헌함수

이 글에는 참고문헌, 관련 독서 또는 외부 링크 목록이 수록되어 있으나 인라인 인용구가 부족하여 출처가 불분명하다. 좀 더 정밀한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오.(2017년 6월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

수학에서 국소헌함수 H⁢ℓ(a,q,α,β,γ,Δ;z) (Karl L. W. Heun 1889)은 홀오모르픽이고 단수점 z = 0에 1이 있는 헌의 미분 방정식의 해법이다.국부흔함수는 허운함수라고 하며, 만일 그것이 또한 z = 1에서 규칙적이면 Hf를 나타내고, 허운 다항식, 세 가지 유한 단수점 z = 0, 1, a에서 모두 규칙적이면 Hp를 나타낸다.

헌 방정식

헌 방정식은 형태의 2차 선형 보통 미분 방정식(ODE)이다.

${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {\gamma }{z}}+{\frac {\delta }{z-1}}+{\frac {\epsilon }{z-a}}\right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha \beta z-q}{z(z-1)(z-a)}}w=0.}$

$조건{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ = ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle -}$ Δ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle 1}${\$displaystyle \epsilon$=\$alpha +\beta$-\$gamma$-\$delta +$1}을 취하여$$ 무한대의 정규 특이성에 대한 특성 지수를 α와 β(아래 참조)로 한다.

complex number q를 association parameter라고 한다헌의 방정식은 지수(0, 1 - a), (0, 1 - Δ), (0, 1 - Δ), (α, β)의 4개의 정규 단수점을 가지고 있다.라메 방정식이나 초기하 미분 방정식과 같이 4개의 정규 단수점을 가진 확장 복합 평면의 모든 2차 선형 ODE는 변수의 변화에 의해 이 방정식으로 변환될 수 있다.

헤이운 방정식의 다양한 규칙적인 특이점을 불규칙한 특이점으로 결합하면 아래 표와 같이 방정식의 여러 혼합형식이 발생한다.

헌 방정식의^[1] 형태

형태	특이점	방정식
일반	0, 1, a, ∞	${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {\gamma }{z}}+{\frac {\delta }{z-1}}+{\frac {\epsilon }{z-a}}\right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha \beta z-q}{z(z-1)(z-a)}}w=0}$
결합제	0, 1, ∞ (irregular, 1위)	${\dxyle {\frac{d^{2}w}{dz^{2}}+\왼쪽[{\frac {\buffl }{z}}+{z-1}}}{z-1}+\frac {dz}+{\frac z-q}{z-1}=0}}}}$
이중 결합제	0(위, 1위), ∞(위, 1위)	${\dxyle {\frac{d^{2}w}{dz^{2}}+\왼쪽[{\frac {\buffer }{z^{2}}}+{\frac {dz}}+1\pright]{\frac}{dz}}}{z-q}{d}{z-w=0}}}}}}$
비콘플루언트	0, ∞ (irregular, 2위)	${\djcyle {\frac{d^{2}w}{dz^{2}}-\좌측[{\frac {}{z}+++++z\우측]{\frac {dz}+{\frac {\frac z-q}{z-w=0}$
트리콘플루언트	∞ (irregular, 3위)	${\dxyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}+\좌측(\flash +z\우측)z{\frac {dz}+좌측(\property z-q\우측)=0}$

q-message

허운 방정식의 q-아날로그는 한(1971년)에 의해 발견되어 타케무라(2017년)에 의해 연구되었다.

대칭

헌의 방정식은 순서 192의 대칭집단을 가지며, 콕시터 다이어그램 D의₄ 콕시터 그룹과 이형성을 가지며, 쿠메르가 얻은 초지하 미분방정식의 24 대칭과 유사하다.국부 현 함수를 고정하는 대칭은 4포인트의 대칭 그룹에 순서 24 이형성 그룹을 형성하므로, 이러한 대칭에 의해 국부 현상에 작용하여 주어진 192/24 = 8 = 2 × 4 본질적으로 다른 해법이 있으며, 이는 4개의 단수점 각각에 대한 2개의 지수에 대한 해답을 제공한다.192개의 대칭의 전체 목록은 기계 계산을 사용하여 Maier(2007)에 의해 주어졌다.이를 수작업으로 나열하려는 여러 저자들의 이전 시도는 많은 오류와 누락을 포함했다. 예를 들어, 헌이 열거한 48개 지역 해법의 대부분은 심각한 오류를 포함하고 있다.

참고 항목

• 하이네-스티엘트제스 다항식, 헌 다항식의 일반화.

참조

• A. 에르델리, F.오버헤팅거, W. 매그너스, F.트리코미 상위 초월함수 vol. 3 (McGraw Hill, NY, 1953)
• Forsyth, Andrew Russell (1959) [1906], Theory of differential equations. 4. Ordinary linear equations, New York: Dover Publications, p. 158, MR 0123757
• Heun, Karl (1889), "Zur Theorie der Riemann'schen Functionen zweiter Ordnung mit vier Verzweigungspunkten", Mathematische Annalen, 33 (2): 161, doi:10.1007/bf01443849, S2CID 120008459
• Maier, Robert S. (2007), "The 192 solutions of the Heun equation", Mathematics of Computation, 76 (258): 811–843, arXiv:math/0408317, Bibcode:2007MaCom..76..811M, doi:10.1090/S0025-5718-06-01939-9, MR 2291838, S2CID 749861
• Ronveaux, A., ed. (1995), Heun's differential equations, Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-859695-0, MR 1392976
• Sleeman, B. D.; Kuznetzov, V. B. (2010), "Heun functions", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• Valent, Galliano (2007), "Heun functions versus elliptic functions", Difference equations, special functions and orthogonal polynomials, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, pp. 664–686, arXiv:math-ph/0512006, doi:10.1142/9789812770752_0057, ISBN 978-981-270-643-0, MR 2451210, S2CID 8520520
• Han W.(1971) 부속 매개변수가 있는 선형 기하학적 차이 방정식에 대하여.펑크커셜.에크박, 14, 73-78
• Takemura, K. (2017), "Degenerations of Ruijsenaars–van Diejen operator and q-Painlevé equations", Journal of Integrable Systems, 2 (1), arXiv:1608.07265, doi:10.1093/integr/xyx008.