힐버트 클래스 필드

대수적 수 이론에서, 숫자 필드 K의 힐버트 클래스 필드 E는 K의 최대 아벨리안 미라람 확장이다.그것의 K에 대한 학위는 K의 등급 번호와 같고, K에 대한 E의 갈루아 그룹은 K에서 주요한 이상을 위해 프로베니우스 요소를 사용하는 K의 이상 등급 그룹과 시론적으로 이형화된다.

이런 맥락에서 K의 힐버트 계급 분야는 한정된 장소(고전적 이상적 이론적 해석)에서 단지 미묘화되지 않고 K의 무한한 장소에서도 나타난다.즉, K의 모든 실제 임베딩은 (E의 복잡한 임베딩이 아닌) E의 실제 임베딩으로 확장된다.

예

• K의 정수 링이 고유한 인자화 도메인이라면, $특히{\displaystyle }$K = ${\displaystyle Q\mathbb{}}${\$displaystyle K=\mathb {Q}$}이(가$)$ K는 자체 힐버트 클래스 필드다.
• ${\displaystyle K\mathbb{}}$= Q${\displaystyle }$(${\displaystyle \sqrt{}}$- ${\displaystyle \sqrt{15}}$) ${\displaystyle K=\mathb {Q}({\sqrt{-15})$의 판별${\displaystyle }$- ${\displaystyle 15}$ ${\displaystyle -15}$을(를) 두십시오$.$$필드{\displaystyle }$ L${\displaystyle }$= ${\displaystyle Q\mathbb{}}$(${\displaystyle \sqrt{}}$- ${\displaystyle 3\sqrt{\mathrm{}}}$,${\displaystyle }$5${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ L$=\mathb {Q}({\sqrt{-3},{\sqrt{5})$는 판별 ${\displaystyle 225}$=${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle 15{}^{}}$) 2 ${\$의 모든 영역 K의 확장명이며, 아벨리안이다.민코스키 바운드를 이용하면 K가 2등급을 갖고 있다는 것을 알 수 있다.따라서 Hilbert 클래스 $필드$는$$L {\$displaystyle$L} K의 비주요적 이상은 (2,(1+165-15)/2)이며, L에서는 이것이 주된 이상(1+165)/2가 된다.
• $필드{\displaystyle \mathbb{}}$ Q${\displaystyle (\sqrt{}}$- ${\displaystyle \sqrt{23}}$) ${\displaystyle \mathb {Q}({\sqrt{-23})$에는 클래스 3이 있다$$.힐버트 클래스 필드는 x³ - x - 1의 루트에 결합하여 형성될 수 있으며, 이 루트는 차별성 -23을 가지고 있다.
• 경도 소수점에서의 래밍이 고려되어야 하는 이유를 보려면 3 ~ Q의 제곱근을 결합하여 얻은 실제 2차장 K를 고려하십시오.이 분야에는 등급 1과 등급 12가 있지만, 판별 9=3의² 확장 K(i)/K는 K의 모든 주요 이상에서 미표시되므로, K는 K의 모든 유한한 소수들이 미표시되는 1 이상의 유한 아벨리아 학위 연장을 인정한다.이것은 K가 되는 힐베르트 계급장 그 자체와 모순되지 않는다: K의 모든 적절한 유한 아벨리아식 연장은 반드시 어떤 장소에서 격파되어야 하며, K(i)/K 확장에서는 경건한 장소에 격파된다: K가 K(i)의 복합(실제보다 더 큰) 임베딩으로 확장되는 실제 임베딩은 K(i)의 복잡한 (실제) 임베딩으로 확장된다.
• 복합 곱셈 이론에 의해, 상상의 2차 장에 대한 힐버트 클래스 장은 정수의 링(Z-module로서)에 대한 발생기의 타원 모듈 함수의 값에 의해 생성된다.

역사

주어진 숫자 필드 K에 대한 (좁은) 힐버트 클래스 필드의 존재는 데이비드 힐버트(1902)에 의해 추측되었고 필립 푸르퉁글러에 의해 증명되었다.^[1]힐버트 클래스 영역의 존재는 주어진 분야의 이상적인 클래스 그룹의 구조를 연구하는 데 귀중한 도구다.

추가 속성

힐버트 클래스 필드 E도 다음 사항을 만족한다.

• E는 K와 [E : K] = h의_K 유한 갈루아 확장인데 여기서 h는_K K의 등급 번호다.
• K의 이상적인 계급 집단은 K보다 E의 갈루아 집단에 이형성이다.
• O의_K 모든 이상은 링 확장 O_E(주요 이상 정리)의 주된 이상으로 확장된다.
• O의_K 모든 주요 이상 P는 O에서_E h_K/f 프라임 이상의 산물로 분해되는데, 여기서 f는 O의_K 이상 등급 그룹에서 [P]의 순서다.

사실 E는 첫째, 둘째, 넷째 속성을 만족시키는 독특한 분야다.

명시적 구성

K가 가상의 2차이고 A가 K의 정수 링에 의한 복잡한 곱셈을 갖는 타원곡선이라면, A에서 K까지의 j-인바리안트를 결합하면 힐버트 클래스 필드가 주어진다.^[2]

일반화

학급장 이론에서, 사람들은 주어진 계수에 대해 광학계급을 연구하는데, 이것은 주요한 이상(아마도, 경건한 것을 포함)의 공식적인 산물이다.레이 클래스 필드는 계수를 나누고 계수를 나눈 소수에서 특정 래미화 조건을 만족하는 소수 바깥에 최대 아벨로 확장된 것이다.힐버트 클래스 필드는 사소한 계량 1에 대한 레이 클래스 필드가 된다.

좁은 계급장은 모든 무한 소수들로 구성된 계수에 대한 레이 클래스 영역이다.예를 들어 위의 인수는 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$( ${\displaystyle 3}$,${\displaystyle }$i${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathb {Q}({\sqrt{3},i)}$이(가) $Q{\displaystyle \mathbb{}}$( ${\displaystyle 3\sqrt{\mathrm{}}}$)${\displaystyle \mathb$ {$Q}({\sqrt{3})$의 좁은 클래스 필드임을 보여준다$$$.$

메모들

참조

• Childress, Nancy (2009), Class field theory, New York: Springer, doi:10.1007/978-0-387-72490-4, ISBN 978-0-387-72489-8, MR 2462595
• Furtwängler, Philipp (1906), "Allgemeiner Existenzbeweis für den Klassenkörper eines beliebigen algebraischen Zahlkörpers", Mathematische Annalen, 63 (1): 1–37, doi:10.1007/BF01448421, JFM 37.0243.02, MR 1511392, retrieved 2009-08-21
• Hilbert, David (1902) [1898], "Über die Theorie der relativ-Abel'schen Zahlkörper", Acta Mathematica, 26 (1): 99–131, doi:10.1007/BF02415486
• J. S. Milne, Class Field 이론(Course notes http://www.jmilne.org/math/)에서 이용 가능한 코스 노트.특히 4페이지의 주석 소개 장을 참조하십시오.
• Silverman, Joseph H. (1994), Advanced topics in the arithmetic of elliptic curves, Graduate Texts in Mathematics, vol. 151, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94325-1
• Gras, Georges (2005), Class field theory: From theory to practice, New York: Springer

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