잡한 국소 대칭 ^[16]^{: 5}그룹에 기초한 비-벨 게이지 이론(양-밀스 이론으로도 알려져 있음)을 만들었다.QED에서 (전기적으로) 하전 입자는 광자의 교환을 통해 상호작용하는 반면, 비-아벨 게이지 이론에서는 새로운 유형의 "전하"를 가진 입자는 질량 없는 게이지 보손의 교환을 통해 상호작용합니다.광자와는 달리, 이 게이지 보손들은 그 자체로 ^[3]^{: 32}^[17]전하를 가지고 있다.

셸던 글래쇼는 1960년에 전자기 상호작용과 약한 상호작용을 통합한 비-벨론 게이지 이론을 개발했다.1964년, Abdus Salam과 John Clive Ward는 다른 길을 통해 같은 이론에 도달했다.그럼에도 불구하고 이 이론은 개명할 ^[18]수 없었다.

피터 힉스, 로버트 브루트, 프랑수아 엥글레르트, 제럴드 구랄니크, 칼 하겐, 톰 키블은 그들의 유명한 물리학 리뷰 서신에서 양-밀스 이론의 게이지 대칭은 원래 질량이 없는 게이지 보손이 ^[16]^{: 5-6}질량을 얻을 수 있는 자발적 대칭 파괴라고 불리는 메커니즘에 의해 깨질 수 있다고 제안했다.

글래쇼, 살람, 워드의 초기 이론을 자발적 대칭 파괴의 아이디어와 결합함으로써, 스티븐 와인버그는 1967년에 모든 렙톤 사이의 전기 약 상호작용과 힉스 입자의 영향을 설명하는 이론을 썼다.그의 이론은 1971년 제라드 호프트의 비아벨 게이지 이론이 정규화될 수 있다는 증거에 의해 밝혀지기 전까지 대부분 ^[18]^[16]^{: 6}무시되었다.와인버그와 살람의 전기약자 이론은 1970년 글래쇼, 존 일리오풀로스, 루치아노 마이아니에 의해 렙톤에서 쿼크로 확대되어 ^[18]완성되었다.

1971년 하랄드 프리츠치, 머레이 겔-만, 하인리히 로이트바일러는 강한 상호작용을 수반하는 어떤 현상도 비아벨 게이지 이론에 의해 설명될 수 있다는 것을 발견했다.양자 색역학(QCD)이 탄생했다.1973년, 데이비드 그로스, 프랭크 윌체크, 휴 데이비드 폴리처는 비벨 게이지 이론이 "점근적으로 자유롭다"는 것을 보여주었는데, 이는 재규격화 하에서는 상호작용 에너지가 증가함에 따라 강한 상호작용의 결합 상수가 감소한다는 것을 의미한다.(비슷한 발견은 이전에도 여러 번 있었지만 대부분 무시되었다.)^[16]^{: 11} 따라서 적어도 고에너지 상호작용에서는 QCD의 결합 상수가 섭동 급수 확장을 보증하기에 충분히 작아져 강한 상호작용에 대한 정량적 예측이 가능하다.^[3]^{: 32}

이러한 이론적 돌파구는 QFT의 부흥을 가져왔다.전자 약 이론과 색역학을 포함한 완전한 이론은 오늘날 소립자의 ^[19]표준 모형이라고 불립니다.표준 모델은 중력을 제외한 모든 기본 상호작용을 성공적으로 기술하고 있으며, 그 많은 ^[8]^{: 3}예측은 이후 수십 년 동안 주목할 만한 실험적 확인을 받았다.자발적 대칭 파괴 메커니즘의 중심인 힉스 입자는 2012년 CERN에서 마침내 검출되었으며, ^[20]이는 표준 모델의 모든 구성요소의 존재를 완전히 검증하는 것입니다.

기타 개발

1970년대는 비아벨 게이지 이론에서 비교란적 방법의 발전을 보았다.T Hooft-Polyakov 모노폴은 이론적으로 T Hooft와 Alexander Polyakov에 의해 발견되었고, 플럭스 튜브는 Holger Bech Nielsen과 Poul Olesen에 의해 발견되었으며, Instantons는 Polyakov와 공동 저자에 의해 발견되었습니다.이 물체들은 섭동 ^[8]^{: 4}이론을 통해서는 접근할 수 없다.

초대칭성도 같은 시기에 나타났다.최초의 4차원 초대칭 QFT는 1970년 유리 골프랜드와 에브게니 리크트먼에 의해 제작되었지만 철의 장막 때문에 그들의 결과는 널리 관심을 끌지 못했다.초대칭은 1973년 ^[8]^{: 7}줄리어스 웨스와 브루노 주미노의 연구 이후에야 이론계에서 나타났다.

네 가지 기본 상호작용 중 중력은 유일하게 일관된 QFT 기술이 없는 상호작용이다.양자 중력 이론에 대한 다양한 시도는 끈 ^[8]^{: 6}이론의 발전으로 이어졌고, 그 자체는 등각 ^[21]대칭을 가진 2차원 QFT의 한 종류였다.Joel Scherk와 John Schwarz는 1974년에 끈 이론이 ^[22]중력의 양자 이론일 수 있다고 처음 제안했다.

응축 물질 물리학

양자장 이론은 소립자 간의 상호작용에 대한 연구로부터 생겨났지만, 다른 물리적 시스템, 특히 응집 물질 물리학의 다체 시스템에 성공적으로 적용되었다.

역사적으로 자발적 대칭 파괴의 힉스 메커니즘은 난부 요이치로(南部'一郞)가 초전도체 이론을 소립자에 적용한 결과이며, 재규격화 개념은 물질의 ^[23]2차 상전이 연구에서 나왔다.

광자의 도입 직후, 아인슈타인은 결정의 진동에 대한 양자화 과정을 수행하였고, 최초의 준입자, 즉 Phonon을 만들었다.Lev Landau는 많은 응축 물질 시스템에서 낮은 에너지 들뜸은 일련의 준입자 사이의 상호작용의 관점에서 설명될 수 있다고 주장했다.QFT의 파인만 다이어그램 방법은 당연히 응집 물질 시스템의 다양한 ^[24]현상 분석에 적합했다.

게이지 이론은 초전도체의 자속 양자화, 양자 홀 효과의 저항률, AC 조셉슨 ^[24]효과의 주파수와 전압의 관계를 설명하는 데 사용됩니다.

원칙

단순화를 위해 자연단위는 플랑크 상수 $θ$ 와 $광속$ c를 모두 1로 설정하는 다음 단원에서 사용된다.

고전 분야

고전장은 공간 좌표와 시간 ^[25]좌표의 함수이다.예를 들어 뉴턴 $중력$ g $(x,$ $t)$ 에서의 중력장과 고전 전자기학에서의 $전계 E (x,$ t) 및 $자기장 B (x,$ t)를 들 수 있다.고전적인 필드는 시간의 변화에 따라 공간의 모든 점에 할당된 수치로 생각할 수 있습니다.그러므로,^[25]^[26] 그것은 무한히 많은 자유도를 가지고 있다.

양자역학적 성질을 나타내는 많은 현상들은 고전적인 분야만으로는 설명할 수 없다.광전 효과와 같은 현상은 공간적으로 연속되는 장이 아닌 이산 입자(광자)로 가장 잘 설명됩니다.양자장론의 목적은 다양한 양자역학적 현상을 변형된 개념으로 기술하는 것이다.

표준 양자화와 경로 적분은 QFT의 ^[27]^{: 61}두 가지 일반적인 공식입니다.QFT의 기초에 동기를 부여하기 위해 고전적인 필드 이론의 개요가 뒤따른다.

가장 단순한 고전적인 필드는 실제 스칼라 필드입니다. 즉, 시간에 따라 변화하는 공간의 모든 점에서 실수입니다.이 $값$ 은 $θ (x,$ t)로 표시됩니다. $여기$ 서 x는 $위치$ 벡터, t는 시간입니다.필드의 $라그랑지안$ L $displaystyle$ L이

L=\int d^{3}x,{\mathcal {L}=\int d^{3}x,\left[{\frac {1}{2}-{\frac {1}{2}}-{{dot\fla \phi}^2}-{2}}{\frac {\f}^2}{{{f}{}{f}{f}{f}{f}{f}}}{{f}{f}}}{f}}}{f}}}}}}}

${\mathcal {L}}$ 서 ${\mathcal {L}}$ L(\ $displaystyle {L})$ 은 ${\mathcal {L}}$ Lagrangian 밀도, $(style$ { $dot {phi$ }})은 ${\dot {\phi }}$ 필드의 시간파생,is는 그라데이션 연산자, $m$ 은 실제 파라미터(필드의 "질량")입니다.라그랑지안에 ^[1]^{: 16}오일러-라그랑주 방정식 적용:

{\frac t}\left[\frac {\partial (\frac \phi /\partial t}}}\right]+\sum _{i=1}{\frac {\frac x^{i}}\frac {\frac {\frcal}}}\right]-{\frac {\mathcal {L}}{\partial \phi }}= 0,

시간과 공간의 변화를 설명하는 운동 방정식을 구한다.

