상위 로컬 필드

Higher local field

수학에서 더 높은(-차원) 지역 분야가 완전한 이산 평가 영역의 중요한 예다.그러한 분야를 다차원 지역장이라고도 한다.

통상적인 로컬 필드(일반적으로 숫자 필드 또는 대수 곡선의 로컬 링의 인용 필드 보완)에는 실제 숫자 및 복잡한 숫자와 같은 경범죄 로컬 필드인 경우가 아니면 해당 필드의 로컬 매개변수 선택과 관련된 고유한 과부하 이산 평가(1등급)가 있다.마찬가지로, 거의 모든 n차원 로컬 분야에서 n등급의 개별적인 평가가 존재하며, 이는 해당 필드의 로컬 매개변수 선택과 관련이 있다.[1]1차원 지역장과 대조적으로 높은 지역장은 일련의 잔여 필드를 가진다.[2]더 높은 지역 분야에는 얼마나 많은 잔여 필드 정보를 고려하고자 하는지에 따라 서로 다른 통합 구조가 있다.[2]

기하학적으로, 더 높은 지역 장은 더 높은 차원 구조의 국부적 고리의 국소화 및 완성의 과정을 통해 나타난다.[2]더 높은 지역 분야는 더 높은 차원 수 이론의 주제의 중요한 부분으로, 지역 고려에 적합한 물체 집합을 형성한다.

정의

유한 장은 치수 0을 가지며, 유한잔류장을 가진 완전한 이산 평가 필드는 치수 1을 갖는다(차원 1을 가지기 위해 R 또는 C와 같은 아큐메이드 지방장을 정의하는 것은 당연하다), 완전 이산 평가 필드의 잔존 필드가 치수 n-1을 가지면 치수 n을 갖는다고 말한다.고차원적 지역장은 1차원 이상의 지역장이며, 1차원 지역장은 전통적인 지역장이다.우리는 유한한 차원 높은 지역장의 잔류장을 '첫 번째' 잔류장이라고 부르고, 그 잔류장은 두 번째 잔류장이라고 하며, 그 패턴은 우리가 유한장에 도달할 때까지 계속된다.[2]

예

2차원 지역장은 다음과 같은 등급으로 나뉜다.

  • 양성 특성의 필드, 그것들은 1차원 지역장(Fq(u))(t)에 걸친 변수 t의 공식 파워 시리즈다.
  • 특성 0의 등가균성 장, 특성 0의 1차원 국소장 F에 대한 형식 파워 시리즈 F(t)이다.
  • 혼성 문자장, F{{t}} 타입 F{{t}} 필드의 유한 확장, F는 특성 0의 1차원 국소장이다.이 필드는 계수의 평가 최소값이 정수인 F의 계수와 그 지수가 마이너스 무한대로 갈 때 계수의 평가가 0이 되는 경향이 있는 양방향으로 무한정 형식 파워 시리즈 집합으로 정의된다.[2]
  • 아르키메데스의 2차원 국소장, 즉 실수 R이나 복합수 C에 대한 공식 전력계열이다.

시공

상위 로컬 필드는 다양한 맥락에서 나타난다.기하학적 예는 다음과 같다.유한한 특성 p의 필드 위에 표면이 있고 표면의 곡선과 곡선의 점이 있는 경우, 지점의 국부 링을 취한다.그런 다음 이 링을 완성하고 커브에서 위치를 파악한 후 결과 링을 완성하십시오.마지막으로, 인용 부문을 택한다.그 결과는 유한한 분야에 걸친 2차원 국소장이다.[2]

비정기적인 고리에 대해 기술적으로 되는 정류 대수학을 이용한 공사도 있다.출발점은 노메테리아식, 규칙적이고 n차원적인 반지, 그리고 그에 상응하는 몫의 반지가 규칙적일 정도로 원초적 이상의 깃발이다.n차원 국소장에 도달할 때까지 위에서와 같이 일련의 보완과 국소화가 이루어진다.

상위 로컬 필드의 토폴로지

평가 토폴로지에서 일반적으로 1차원 로컬 필드를 고려하는데, 여기서 이산적 평가는 개방형 세트를 정의하는 데 사용된다.이는 더 높은 차원의 국소장에서는 충분하지 않을 것이다. 이는 잔류물 수준에서도 위상을 고려해야 하기 때문이다.상위 로컬 필드에는 이 문제를 해결하는 적절한 토폴로지(독특하게 정의되지 않음)가 부여될 수 있다.이러한 위상은 n > 1일 경우 n등급의 이산 평가와 관련된 위상이 아니다.차원 2 이상에서 필드의 첨가물 그룹은 국소적으로 압축되지 않은 위상학적 그룹이 되며 위상의 기저부는 셀 수 없다.가장 놀라운 것은 곱셈이 연속적이지 않다는 것이다. 그러나 그것은 모든 합리적인 산술적 목적에 적합한 순차적 연속이라는 것이다.위상학적 고려사항을 보다 공식적인 것으로 대체하기 위한 반복된 인디 프로 접근법도 있다.[3]

