홉프 추측

수학에서 홉프 추측이란 하인츠 홉프에게 귀속된 미분 기하학 및 위상에서의 여러 추측문 중 하나를 가리킬 수 있다.

긍정적이거나 부정적으로 구부러진 리만 다지

호프 추측은 전세계 리만 기하학에서 공공연한 문제다.1931년부터 하인츠 홉프의 질문으로 거슬러 올라간다.현대식 공식은 다음과 같다.

양적인 단면 곡률의 콤팩트하고 고른 리만 다지관은 양의 오일러 특성을 가지고 있다. 음의 단면 곡률을 가진 컴팩트한 (2d)차원 리만 다지관은 부호${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$- 1) ${\displaystyle d^{}}$ ${\$의 오일러 특성이 있다$.$

표면의 경우, 이러한 진술은 가우스-보넷 정리로부터 따르게 된다.For four-dimensional manifolds, this follows from the finiteness of the fundamental group and Poincaré duality and Euler–Poincaré formula equating for 4-manifolds the Euler characteristic with ${\displaystyle b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+b_{4}}$ and Synge's theorem, assuring that the orientation cover는 간단히 연결되어 있어서 베티 $번호{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$1 = ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}3}$ = 0$${\$displaystyle b_{1}=b_{3}=0$ 4마니폴드의 경우 1955년 존 밀너(^[1]John Milnor)가 통지한 체르-가우스-보네트 정리에서도 그 진술이 따르게 된다.치수 6 이상의 다지관에 대해서는 추측이 개방되어 있다.로버트 게로치의 한 예는 $체르누스-가우스-보넷$ 통합이 > 에 대해 음수가 될 수 있다는 것을 $보여주었다$^[2]그러나 양의 곡률 케이스는 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2d}}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$R} $^{$2d$+1$}(Hopf) 또는 코디멘션에서 R ${\displaystyle {\mathrm{2d}}^{}}$+ ${\displaystyle 2^{}}$ ${\$개의 초경화 표면에 대해 유지되는 것으로 알려져 있다$.$^[3]충분히 꼬집힌 양의 곡률 다지관의 경우, 홉프 추측(양수 곡률 사례에서)은 구면 정리로부터 따르며, 이 정리 역시 홉프가 먼저 추측한 것이다.공격의 라인 중 하나는 대칭성이 더 높은 다지관을 찾는 것이다.예를 들어, 알려진 모든 양의 단면 곡률 다지관은 등축 원 작용을 허용한다.해당 벡터장을 킬링벡터장이라고 한다.치수 $4{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle k}$+ $[\displaystyle 4k+2}$ 또는$$ ${\displaystyle 4}$ k${\displaystyle }$+ $[\displaystyle 4k+4]$의 다지관과 k-차원 토러스 작용을 인정하는$$ 다지관 M에 대해서도 추정(긍정 곡률 사례)이 입증되었다.$k{\displaystyle }$-${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{순위}-}$ ${\displaystyle G}$ - ${\displaystyle \mathrm{순위}}$rank ${\displaystyle H}$ )${\displaystyle \le }$ 5${\displaystyle k-(\operatorname {rank} G-\\operatorname {rank} H)\leq 5.}$ 대칭이 어느 정도 있는 다지관에 대한 참조는$$ 다음과 같다.

문제의 역사에 관하여: 그 추측의 첫 번째 명시적 출현은 대화에 근거한 논문인 ^[6]독일수학회의 진행에 있다. 하인츠 홉프는 1931년 봄 스위스 프리부르르에서, 그리고 1931년 가을 배드 엘스터에서 주었다.마르셀 버거는 자신의 책에서 추측에 대해 논하고,^[7] 그러한 유형의 질문에 영향을 받은 1920년대 홉프의 작품을 가리킨다.이러한 추측들은 1982년의 ``야우 문제"에서 문제 8(양수 곡률 사례)과 10(음수 곡률 사례"로 열거되어 있다.^[8]