{\displaystyle\leftfrac\frac{\display t^{2}}-\displayla ^{2}+m^{2}}\right)\phi = 0.}

이것은 클라인-고든 ^[1]^{: 17}방정식으로 알려져 있다.

클라인-고든 방정식은 파동 방정식이므로, 그 해는 다음과 같이 정규 모드의 합으로 표현할 수 있습니다(푸리에 변환을 통해 얻음).

\displaystyle \phi(\mathbf {x},t)=\int {frac {d^{3}{(2\pi)^{3}}{\frac {1}{\mathbf {p}}}}}}\left(a_{\mathbf {p})_p}e^{-i\f}

$여기$ 서 a는 복소수(규칙에 따라 정규화),*는 복소수, $θ$ 는_p 정규 모드의 주파수입니다.

\mathbf {p} = scarrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}}}.

$따라서$ 단일 p에 해당하는 각 정상 모드는 주파수 ^[1]^{: 21,26} $θ$ 를_p 갖는 고전적인 고조파 발진기로 볼 수 있습니다.

표준 양자화

위의 고전적 필드에 대한 양자화 절차는 고전적 고조파 발진기를 양자 고조파 발진기로 승격하는 것과 유사합니다.

고전적인 고조파 발진기의 변위는 다음과 같이 설명됩니다.

x(t)=snapfrac {1}{\snaphrt {2\mega}}}ae^{-i\mega t}+{\frac {1}{\snaphrt {2\mega }}a^{*}e^{i\Omega t}}}

$여기$ 서 a는 복소수(규칙에 따라 정규화됨)이고 $θ$ 는 발진기의 주파수입니다. $x$ 는 평형 위치에서 단순한 고조파 운동으로 입자의 변위이며 양자장의 공간 $레이블$ x와 혼동해서는 안 된다.

양자 조화 발진기의 경우 x $(t)$ 는 선형 ${\hat {x}}(t)$ x ${\hat {x}}(t)$ ^ ${\hat {x}}(t)$ ( t ) ${\hat {x}}(t)$ { $displaystyle {x}(t$

{\hat {x}(t)=hat frac {1}{\hat {a}}e^{-i\omega t}+{\frac {1}{\hat {a}{\hat }{\hot }e^{i\omega }}}{\hat }

$복소수$ $a$ 와^* ${\hat {a}}$ a는 각각 ${\hat {a}}$ $연산자$ 와 ${\hat {a}}$ ${\hat {a}}^{\dagger }$ 연산자 ${\hat {a}}^{\dagger }$ a로 대체됩니다. $여기$ 서 $denotes$ 는 에르미트 활용을 나타냅니다 ${\hat {a}}^{\dagger }$ 둘 사이의 교환 관계는

\displaystyle \left[{\hat {a}, {\hat {a}^{\hat }\right]= 1.}

단순 고조파 발진기의 해밀토니안은 다음과 같이 쓸 수 있다.

{H}=\hbar \mega {a}^{\hat}{\hat}+{\frac {1}{2}}\hbar \mega

최저 $|0\rangle$ 상태인 진공 상태 0 $|0\rangle$ {\(\ $displaystyle$ 0 $rangle)$ 은 다음과 같이 정의됩니다.

{a} 0\rangle = 0

$[{\hat {H}},{\hat {a}}^{\dagger }]=\hbar \omega ,$ 1 ${\frac {1}{2}}\hbar \omega$ ${\frac {1}{2}}\hbar \omega$ {\ ${\frac {1}{2}}\hbar \omega$ （ { $style$ } { $frac$ { $1}$ {2} } \ $hbar$ \ obmega ${\frac {1}{2}}\hbar \omega$ $[{\hat {H}},{\hat {a}}^{\dagger }]=\hbar \omega ,$ $}$ $[{\hat {H}},{\hat {a}}^{\dagger }]=\hbar \omega ,$ $[{\hat {H}},{\hat {a}}^{\dagger }]=\hbar \omega ,$ $、$ （ $H$ , $a$ ^ $[{\hat {H}},{\hat {a}}^{\dagger }]=\hbar \omega ,$ 、（ \ hat { $H }$ } 、 { \ hat { $a$ } }{ \ $har$ \ ${\hat {a}}^{\dagger }$ $}$ = $har$ \ $obe$ ） $[{\hat {H}},{\hat {a}}^{\dagger }]=\hbar \omega ,$ $that$ that that that that that that that that $that$ that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that $\\\\$ that that\at 또는 $\hbar \omega$ { $displaystyle$ $\$ $hbar$ $\obega$ $3\hbar \omega /2$ 예를 들어 $3\hbar \omega /2$ ${\hat {a}}^{\dagger }|0\rangle$ ^ $0$ 0 ${\hat {a}}^{\dagger }|0\rangle$ display { $displaystyle$ ${ a}^{\dagger } 0\rangle}$ 은 ${\hat {a}}^{\dagger }|0\rangle$ ${\hat {a}}^{\dagger }|0\rangle$ 3 $3\hbar \omega /2$ / 2의 고유상태입니다. 단일 고조파 $발진기$ 0 $|0\rangle$ display $display$ $|0\rangle$ display display display display display display display display display display display display display display display display display display display display display display display display display display display display display display display display display $ngle$ $}$ $생성$ ${\hat {a}}^{\dagger }$ a ${\hat {a}}^{\dagger }$ $^$ ^ ${\hat {a}}^{\dagger }$ ^ ^ ^ ^ $}$ ^[1]^{: 20}: 를 순차적으로 적용하면 시스템의 모든 상태를 선형으로 조합하여 표현할 수 있습니다.

n\rangle\propto\lefthat {a}^{\langle}\right}^{n} 0\rangle .

실제 스칼라 필드 ,에 대해서도 동일한 절차를 적용할 수 있습니다.양자장 $^\$ $hat$ $}$ _ ${\mathbf$ ${p}},$ 소멸 ${\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }$ a $^$ ${\hat {a}}_{\mathbf {p} }$ { $displaystyle$ ${$ $a}}_{\mathbf$ ${\hat {a}}_{\mathbf {p} }$ {p ${\hat {a}}_{\mathbf {p} }$ ^{ ${\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }$ { $hat$ {p}}}} ${\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }$ 。 $\display }}$ 및 ${\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }$ 각 $w_{\mathbf {p} }$ $\$ 는 $w_{\mathbf {p} }$ 특정 $p$ :

{\hat {phi}}(\mathbf {x},t)=\int {frac {d^{3}{(2\pi)}{\frac {1}{\displayrt {2\mathbf {p}}}}}}\left\hat {a}_{\mathbf {p}{i}_{i}_{\i}_{\i}}}_mathbfrac {a}_{\i}_mathbf {\i}_{\i}_{\i}}

이들의 통신 관계는 다음과 같습니다.^[1]^{: 21}

\displaystyle \left[{\hat {a}_{\mathbf {p}},{\mathbf {q}}^{\right]=(2\pi)^3}\displays(\mathbf {p} -\mathbf {q}),\display \left \left \[\hat {a}{\mathb} {p}, {p} {p}, {p}, {p}, {p}

여기서 $is$ 、 Dirac 델타 함수입니다. $|0\rangle$ 0 $|0\rangle$ {\(\ $displaystyle$ 0 $\rangle)$ 은 $|0\rang$ 다음과 같이 정의됩니다.

{\displaystyle {hat {a}}_{\mathbf {p}} 0\rangle = 0,\text {for }}\mathbf {p}.

$필드$ 의 양자 상태는 생성 ${\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }$ a ${\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }$ ^ ${\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }$ ${\$ {\ $displaystyle {a}_{\mathbf$ {p $}$ }^{\ $dagger$ }} ${\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }$ (또는 이러한 상태의 선형 조합을 통해) 0 ${\$ {\ $displaystyle$ ${\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }$ 0 $\rangle}$ 에서 $|0\rang$ 얻을 수 있습니다.

{\displaystyle \mathbf {p} _{3} _{\mathbf {p} \right} {{\hat {a} _{\mathbf {p} _{\mathbf {p} _{\hat {p} _{1} _{\hat {p} \right} 0rang} .

단일 양자 조화 진동자의 상태 공간은 하나의 진동 입자의 모든 이산 에너지 상태를 포함하는 반면, 양자장의 상태 공간은 임의의 수의 입자의 이산 에너지 수준을 포함합니다.후자의 공간은 폭 공간이라고 알려져 있는데, 이것은 상대론적 양자 시스템에서 ^[28]입자 수가 고정되지 않는다는 사실을 설명할 수 있다.단일 입자 대신 임의의 수의 입자를 양자화하는 과정은 종종 제2 ^[1]^{: 19}양자화라고도 불립니다.

위의 절차는 비상대론적 양자역학의 직접적 적용이며 스칼라장,^[1]^{: 52} 디락장, 벡터장(예: 전자기장), 그리고 ^[29]문자열까지 양자화하는 데 사용될 수 있다.그러나, 생성 연산자와 소멸 연산자는 상호작용을 포함하지 않는 가장 단순한 이론에서만 잘 정의됩니다(이른바 자유 이론).실제 스칼라 필드의 경우, 이러한 연산자의 존재는 고전 운동 방정식의 해를 정규 모드의 합으로 분해한 결과였다.현실적 상호작용 이론에 대한 계산을 수행하기 위해서는 섭동 이론이 필요할 것이다.