상위 로컬 영역에 대한 측정, 통합 및 조화 분석

2차원 지역 분야에는 번역 불변 측정치가 없다.대신에, 필드에서의 2차원 이산적 평가와 관련하여 닫힌 공에 의해 생성되는 세트의 링에 정밀하게 첨가된 번역 불변량 측정치가 정의되어 있고, 실제보다 공식 파워 시리즈 R(X)의 값을 취한다.[4]이 측정은 또한 어떤 정제된 의미에서도 충분히 첨가될 수 있다.그것은 더 높은 지역 들판에서 더 높은 하르 측정으로 볼 수 있다.모든 상위 로컬 영역의 첨가제 그룹은 비 캐논학적으로 자체 이중화되며, 함수의 적절한 공간에 더 높은 푸리에 변환을 정의할 수 있다.이것은 더 높은 고조파 분석으로 이어진다.[5]

상위지역계급장론

1차원의 국소 계급장 이론은 더 높은 차원에 유사성을 가지고 있다.승수집단에 대한 적절한 대체는 n번째 밀너 K-그룹이 되는데, 여기서 n은 필드의 차원이며, 이후 필드 위에 있는 최대 아벨리아 확장자의 갈루아 그룹에 대한 상호주의 지도 영역으로 나타난다.더 좋은 것은 모든 양의 정수로 나누어질 수 있는 원소의 하위집단에 의한 n번째 밀너 K 그룹의 지수를 가지고 일하는 것이다.Fesenko 정리 때문에,[6] 이 지수는 또한 적절한 고차원 위상이 부여된 K-그룹의 최대 분리 위상학적 지수로 볼 수 있다.n번째 Milnor K 그룹의 이 지수에서 상위 지역 영역의 최대 지역적 아벨리안 확장의 갈루아 그룹에 이르는 지역 상호주의 동형성은 1차원 지역 계급장 이론의 그것과 유사한 많은 특징을 가지고 있다.

상위 지역 계급장 이론은 Milnor K-이론의 경계도를 이용하여 분야 수준과 잔류 분야 수준의 상호주의 지도가 포함된 역학 도표를 작성함으로써 잔류 분야 수준의 계급장 이론과 양립할 수 있다.[7]

일반 고등 지방 계급장 이론은 가토[8] 가즈야와 이반 페센코가 개발했다.[9][10]긍정적인 특성에서 상위 지역 계급장 이론이 A에 의해 제안되었다.파르신.[11][12]

메모들

  1. ^ Fesenko, I.B., 보스토코프, S.V. 로컬필드와 그들의 확장.미국수학협회, 1992년 제1장 및 부록.
  2. ^ a b c d e f 페센코, 나, 쿠리하라, M. (에드)상위 로컬 필드에 초대.지오메트리 및 위상 모노그래프, 2000, 섹션 1(Zhukov).
  3. ^ 페센코, 나, 쿠리하라, M. (에드)상위 로컬 필드에 초대.지오메트리 및 위상 모노그래프, 2000, 여러 섹션.
  4. ^ 페센코, I. 산술적 계략에 대한 분석. I. Docum.수학, (2003년), 가토 특집 261-284
  5. ^ Fesenko, I, Measure, Integration 및 일반화된 루프 공간에 대한 고조파 분석 요소, 진행.상트페테르부르크 수학Soc, vol. 12 (2005), 179-199; AMS Transl.시리즈 2, 219, 149-164, 2006
  6. ^ I. Fesenko (2002). "Sequential topologies and quotients of Milnor K-groups of higher local fields" (PDF). St. Petersburg Mathematical Journal. 13.
  7. ^ 페센코, 나, 쿠리하라, M. (에드)상위 로컬 필드에 초대.지오메트리 및 위상 모노그래프, 2000, 섹션 5 (구리하라)
  8. ^ K. Kato (1980). "A generalization of local class field theory by using K -groups. II". J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. 27: 603–683.
  9. ^ I. Fesenko (1991). "On class field theory of multidimensional local fields of positive characteristic". Adv. Sov. Math. 4: 103–127.
  10. ^ I. Fesenko (1992). "Class field theory of multidimensional local fields of characteristic 0, with the residue field of positive characteristic". St. Petersburg Mathematical Journal. 3: 649–678.
  11. ^ A. Parshin (1985). "Local class field theory". Proc. Steklov Inst. Math.: 157–185.
  12. ^ A. Parshin (1991). "Galois cohomology and Brauer group of local fields": 191–201. {{cite journal}}:Cite 저널은 필요로 한다. journal=(도움말)

참조