자연계의 모든 양자장의 라그랑지안은 자유 이론 항 외에 상호작용 항을 포함할 것이다.예를 들어, 4차 상호작용 항은 실제 스칼라 ^[1]^{: 77}필드의 라그랑지안에 도입될 수 있다.

{\mathcal {L}}=phi frac {1}{2}m^{{\flac}\left(\flac ^{\mu }\phi \right)-{\frac {1}{2}-{\flac {da }{4}!}}\phi ^{4

$여기$ 서 μ는 시공간 지수, $\partial _{0}=\partial /\partial t,\ \partial _{1}=\partial /\partial x^{1}$ 0 $\partial _{0}=\partial /\partial t,\ \partial _{1}=\partial /\partial x^{1}$ θ / $\partial _{0}=\partial /\partial t,\ \partial _{1}=\partial /\partial x^{1}$ t $\partial _{0}=\partial /\partial t,\ \partial _{1}=\partial /\partial x^{1}$ 1 $\partial _{0}=\partial /\partial t,\ \partial _{1}=\partial /\partial x^{1}$ θ / $\partial _{0}=\partial /\partial t,\ \partial _{1}=\partial /\partial x^{1}$ x $\partial _{0}=\partial /\partial t,\ \partial _{1}=\partial /\partial x^{1}$ { $displaystyle$ \ $displaystyle _$ {0} = \ displaystyle _ ${$ 0} $=$ \ $scaps$ / \ $scaps$ x ${$ 1 $}$ 등입니다. $지수$ μ에 대한 합계는 아인슈타인 표기법에 따라 생략되었다.만약 $파라미터$ θ가 충분히 작다면, 위의 라그랑지안에 의해 기술된 상호작용 이론은 자유 이론으로부터의 작은 섭동으로 간주될 수 있다.

패스 인테그레이션

QFT의 경로 적분 공식은 연산자와 상태 공간의 확립보다는 특정 상호작용 프로세스의 산란 진폭의 직접 계산과 관련이 있다. $시간$ $t$ = 0에서 시스템이 일부 초기 상태 $i$ I ${\$ ${\displaystyle$ \ $phi _{$ I}\ $rangle$ }에서 $|\phi _{I}\rangle$ $t$ = $T$ 에서 일부 최종 $|\phi _{F}\rangle$ {\ F $|\phi _{F}\rangle$ {\ {\ $displaystyle \phi$ _ ${F}\rangle }$ 로 $|\phi _{F}\rangle$ 진화할 확률 진폭을 계산하려면 총 $시간$ T를 N개의 작은 $간격$ 으로 나눕니다.전체 진폭은 각 간격 내의 진화 진폭의 곱으로, 모든 중간 상태에 통합됩니다.H를 해밀턴(즉, 시간 진화의 생성자)이라고^[27]^{: 10} $하자$ .

{\displaystyle \langle \phi_{F}e^{-iHT}\phi _{나는}\rangle =\int d\phi _{1}\int e^{-iHT/N}\phi _{N-1}\rangle \cdots \langle d\phi _{2}\cdots \int d\phi\phi _{F}_{N-1}\,\langle \phi _{2}e^{-iHT/N}\phi _{1}\rangle \langle \phi _{1}e^{-iHT/N}\phi _{나는}\rangle.}.

한도가 N→ ∞을 꺼내고, 적분. 위의 제품이 되파인만 경로 적분:[1]:282[27]:12.

\langle \phi_{F}e^{-iHT}\phi _{나는}\rangle =\int{{D\mathcal}}{(t)\,\exp \left\{i\int_{0}^ \phi.T}dt\,L\right\},

여기서 L와 시간 공간 좌표에 관한 라그랑 지안이 연루된 ϕ과 미분형, 해밀토니안 H에서 르장드르 변환을 통해 얻어진 것이다.경로 적분의 마지막이자 초기 조건 각각 있다.

\phi(0)=\phi_{나는},\quad\phi(T)=\phi _{F}.

다른 단어에서 길의 진폭은 통해 피적분 함수에서 표시되고 최종 초기 주들 간에 가능한 모든 경로의 진폭은 전반적인 진폭의 합이다.

2점 상관 함수

계산에서 종종 같은 표현에 부딪쳤다.

{\displaystyle \langle 0T\{\phi())\phi(y)\}0\rangle \quad{\text{또는}}\quad\langle\Omega T\{\phi())\phi(y)\}\Omega \rangle}.

자유이론이나 상호작용이론에서 각각.여기서

(\displaystyle

x

)

와

x

y(\

displaystyle

y

)

는

y

4 벡터의 위치,

T(\

displaystyle

T

)

는

T

시간 성분 x 0

(\

x

^{0})

과

x^{0}

y

y^{0}

(\

displaystyle

y

^{0

})이

y^{0}

오른쪽에서 왼쪽으로 증가하도록 피연산자를 섞는

|\Omega \rangle

순서 연산자입니다

.

a

\rangle }

은

|\Omega \rangle

상호작용 이론의 접지 상태(진공 상태)로 자유 접지

|0\rangle

0

|0\rangle

{\(\

displaystyle

0

\rangle

과는 다릅니다.이 식은

y

에서

x

로 전파되는 필드의 확률 진폭을 나타내며 2점 전파기, 2점 상관 함수, 2점 상관 함수 등 여러 이름으로 이루어집니다.그린의 함수는 ^[1]^{: 82}줄여서 2점 함수입니다.

무료는 2점 함수, 또한 파인만 번식 상자로 알려졌던 진정한 스칼라장에 정준 양자화 또는 경로 적분식 be[1]에:31,288[27]:23에 의해 발견될 수 있다.

\displaystyle 0 T\{\phi(x)\phi(y)\} 0\rangle \equiv D_{F}(x-y)=\lim _{\int {frac {d^{4}p}{(4\pi}}{\fraci {p}{p_{p}} =\mu}}

상호작용 이론에서는 Lagrangian 또는 Hamiltonian에 상호작용을 설명하는 L $t)$ {style L_ ${I}(t)$ $H_{I}(t)$ $H_{I}(t)$ I $)$ { $display style$ H_ ${I}(t)}$ 이라는 $H_{I}(t)$ 용어가 포함되어 있어 2점 함수를 정의하기가 더 어렵습니다.그러나 정규 양자화 공식과 경로 적분 공식 모두를 통해 자유 2점 함수의 무한 섭동 급수를 통해 이를 표현할 수 있다.

정준 양자화에서, 이점 간 상관 관계 함수[1]:87:같이 쓸 수 있다.

\langle \Omega T\{\phi())\phi(y)\}\Omega \rangle =\lim _ᆮᆯ())\phi _ᆰ(y)\exp \left는 경우에는-i\int _{-T}^{T}dt\,.H_ᆩ(t)\right]\right\}\right0\right\rangle}{\left\langle 0\left T\left\{\exp \left는 경우에는 -i\int_{-T}^{T}dt\,.H_ᆩ(t)\right]\right\}\right 0\right\rangle}},

자유 이론 아래 어디 ε은 극미한 번호와 ϕI 들판.여기서,만, 역시 그것의 멱급수 팽창으로서 이해되어야 한다.예를 들어,ϕ 4{\displaystyle\phi ^{4}}-theory에, 해밀토니안의 반응의 임기는 음(t))∫ d3)λ 4!ϕ 나는())4{\textstyle H_{1세}(t)=\int d^{3}x\,{\frac{\lambda}{4!}}\phi}_ᆪ())^{4},[1]:84와 2점 상관자의 λ{\lambda\displaystyle}겨우 면에서 확대시키는 것이다.

\langle \Omega T\{\phi())\phi(y)\}\Omega \rangle ={\frac{\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-i\lambda)^{n}}{(4!).^{n}n!}}\int d^{4}z_{1}\cdots \int d^{4}z_{n}\langle 0T\ᆳ())\phi _ᆴ(y)\phi _ᆵ(z_{1})^{4}\cdots(_ᆷ(z_{n})^{4}\}0\rangle}{\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-i\lambda)^{n}}{(4!).^{n}n!}}\int d^{4}z_{1}\cdots \int d^{4}z_{n}\langle 0T\ᆯ(z_{1})^{4}\cdots(_ᆱ(z_{n})^{4}\}0\rangle}}.

이 섭동 확장은 자유 이론에서 평가되는 양 are

\langle 0|\cdots |0\rangle

0

\langle 0|\cdots |0\rangle

{\ 0

{\

{

displaystyle \langle

0 \

cdots

0 \

rangle }

의 관점에서

\langle 0|\cdots |0\rangle

상호작용하는 2점 함수를 표현한다.

경로 적분 공식에서는 2점 상관 함수를 쓸 수^[1]^{: 284} 있다.

\displaystyle \Omega T\{\phi(x)\phi(y)\}\Omega \rangle =\lim _{T\to \infty ( 1-i\silon )}{\frac {mathcal {D}\phi } \,\phi(x)\exp(y (y) \int_i) {\t}

${\mathcal {L}}$ 서 L $(\$ 은 ${\mathcal {L}}$ ${\mathcal {L}}$ 라그랑지안 밀도입니다.전 항과 같이 $ential$ 의 급수로 확장되어 상호작용하는 2점 함수를 자유 이론의 양으로 환원할 수 있다.

윅의 정리는 자유 이론의 모든 n점 상관 함수를 2점 상관 함수의 곱의 합으로 더 감소시킨다.예를들면,

{\displaystyle{\begin{정렬}\langle 0T\{\phi(x_{1})\phi(x_{2})\phi(x_{3})\phi(x_{4})\}0\rangle&=\langle 0T\{\phi(x_{1})\phi(x_{2})\}0\rangle \langle 0T\{\phi(x_{3})\phi(x_{4})\}0\rangle \\&, +\langle 0T\{\phi(x_{1})\phi(x_{3})\}0\rangle \langle 0T\{\phi(x_{2})\phi(x_{4})\}0\rangle \\&, +\langle 0T\{\phi(x_{1})\ph.나는(x_{4})\}0\rangle \langle 0 T\{\phi(x_{2})\phi(x_{3}\} 0\rangle .\end{aligned}}

상호작용 상관함수는 자유 상관함수의 관점에서 표현될 수 있기 때문에 (교란) 상호작용 ^[1]^{: 90}이론에서 모든 물리량을 계산하기 위해서는 후자만 평가하면 된다.이것은 파인만 전파자를 양자장 이론에서 가장 중요한 양 중 하나로 만든다.

파인만 도표

상호작용 이론의 상관함수는 섭동 급수로 쓸 수 있다.시리즈의 각 항은 자유 이론의 파인만 전파자의 산물이며 파인만 다이어그램으로 시각적으로 나타낼 수 있습니다.예를 들어, $θ 4$ 이론에서 2점 상관함수의 $θ 1$ 항은 다음과 같다.

4번!}}\int d^{4}z,\langle 0 T\{\phi(x)\phi(y)\phi(z)\phi(z)\phi(z)\} 0\rangle.}

윅의 정리를 적용한 후, 용어 중 하나는

12\cdot\frac {-i\cdda}{4!}}\int d^{4}z,D_{F}(x-z)D_{F}(y-z)D_{F}(z-z)

이 용어는 대신 파인만 다이어그램에서 얻을 수 있습니다.

를 클릭합니다

.

이 다이어그램은 다음과 같이 구성되어 있습니다.

하나의 가장자리로 연결되고 점으로 표시되는 외부 정점(여기서는 $\displaystyle$ x $}$ $및$ y $\displaystyle$ y $)$
4개의 가장자리로 연결되고 점으로 표시되는 내부 정점( $여기$ 서 z\ $displaystyle$ $)$
정점을 연결하고 선으로 표시되는 모서리.

모든 정점은 시공간에서 대응하는 포인트의 $\phi$ $"\displaystyle\phi"$ 필드 $\phi$ 계수에 대응하며, 에지는 시공간 포인트 사이의 전파기에 대응합니다.이 다이어그램에 해당하는 섭동 급수의 항은 소위 파인만 규칙에서 이어지는 식을 적어서 얻습니다.

모든 내부 $z_{i}$ $(\$ 에 ${\textstyle -i\lambda \int d^{4}z_{i}}$ i ${\textstyle -i\lambda \int d^{4}z_{i}}$ $(\$ d $^{4}z_{i$ 인수를 ${\textstyle -i\lambda \int d^{4}z_{i}}$ 적습니다.
2개의 $z_{i}$ $(\$ 와 $z_{i}$ z $(\$ 를 연결하는 모든 모서리에 $D_{F}(z_{i}-z_{j})$ D $D_{F}(z_{i}-z_{j})$ i - $D_{F}(z_{i}-z_{j})$ j $)$ 계수(\ $displaystyle D_{F}(z_{i}-z_{j$ 를 기록합니다.
다이어그램의 대칭 계수로 나눕니다.

대칭 $계수$ 2 $displaystyle$ 2)에서 이러한 규칙을 따르면 위와 같은 식을 얻을 수 있습니다.전파기를 푸리에 변환함으로써 위치공간에서 운동량공간으로 ^[1]^{: 91-94}파인만 규칙을 재구성할 수 있다.

n점 상관 함수를 k차순으로 계산하려면 n개의 외부 $점$ 과 k개 이하의 정점이 $있는$ 모든 유효한 Feynman 다이어그램을 나열한 다음 Feynman 규칙을 사용하여 각 항에 대한 식을 구합니다.정확히 말하면

\displaystyle \langle \{\phi(x_{1})\cdots \phi(x_{n})\} \Omega \rangle }

는 n개의 외부점을 $가진$ 모든 연결된 다이어그램의 합계(해당 표현식)와 같습니다. (연결된 다이어그램은 모든 정점이 선을 통해 외부점에 연결된 다이어그램입니다.외부 라인과 완전히 분리된 컴포넌트를 "진공 버블"이라고 부르기도 합니다).위에서 논의한 $θ 4$ 상호작용 이론에서, 모든 정점은 네 개의 ^[1]^{: 98}다리를 가지고 있어야 한다.

현실적 응용에서는 특정 상호작용의 산란 진폭 또는 입자의 붕괴 속도를 S 매트릭스에서 계산할 수 있으며, S 매트릭스 자체는 파인만 다이어그램 ^[1]^{: 102-115}방법을 사용하여 구할 수 있다.

"루프"가 없는 파인만 다이어그램을 나무 수준 다이어그램이라고 하며, 가장 낮은 차수의 상호작용 프로세스를 기술한다. n개의 루프를 $포함$ 하는 그림을 n-루프 다이어그램이라고 한다. 이 다이어그램은 상호작용에 ^[27]^{: 44}대한 고차 기여 또는 복사 보정을 기술한다.끝점이 정점인 선은 가상 ^[1]^{: 31}입자의 전파로 간주할 수 있습니다.

재규격화

파인만 규칙을 사용하여 트리 수준 다이어그램을 직접 평가할 수 있습니다.그러나 위와 같은 루프 다이어그램의 순진한 계산은 발산 운동량 적분을 초래하며, 이는 섭동 팽창의 거의 모든 항이 무한하다는 것을 암시하는 것으로 보인다.재규격화 절차는 그러한 무한성을 제거하기 위한 체계적인 과정이다.

$질량$ m 및 결합 상수 $θ$ 와 같은 라그랑지안에 나타나는 매개변수는 물리적 의미가 없다. $m$ , $θ$ 및 전계 강도 $θ$ 는 실험적으로 측정 가능한 양이 아니며 여기서 각각 베어 질량, 베어 결합 상수 및 베어 필드라고 한다.물리적 질량과 결합 상수는 일부 상호작용 과정에서 측정되며 일반적으로 최소 양과는 다릅니다.이 상호작용 과정에서 물리량을 계산하는 동안, 발산 운동량 적분 영역을 모멘텀 컷오프 $δ$ 이하로 제한하고 물리량에 대한 식을 구한 다음 한계 δ $\to$ δ를 취할 수 있다.이것은 QFT에서의 분산을 처리하는 방법의 클래스인 정규화의 한 예이며, $δ$ 는 레귤레이터입니다.

위에서 설명한 접근방식을 베어 섭동 이론이라고 하는데, 그 이유는 계산에는 질량과 결합 상수와 같은 최소한의 양만 포함되기 때문입니다.재규격화된 섭동 이론이라고 불리는 다른 접근법은 처음부터 물리적으로 의미 있는 양을 사용하는 것입니다. $δ 4$ 이론의 경우, 먼저 전계 강도가 재정의됩니다.

\displaystyle \phi = Z^{1/2}\phi _{r}

여기서 $is$ 、 $is r$ 、 is 、 is 、 orm 、 ormal 、 inedined to to to to to to to to to to to 。라그랑주 밀도는 다음과 같습니다.

{{displaystyle {L}}={frac {1}{2}}({\mu}\phi _{r})(\frac ^{\mu}\phi _{r})-{\frac {1}{2}\phi _{r}{{r}-{r}{frac {{{r})_{fac {{r}{{{r}}{{{r}}}}-{fac {r}}{{{{r}}}}}{r}}}}}}{{{f}}}}}}}}}}}}\phi _{r}^{4}+{\frac {1}{2}}\delta _{Z}(\partial _{\mu }\phi _{r})(\partial ^{\mu }\phi _{r})-{\frac {1}\frac {{{{{{m}-{{frac})_{{frac}}}\phi _{r}^{4}

$여기$ 서_r m과 $θ$ 는_r 각각 실험적으로 측정 가능한 재규격화, 질량 및 결합 상수이다.

\displaystyle _{Z}=Z-1,\quad \display \m}=m^{2}Z-m_{r}^2},\quad \displayda Z^{2}-\lambda _{r}

결정해야 할 상수입니다.처음 세 항은 정규화된 양으로 쓰여진 $δ 4$ 라그랑지안 밀도이고, 나머지 세 항은 "대화항"이라고 불립니다.라그랑지안이 더 많은 용어를 포함하므로 파인만 다이어그램은 각각 고유한 파인만 규칙을 가진 추가 요소를 포함해야 합니다.순서의 개요는 다음과 같습니다.먼저 정규화 방식(상기에 도입된 컷오프 정규화나 치수 정규화 등)을 선택하고 레귤레이터 $λ$ 를 호출합니다.Feyman 다이어그램을 계산하십시오. 이 그림에서는 서로 다른 용어가 $δ$ 에 의존합니다. $그런 Z$ 다음, ,, $such m λ$ , such를 정의하여 $한계값$ → $\to$ is를 취했을 때 Feyman 도표에서 발산항이 정확히 상쇄되도록 한다.이것에 의해, 의미 있는 유한량을 ^[1]^{: 323-326}얻을 수 있다.

재규격화 가능한 이론에서 유한한 결과를 얻기 위해 모든 무한을 제거하는 것이 가능한 반면, 비규격화 가능 이론에서는 소수의 매개변수를 재정의하여 무한을 제거할 수 없습니다.기본 입자의 표준 모델은 재규격화 가능한 QFT이며,^[1]^{: 719–727} 양자 중력은 ^[1]^{: 798}^[27]^{: 421}재규격화되지 않습니다.

재규격화 그룹

Kenneth Wilson에 의해 개발된 재규격화 그룹은 시스템을 다른 ^[1]^{: 393}척도로 볼 때 물리적 매개변수(라그랑지안의 계수)의 변화를 연구하는 데 사용되는 수학적 장치입니다.각 매개변수가 척도에 따라 변화하는 방법은 β ^[1]^{: 417}함수에 의해 설명된다.양적 물리적 예측의 기초가 되는 상관 함수는 캘런-시만직 ^[1]^{: 410-411}방정식에 따라 규모에 따라 변화한다.

예를 들어 QED의 결합 상수, 즉 기본 $전하$ e는 다음과 같은 β 함수를 가진다.

\displaystyle \equiv {1} {\Lambda}}{\frac {de}{d\Lambda}}=blac {e^{3}}{12\pi ^{2}}+O{\mathord {\left(e^{5}\right}}}}}},

여기서 $δ$ 는 e의 $측정$ 이 수행되는 에너지 척도입니다.이 미분방정식은 규모가 커질수록 관측된 기본 ^[30]전하가 증가한다는 것을 의미합니다.에너지 척도에 따라 변화하는 재규격화된 커플링 상수를 실행 커플링 ^[1]^{: 420}상수라고도 합니다.

$대칭군$ SU $(3)$ 에 기초한 비아벨 게이지 이론인 양자 색역학의 결합 $상수$ g는 다음과 같은 β 함수를 가진다.

\frac {1}{\Lambda}}{\frac {d\Lambda}}}=blac {g^{3}}{16\pi ^{2}}\leftfrac 11+{\frac {2}N_{f}+오른쪽)O{\mathord {\left(g^{5}\right}},

$여기$ 서_f N은 쿼크 맛의 수입니다.N ≤ $16$ (표준 모델의 N = $6$ )인_f $경우 f$ , 결합 $상수$ g는 에너지 스케일이 증가할수록 감소한다.따라서 강한 상호작용은 낮은 에너지에서 강한 반면, 점근 ^[1]^{: 531}자유로 알려진 현상인 높은 에너지 상호작용에서는 매우 약해진다.

컨포멀 필드 이론(CFT)은 컨포멀 대칭을 인정하는 특수한 QFT입니다.모든 결합 상수가 소멸하는 β 함수를 가지기 때문에 스케일 변화에 민감하지 않습니다.(그러나 그 반대는 사실이 아니다 – 모든 β 함수의 소멸이 이론의 등각 대칭을 의미하는 것은 아니다.)^[31]예로는 끈^[21] $이론$ 과 N = $4$ 초대칭 양-밀스 ^[32]이론이 있습니다.

Wilson의 그림에 따르면, 모든 QFT는 기본적으로 에너지 차단 $δ$ 를 $수반$ 한다. 즉, 이론이 δ보다 높은 에너지에서는 더 이상 유효하지 않으며, 스케일 $δ$ 이상의 모든 자유도는 생략된다.예를 들어, 컷오프는 응축 물질 시스템에서 원자 간격의 역수일 수 있으며, 소립자 물리학에서는 중력에서의 양자 변동에 의해 야기되는 시공간에서의 기본적인 "세밀성"과 연관될 수 있다.입자 상호작용 이론의 컷오프 척도는 현재의 실험과는 거리가 멀다.이론이 그 규모에서 매우 복잡하더라도, 그 커플링이 충분히 약하다면, 낮은 에너지로 정규화할 수 있는 유효 장 ^[1]^{: 402-403}이론에 의해 설명되어야 한다.재규격화 가능 이론과 비규격화 가능 이론의 차이점은 전자는 높은 에너지로 디테일에 둔감한 반면 후자는 ^[8]^{: 2}이에 의존한다는 것이다.이 견해에 따르면, 정규화할 수 없는 이론은 보다 근본적인 이론의 저에너지 효과 이론으로 간주됩니다.그러한 이론에서 계산에서 컷오프 $δ$ 를 제거하지 못한 것은 새로운 이론이 필요한 ^[27]^{: 156} $δ$ 이상의 척도로 새로운 물리적 현상이 나타난다는 것을 나타낼 뿐이다.

기타 이론

앞에서 설명한 양자화 및 재규격화 절차는 실제 스칼라 필드의 자유 이론 및 δ⁴ 이론에 대해 수행됩니다.복소 스칼라장, 벡터장, 디락장을 포함한 다른 유형의 필드뿐만 아니라 전자기 상호작용 및 유카와 상호작용을 포함한 다른 유형의 상호작용 항에도 유사한 프로세스를 수행할 수 있습니다.

예를 들어 전자장을 나타내는 $디락장θ$ 와 전자장(광자장)을 나타내는 $벡터장 μ$ A를 포함한다.(그 이름에도 불구하고 양자 전자장 "장"은 사실 고전적인 전기장과 자기장이 아닌 고전적인 전자파 4전위에 해당합니다.QED Lagrangian의 풀 밀도는 다음과 같습니다.

({displaystyle {L}}=\displaybar {psi }}\left(i\display bar ^{\mu }-m\right)\psi - {\frac {1}{4}F^{\mu \nu }-ebar {psi } ^{\mu } } { {psi } } a} {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ 。

여기서 $θ$ 는^μ Dirac 매트릭스, $ψ$ 0 \ $displaystyle$ { \ $psi$ } = \ psi ^ { \ $psi$ } \ phsi ^ { \ phsi } \ phsi ^ { $0$ } \ f 、 $F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$ A $F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$ $F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$ A $μ$ A ${\$ - $F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$ $displaystyle F_{$ \ mu } } {\ {\ {\ ${\$ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ a a {\ { { {\이 이론의 매개변수는 (나) 전자 $질량$ m과 (나) 기본 $전하$ e입니다.라그랑지안 밀도의 첫 번째 항과 두 번째 항은 각각 자유 디락장과 자유 벡터장에 대응합니다.마지막 항은 전자장과 광자장 사이의 상호작용을 설명하며, 이는 자유 ^[1]^{: 78}이론으로부터의 섭동으로 취급된다.

위의 그림은 QED의 트리 레벨 파인만 다이어그램의 예입니다.그것은 전자와 양전자가 전멸하고, 껍질이 벗겨진 광자를 만들고, 그리고 나서 새로운 전자와 양전자의 쌍으로 붕괴하는 것을 묘사한다.시간은 왼쪽에서 오른쪽으로 흐른다.시간을 가리키는 화살표는 양전자의 전파를 나타내며 시간을 거꾸로 가리키는 화살표는 전자의 전파를 나타냅니다.물결선은 광자의 전파를 나타낸다.QED 파인만 다이어그램의 각 정점은 광자 다리뿐만 아니라 들어오는 페르미온 다리 및 나가는 페르미온 다리(양자/전자)를 가져야 합니다.

게이지 대칭

각 시공간 $점$ x(로컬 변환)에서 필드에 대한 다음 변환이 수행되면 QED Lagrangian은 변경되지 않거나 불변한 상태로 유지됩니다.

\displaystyle \psi (x)\to e^{i\alpha (x)}\psi (x)\quad A_{\mu }(x)\to A_{\mu }(x)+ie^{-i\alpha (x)}\partial _{\mu }e^{-i\alpha (x)},

$여기$ 서α( $x)$ 는 시공간 좌표의 함수이다.어떤 이론의 라그랑지안(또는 더 정확히는 작용)이 특정 국소 변환 하에서 불변이라면, 그 변환은 ^[1]^{: 482–483}이론의 게이지 대칭이라고 불립니다.게이지 대칭은 모든 시공간 지점에서 그룹을 형성합니다.QED의 경우, 2개의 다른 국소 대칭 $e^{i\alpha (x)}$ $e^{i\alpha (x)}$ ( $e^{i\alpha (x)}$ ){ $display$ $style$ e $^{i\alpha (x)}}$ $e^{i\alpha '(x)}$ $e^{i\alpha '(x)}$ α $e^{i\alpha '(x)}$ ( $e^{i\alpha '(x)}$ x ){ $displaystyle$ e $^{i\$ $alpha '($ $e^{i[\alpha (x)+\alpha '(x)]}$ 의 $e^{i\alpha (x)}$ $e^{i\alpha '(x)}$ 연속 적용은 또 다른 $e^{i[\alpha (x)+\alpha '(x)]}$ $e^{i[\alpha (x)+\alpha '(x)]}$ e $e^{i[\alpha (x)+\alpha '(x)]}$ i [ $e^{i[\alpha (x)+\alpha '(x)]}$ $e^{i[\alpha (x)+\alpha '(x)]}$ + $e^{i[\alpha (x)+\alpha '(x)]}$ ( $x$ ) \ $displaystylepha ]$ 이다. $ny$ α( $x),$ $e^{i\alpha (x)}$ $e^{i\alpha (x)}$ α( $e^{i\alpha (x)}$ { $displaystyle$ e $^{i\$ alpha $(x)}}$ 는 $e^{i\alpha (x)}$ $U(1$ ) $그룹$ 의 원소이므로 QED는 U( $1)$ 게이지 ^[1]^{: 496}대칭을 $갖는다고$ 한다. $광자장 μ$ A는 U(1 $)$ 게이지 보손이라고 할 수 있다.

$U($ 1)는 아벨 군으로, 그 원소가 적용되는 순서에 관계없이 결과가 동일함을 의미합니다.QFT는 또한 비아벨계 그룹에 구축될 수 있으며, 비아벨계 게이지 이론(양-밀스 이론이라고도 함)^[1]^{: 489}이 생겨났다.강한 상호작용을 설명하는 양자 색역학은 SU $(3)$ $게이지$ 대칭을 가진 비-벨 게이지 이론입니다.쿼크 필드를 나타내는 3개의 Dirac 필드 $δ i$ , $i$ $= 1,2,3$ 과 글루온 필드를 나타내는 8개의 벡터 $필드 a,μ$ A, $a$ = $1,...,8$ , SU( $3) 게이지$ ^[1]^{: 547}보손이 포함됩니다.QCD 라그랑주 밀도는 다음과 같습니다.^[1]^{: 490-491}

{L}=i{\bar {\mu}^{\mu }(D_{\mu })^{ij}\psi ^{j}-{\frac {1}{4}F_{a}F^{a,\mu }-mbar ^{psi ^{psi} ^{psi}

$여기$ 서_μ D는 게이지 공변 도함수입니다.

D_{\mu}=\display_{\mu}-igA_{\mu}^{a}t^{a}

$여기$ 서 g는 결합 $상수$ 이고^a t는 기본 표현(3 $\times3$ 행렬)에서 SU( $3)$ 의 8개의 생성기이다.

F_{\mu \nu }^{a}=\display_{\mu }^{a}-\display_{\nu }A_{\mu }^{a}+gf^{display}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}

$및 abc$ f는 SU( $3)$ 의 구조 상수입니다.반복 $지수$ i $, j, a$ 는 아인슈타인 표기법에 따라 암묵적으로 합산된다.이 라그랑지안은 변환 시 불변합니다.

\displaystyle \psi ^{i}(x)\psi ^{j}(x),\quad A_{\mu}^{a}(x)t^{a}\t^{a}\to U(x)\left[A_{\mu }^{a}(x)t^{a}+ig^{-1}\partial_{\mu}\right]U^{\dagger}(x),}

$여기$ 서 U $(x)$ 는 모든 시공간 $점$ x에서 SU( $3)$ 의 원소이다.

({displaystyle U(x)=e^{i\alpha(x)^{a}t^{a}}).}

대칭에 대한 앞선 논의는 라그랑지안 수준에 있다.즉, 이것은 "클래식" 대칭입니다.양자화 후, 일부 이론은 더 이상 고전적인 대칭을 나타내지 않을 것입니다. 이상 현상입니다.예를 들어, 라그랑 지안 밀도 L({\displaystyle{{나는\mathcal}}[\phi,\partial_{\mu}\phi]의 필드 중 특정한 지역 변환은 ∫ D({\textstyle \int{{\mathcal D}}\phi}의 경로 적분의를 변경할 수 있지만 아래의 불변성}에도 불구하고, 경로의 적분 공식.[27]:243 자연을 기술하는 이론이 일관되려면 게이지 대칭에 이상이 없어야 한다.소립자 표준 모델은 모든 이상이 정확히 ^[1]^{: 705-707}취소되는 그룹 $SU(3)$ × $SU(2)$ × $U(1)$ 에 기초한 게이지 이론이다.

일반 상대성 이론의 이론적 토대인 등가 원리는 또한 게이지 대칭의 한 형태로 이해될 수 있으며, 일반 상대성은 로렌츠 ^[33]그룹에 기초한 게이지 이론이 됩니다.

노에터의 정리는 모든 연속 대칭, 즉 대칭 변환의 매개변수가 이산적이기 보다는 연속적이기 때문에 그에 상응하는 보존 ^[1]^{: 17-18}^[27]^{: 73}법칙을 이끈다고 말한다.예를 들어 QED의 U(1 $) 대칭$ 은 전하 보존을 ^[34]의미합니다.

게이지 변환은 뚜렷한 양자 상태와 관련이 없습니다.오히려, 그것은 같은 양자 상태에 대한 두 개의 동등한 수학적 기술을 관련짓습니다.예를 들어 $4벡터$ 인^μ 광자장 A는 4개의 겉보기 자유도를 가지지만 광자의 실제 상태는 편광에 대응하는 2개의 자유도로 기술된다.나머지 두 개의 자유도는 "중복"이라고 한다. 명백히 A를 $쓰는 μ$ 다른 방법은 게이지 변환에 의해 서로 관련될 수 있으며 실제로 광자장의 동일한 상태를 설명할 수 있다.이런 의미에서 게이지 불변성은 "실제" 대칭이 아니라 선택된 수학적 ^[27]^{: 168}서술의 "용장성"을 반영하는 것이다.

경로 적분 공식에서 게이지 중복성을 고려하려면 이른바 Faddeev-Popov 게이지 고정 절차를 수행해야 합니다.비아벨 게이지 이론에서, 그러한 절차는 "고스트"라고 불리는 새로운 분야를 도입한다.고스트 필드에 대응하는 입자를 고스트 입자라고 하는데,^[1]^{: 512-515} 외부적으로는 검출할 수 없습니다.BRST 양자화에 ^[1]^{: 517}의해 Faddeev-Popov 절차의 보다 엄격한 일반화가 이루어진다.

자발적 대칭 파괴

자발적 대칭 파괴는 라그랑지안의 대칭이 그것에 의해 ^[1]^{: 347}기술된 시스템에 의해 침해되는 메커니즘이다.

메커니즘을 설명하기 위해 Lagrangian 밀도로 설명되는 N개의 실제 스칼라 필드를 $포함$ 하는 선형 시그마 모델을 검토합니다.

{L} = phi {1}{2} left(\mu }\phi ^{i}\right)\left(\mu }\phi ^{i}\right)+{\frac {1}\mu ^{2}\phi ^{fright

$여기$ 서 μ와 $μ$ 는 실제 파라미터입니다.이 이론은 O $(N)$ 전역 대칭을 $허용$ 합니다.

\displaystyle \phi ^{i}\phi ^{j}\phi ^{j},\quad R\in \mathrm {O} (N)}

고전 이론의 가장 낮은 에너지 상태(지반 상태 또는 진공 상태)는 모든 균일한 장 $δ$ 를₀ 만족시킵니다.

\phi _{0}^{i}\phi _{0}^{i}=black {\mu ^{2}}{\blackda}}.

일반성을 잃지 않고 접지 상태를 N번째 방향으로 합니다.

(\displaystyle \phi _{0}^i}=\left(0,\cdots,0,{\frac {\mu}{\fracrt {\cda}}}\right).}

$원래$ N 필드는 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

\displaystyle \phi ^{i}(x)=\left(\pi ^{1}(x),\cdots,\pi ^{N-1}(x),{\frac {{mu}}}+\flac(x)\flight(x)},\flac(x)

원래 라그랑지안 밀도는 다음과 같습니다.

{\mathcal {L}}=pi frac {1}{2}\left(\display_{\mu}\pi ^{k}\right)\left(\display_{\display_{\mu}\left)+{\frac {1}{2}\flight(\frac {\mu}\mu }\left ^{{\right})\left}}{2}}\pi^{k}\pi^{k}\pi^{2}-{\frac{4}\left(\pi^{k}\pi^{k}\right)^{2

$여기$ 서 k $= 1$ , $..., N$ - $1$ 입니다. $원래$ O $(N)$ 전역 대칭은 더 이상 나타나지 않고 하위 $그룹 O (N$ - 1)만 남습니다.자발적 대칭이 깨지기 전의 더 큰 대칭은 "숨겨진" 상태이거나 자발적으로 ^[1]^{: 349-350}깨진 상태라고 합니다.

골드스톤의 정리는 자발적인 대칭이 깨지면 모든 연속적인 지구 대칭이 골드스톤 보손이라고 불리는 질량 없는 장으로 이어진다고 말한다.위의 예에서 O $(N$ $)$ 는 N $($ N - $1$ )/ $2개$ 의 연속 대칭(Lie 대수의 차원)을 $가지며$ , $O(N - 1$ )는 ( $N$ $- 2)/2$ 를 가진다 $.$ 깨진 대칭의 수는 그 $차이인 N$ - 1이며, 이는 N - $1$ 질량 없는 필드 ^[1]^{: 351} $θ$ 에^k 해당한다.

한편, 게이지 대칭(전지구와 반대)이 자발적으로 깨지면 게이지 보손의 추가 자유도가 됨으로써 생성된 Goldstone 보손이 대응하는 게이지 보손에 의해 "먹혀"진다.골드스톤 보손 등가정리는 높은 에너지에서 세로방향으로 편광된 거대 게이지 보손의 방출 또는 흡수 진폭이 게이지 ^[1]^{: 743-744}보손에 의해 섭취된 골드스톤 보손의 방출 또는 흡수 진폭이 동일해진다고 말한다.

강자성의 QFT에서 자발적인 대칭 파괴는 ^[27]^{: 199}저온에서 자기 쌍극자의 정렬을 설명할 수 있다.소립자 표준 모형에서는 게이지 대칭의 결과로 질량이 없는 W와 Z 보손은 힉스 ^[1]^{: 690}메커니즘이라고 불리는 과정인 힉스 보손의 자발적인 대칭 파괴를 통해 질량을 획득합니다.

초대칭성

자연에서 실험적으로 알려진 모든 대칭은 보손과 보손 그리고 페르미온과 페르미온과 페르미온과 관련이 있다.이론가들은 보손과 페르미온을 ^[1]^{: 795}^[27]^{: 443}관련짓는 초대칭이라고 불리는 대칭의 존재에 대해 가설을 세웠다.

표준 모델은 시공간 $변환 μ$ P와 로렌츠 $변환 μν$ ^[35]^{: 58–60}J인 Poincaré 대칭을 따릅니다.이들 생성기 외에 (3+1)차원에서의 초대칭성은 슈퍼차지라고 불리는 추가 $생성기 α$ Q를 포함하며, 그 자체가 바일 ^[1]^{: 795}^[27]^{: 444}페르미온으로 변환됩니다.이 모든 생성기에 의해 생성된 대칭 그룹을 슈퍼 푸앵카레 군이라고 한다.일반적으로 대응하는 $N$ = 1 초대칭, $N$ = $2$ 초대칭 등을 생성하는 두 개 이상의 초대칭 생성기 $세트 α I$ $Q,$ I = 1, $...,$ $N$ 이 있을 수 있습니다.^[1]^{: 795}^[27]^{: 450}초대칭은 다른 ^[36]차원에서도 구성될 수 있으며, 특히 슈퍼스트링 ^[37]이론에서의 적용을 위한 (1+1) 차원에서도 구성될 수 있습니다.

초대칭 이론의 라그랑지안은 초대칭군의 ^[27]^{: 448}작용 하에서 불변해야 한다.이러한 이론의 예는 다음과 같습니다.최소 초대칭 표준 모형(MSSM), $N$ = $4$ 초대칭 양-밀스 ^[27]^{: 450}이론 및 초끈 이론.초대칭 이론에서, 모든 페르미온에는 보소닉 슈퍼파트너가 있고,^[27]^{: 444} 그 반대도 마찬가지입니다.

만약 초대칭이 국소 대칭으로 추진된다면, 그 결과로 생기는 게이지 이론은 ^[38]초중력이라고 불리는 일반 상대성 이론의 확장이다.

초대칭은 물리학의 많은 현재 문제들에 대한 잠재적인 해결책이다.예를 들어 표준 모델의 계층적 문제, 즉 힉스 입자의 질량이 (재규격화 시) 대통합 척도 또는 플랑크 척도와 같은 매우 높은 척도로 방사적으로 보정되지 않는 이유는 힉스장과 그 슈퍼 파트너인 힉스노와 관련지어 해결할 수 있다.파인만 다이어그램의 힉스 보정에 의한 복사 보정은 대응하는 힉스노 루프로 취소된다.초대칭성은 또한 암흑 ^[1]^{: 796-797}^[39]물질의 특성뿐만 아니라 표준 모델에서 모든 게이지 커플링 상수의 대통합에 대한 해답을 제공합니다.

그럼에도 불구하고, 2018년^[update] 현재, 실험은 아직 초대칭 입자의 존재에 대한 증거를 제공하지 못하고 있다.만약 초대칭이 자연의 진정한 대칭이었다면, 그것은 깨진 대칭일 것이고, 대칭 깨짐의 에너지는 오늘날의 ^[1]^{: 797}^[27]^{: 443}실험에 의해 달성될 수 있는 것보다 높아야 한다.

기타 공간

$γ 4$ 이론, QED, QCD 및 전체 표준 모델은 모두 양자장이 정의되는 배경으로 (3+1)차원 민코프스키 공간(3공간 및 1시간 차원)을 가정한다.그러나 QFT는 치수의 수나 시공간 기하학에 제한을 가하지 않는다.

응축물리학에서 QFT는 (2+1)차원 전자 ^[40]가스를 기술하는 데 사용됩니다.고에너지 물리학에서 끈 이론은 (1+1)차원 ^[27]^{: 452}^[21]QFT의 한 종류이고, 칼루자-클레인 이론은 저차원 ^[27]^{: 428-429}게이지 이론을 만들기 위해 추가 차원의 중력을 사용한다.

민코프스키 공간에서는 평탄한 메트릭 θ를_μν 사용하여 라그랑지안의 시공간 지수를 올리고 내린다.

\displaystyle A_{\mu }A^{\mu }=\eta _{\mu \nu }A^{\nu},\display \mu \pi =\eta ^{\mu \nu }\phi _{\mu }\pi =\phi _{\pi }

여기서 $η$ 는^μν $ηη μρ ρν$ = $δ$ 을^μ_ν 만족하는 $satisf$ 의_μν 역수이다.한편 곡면 시공간에서의 QFT의 경우 일반적인 메트릭(블랙홀을 나타내는 슈바르츠실트 메트릭 등)이 사용됩니다.

\displaystyle A_{\mu }=g_{\mu \nu }A^{\mu }A^{\nu},\display \mu \pi =g^{\mu \nu }\phi _{\mu }\phi =g^{\mu } \phi } \phi }

$여기$ 서^μν g는 $g$ 의_μν 역수입니다.실제 스칼라 필드의 경우, 일반적인 시공간 배경에서의 라그랑지안 밀도는 다음과 같다.

({displaystyle {mathcal {L}}=sqrt {g}}\lefts\frac {1}{2}}g^{\mu}\fhi \sqrt {2}\fhi ^{2}\frac {2}\frac {2}\phi ^{2}\right},

$여기$ 서 g = $det(g μν)$ 이고, $μ$ θ는 공변 ^[41]도함수를 나타낸다.QFT의 라그랑지안, 즉 계산 결과와 물리적 예측은 시공간 배경의 기하학적 구조에 따라 달라진다.

위상 양자장 이론

QFT의 상관 함수 및 물리적 예측은 시공간 $메트릭 μν$ g에 따라 달라집니다.위상 양자장 이론(TQFTs)이라고 하는 특수한 QFT 클래스의 경우, 모든 상관 함수는 시공간 메트릭의 ^[42]^{: 36}연속적인 변경과는 무관합니다.곡면 시공간에서 QFT는 일반적으로 시공간 배경의 기하학(국소 구조)에 따라 변화하는 반면, TQFT는 시공간 미분 동형 하에서는 불변하지만 시공간 토폴로지(지구 구조)에 민감하다.이는 TQFT의 모든 계산 결과가 기본 시공간에서 위상 불변임을 의미한다.체른-사이먼 이론은 TQFT의 한 예이며 양자 ^[43]중력의 모델을 구성하는데 사용되어 왔다.TQFT의 적용에는 부분 양자 홀 효과와 위상 양자 컴퓨터가 ^[44]^{: 1–5}포함된다.분수화된 입자의 세계선 궤적(anyons로 알려진)은 ^[45]시공간에서 연결 구성을 형성할 수 있으며, 이것은 물리학의 임의의 편조 통계와 수학의 연결 불변성을 관련짓습니다.위상 양자 문제의 프런티어 연구에 적용할 수 있는 위상 양자장 이론(TQFT)은 2+1 시공간 차원의 체른-시몬-위튼 게이지 이론, 기타 새로운 이국적인 TQ를 포함한다.FT는 3+1 시공간 치수 ^[46]이상입니다.

섭동 및 비섭동 방법

섭동 이론을 사용하여, 작은 상호작용 항의 총 효과는 상호작용에 참여하는 가상 입자의 수에서 직렬 확장에 의해 순서에 따라 대략적인 효과를 얻을 수 있다.팽창의 모든 용어는 (물리적) 입자가 가상 입자를 통해 서로 상호작용하는 하나의 가능한 방법으로 이해될 수 있으며, 파인만 다이어그램을 사용하여 시각적으로 표현됩니다.QED에서 두 전자 사이의 전자기력은 가상 광자의 전파에 의해 (교란 이론의 첫 번째 순서로) 표현된다.마찬가지로 W와 Z 보손은 약한 상호작용을, 글루온은 강한 상호작용을 합니다.다양한 가상 입자의 교환을 포함하는 중간 상태의 합으로서의 상호작용의 해석은 섭동 이론의 틀 안에서만 의미가 있다.이와는 대조적으로 QFT의 비서버티브 방식에서는 직렬 확장 없이 상호작용하는 Lagrangian 전체를 처리합니다.이 방법들은 상호작용을 하는 입자 대신 't Hooft-Polyakov 모노폴, 도메인 벽, 플럭스 튜브, 인스턴트온 '^[8]과 같은 개념을 만들어냈다.완전히 비논리적으로 해결할 수 있는 QFT의 예로는 최소한의 컨포멀 필드^[47] 이론 모델과 티링 ^[48]모델을 들 수 있습니다.

수학적 정밀도

입자 물리학과 응집 물질 물리학에서 압도적인 성공을 거뒀음에도 불구하고 QFT 자체는 공식적인 수학적 기초가 없습니다.예를 들어, Haag의 정리에 따르면, QFT에 대한 잘 정의된 상호작용 그림은 존재하지 않으며, 이는 전체 파인만 다이어그램 방법의 기초가 되는 QFT의 섭동 이론이 근본적으로 잘못 ^[49]정의되었음을 암시한다.

그러나 수렴 요구사항 없이 공식 멱급수로서만 양이 계산될 것을 요구하는 섭동 양자장 이론은 엄격한 수학적 처리를 할 수 있다.특히 케빈 코스텔로의 논문 재규격화와 유효장^[50] 이론은 게이지 이론을 정량화하는 바탈린-빌코비스키 접근법과 함께 카다노프, 윌슨, 폴친스키의 유효장 이론 접근법을 결합한 섭동적 재규격화의 엄격한 공식을 제공한다.또한, 일반적으로 유한 차원 적분 ^[51]이론에서 영감을 받은 공식 계산 방법으로 이해되는 섭동 경로 적분 방법은 그들의 유한 차원 ^[52]유사체로부터 건전한 수학적 해석을 제공할 수 있다.

1950년대 ^[53]이후 이론 물리학자 및 수학자들은 수학적으로 엄격한 방식으로 상대론적 QFT의 구체적인 모델의 존재를 확립하고 그 특성을 연구하기 위해 모든 QFT를 일련의 공리로 구성하려고 시도했습니다.연구의 이 라인 건설적인 양자장론, 수학적 physics,[54]의로서:2CPT정리, spin–statistics theorem, 그리고 골드 스톤의 theorem,[53]과 같은 결과 있고 또한 많은 상호 작용 QFTs의 2-3블랙 홀 크기, 예를 들어 2차원 scalar에 수학적으로 엄격한 건축을 하게 만들고 있습니다. 필드 theor임의의 다항식 ^[55]상호작용을 갖는 ies, 4차 상호작용을 갖는 3차원 스칼라장 이론 ^[56]등

일반적인 QFT에 비해, 위상 양자장 이론과 등각장 이론은 수학적으로 더 잘 뒷받침됩니다. - 둘 다 코보디즘의 ^[57]표현 프레임워크로 분류될 수 있습니다.

대수 양자장 이론은 QFT의 공리화에 대한 또 다른 접근법이며, 여기서 기본 객체는 국소 연산자와 그 사이의 대수적 관계이다.이 접근법에 따른 공리 체계로는 와이트만 공리와 하그-카슬러 ^[54]^{: 2-3}공리가 있다.와이트만 공리를 만족시키는 이론을 구성하는 한 가지 방법은 분석 연속(윅 회전)^[54]^{: 10}에 의해 가상 시간 이론에서 얻을 수 있는 필요충분한 조건을 제공하는 오스터발더-슈레이더 공리를 사용하는 것이다.

밀레니엄상 문제 중 하나인 양-밀스의 존재와 질량 격차는 위의 공리에 의해 제시된 양-밀스의 명확한 존재에 관한 것입니다.전체 문제 설명은 다음과 같습니다.^[58]

어떠한 컴팩트한 단순한 게이지 그룹 G에 대한은 양자 Yang–Mills 이론 R4{\displaystyle \mathbb{R}^{4}에}과 질량 간극 Δ 을 있습니다;0을 증명해 보세요존재에 이르는 Streater 및에 인용된 강한 적어도 공리적 속성을, 와이트먼(1964년), 오스터발더 &, 슈레이더는(1973년)과 오스터발더,&슈레이더는 포함한다. （ ( ( ）。

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[tong1-25] 2015년 통1장

[26] 사실, 그것의 자유도는 셀 수 없다. 왜냐하면 유한 차원 유클리드 공간에서도 연속적인 (미분 가능한, 실제 해석 가능한) 함수의 공간의 벡터 공간 차원은 셀 수 없기 때문이다.한편, 힐버트 공간(예: 정사각형 적분 가능 실수치 함수의 공간) 또는 분리 가능한 바나흐 공간(예: 균일한 수렴 노름을 가진 콤팩트 간격의 연속 실수치 함수의 공간)과 같이 일반적으로 고려하는 부분 공간(i)은 디누머블(i)을 가진다.e) 바나흐 공간의 범주에서 차원(그들의 유클리드 벡터 공간 차원은 여전히 셀 수 없음에도 불구하고), 따라서 이러한 제한된 컨텍스트에서 자유도의 수(관심하는 함수 공간의 벡터 공간 차원 대신 조밀한 부분 공간의 벡터 공간 차원으로 해석됨)는 부정할 수 있다.

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v t 양자역학
배경	서론 역사 타임라인 고전 역학 구 양자론 용어집
기초	타고난 규칙 브라켓 표기법 상보성 밀도 매트릭스 에너지 레벨 접지 상태 들뜬 상태 퇴화 수준 제로 포인트 에너지 얽힘 해밀턴식 방해다 데코히렌스 측정. 비국소성 양자 상태 중첩 터널링 산란 이론 양자역학에서의 대칭성 불확실성 파동 함수 접다 파동-입자 이중성
제제	제제 하이젠베르크 상호 작용 행렬 역학 슈뢰딩거 경로 적분 공식 위상 공간
방정식	디락 클라인-고든 파울리 리드버그 슈뢰딩거
해석	해석 베이지안 일관성 있는 이력 코펜하겐 브로이쾅 앙상블 숨김 변수 현지의 다세계 객관적 붕괴 양자 논리 관계형 트랜잭션 반 노이만 위그너
실험	벨 부등식 데이비슨-게르머 선택 지연 양자 지우개 더블 슬릿 프랑크-헤르츠 마하-젠더 간섭계 엘리추르-바이드만 포퍼 양자 지우개 스턴-게라크 Wheeler의 지연
과학	양자생물학 양자 화학 양자 카오스 양자 우주론 양자 미분학 양자역학 양자 기하학 양자 측정 문제 양자 확률 미적분 양자 시공간
테크놀로지	양자 알고리즘 양자 증폭기 양자 버스 양자 세포 오토마타 양자 유한 오토마타 양자 채널 양자 회로 양자 복잡도 이론 양자 컴퓨팅 타임라인 양자암호학 양자 전자 공학 양자 오차 보정 양자 이미징 양자 이미지 처리 양자 정보 양자 키 배포 양자 논리 양자 논리 게이트 양자 기계 양자 기계 학습 양자 메타물질 양자 도량형 양자 네트워크 양자 신경망 양자 광학 양자 프로그래밍 양자 감지 양자 시뮬레이터 양자 순간이동
내선번호	카시미르 효과 양자통계역학 양자장론 역사 양자 중력 상대론적 양자역학
관련된	슈뢰딩거의 고양이 대중문화에서. 양자 신비주의
카테고리 물리 포털 공통

v t 물리학과
디비전	순수하다 응용의 공학 기술
접근	실험적인 이론적인 계산
고전적인	고전 역학 뉴턴의 분석적 천상의 연속체 음향학 고전 전자기학 고전 광학 광선 파도. 열역학 통계 불균형평형
현대의	상대론적 역학 스페셜 일반 핵물리학 양자역학 입자 물리학 원자·분자·광학 아토믹 분자의 현대 광학 응집 물질 물리학
학제간	천체 물리학 대기 물리학 생물 물리학 화학 물리학 지구물리학 재료과학 수리 물리학 의학물리학 해양 물리학 양자정보과학
관련된	물리학의 역사 노벨 물리학상 물리 교육 물리학 발견 연표

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