부정적이거나 잠재적으로 구부러진 리만 다지관

곡률도 0이 될 수 있는지 아날로그 추측이 있다.이 성명은 여전히 홉프(예를 들어 1953년 이탈리아에서 한 강연에서)에게 귀속되어야 한다.^[9]

음이 아닌 단면 곡률의 콤팩트하고 고른 리만 다지관은 음이 아닌 오일러 특성을 가지고 있다.비양성 단면 곡률의 콤팩트한(2d)차원 리만 다지관은 부호${\displaystyle }$(${\displaystyle }$-${\displaystyle {}^{}1}$ ) ${\displaystyle d^{}}$ ${\$ 스타일$(-1)^{d}$ 또는$$ 0의 오일러 특성을 갖는다.

이 버전은 질문 1과 같은 것으로 논문이나 체른의 논문에서 언급되었다.^[11]

An example for which the conjecture is confirmed is for the product ${\displaystyle M=M_{1}\times M_{2}\times \cdots \times M_{d}}$ of 2-dimensional manifolds with curvature sign ${\displaystyle e_{k}\in \{-1,0,1\}}$. As the Euler characteristic satisfies ${\displaystyle \chi (M)=\prod _k^{}}$는=1def{\displaystyle \prod_{k=1}^{d}e_{k}}그 간판 추측 그런 경우에는(만약 ek>0{\displaystyle e_{k}>0}일 경우 모든 k에 χ(M)을 확인 기호 ∏ k가 있=1dχ(Mkm그리고 4.9초 만){\displaystyle\chi(M)=\prod_{k=1}^{d}\chi(M_{k})};0{\displaystyle \chi(M)>0}고. ekm그리고 4.9초 만${\displaystyle e_{k}<0}$ for all k, then ${\displaystyle \chi (M)>0}$ for even d and ${\displaystyle \chi (M)<0}$ for odd d, and if one of the ${\displaystyle e_{k}}$ is zero, then ${\displaystyle \chi (M)=0}$).

도수 1의 자기맵시

Hopf는 1도 방향 폐쇄 다지관의 모든 연속 자기 지도가 반드시 호모토피 동등성인지 물었다.^[12]

도표 1의$$ $지도{\displaystyle }$f :${\displaystyle M}$ → M ${\displaystyle$f\$colon$ M$\to$ M$}$이(가) ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ 1$$${\displaystyle$$\pi$ _${1$에 대한 추출을 유도한다는 것을 쉽게 알 수 있으며, 그렇지 않다면 $도-1$의 가정과 모순된다$.$

이는 홉피안 집단에 대한 추측이 유지되고 있음을 $암시$하는데, 그 결과 f$∗{\$가 ${\$}의 이소형이기 때문에$$$$ 호모토피 동등성이라는 것을 알 수 있다.

그러나 일부 비호프 그룹들이 있다.

두 개의 구체의 산물에 대한 제품

홉프의 또 다른 유명한 질문은 홉프 제품 추측이다.

4-manifold $S{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$\mathb ${S} ^{2$}}번 \$mathb$ {S} $^}}}}$이(가) 양의 곡률을 가진 메트릭을 운반할$$ 수 있는가?

이 추측은 1968년부터 그로몰, 클링겐베르크, 마이어의 저서에서 대중화되었으며,^[13] 야우의 문제 목록에서 문제 1로 두드러지게 나타났다.^[8]신퉁야우는 거기서 흥미로운 새로운 관찰을 공식화했다.

엄격히 양의 곡률 측정기준을 인정하지 않는 비음극 단면 곡률의 콤팩트하고 단순하게 연결된 다지관의 예를 알지 못한다.

현재 4-sphere $S{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$과(와) 복잡한 투영 평면 C $P{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$개만이$$ 단순하게 연결된 4-manifolds로서, 양곡률의 지표를 인정하는 것으로 알려져 있다.볼프강 질러는 한때 이것이 전체 목록일 수도 있고 차원 5에서 양 곡률의 단순한 연결 5 매니폴드만이 5-sphere ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$라고 추측했다$.$^[14]물론 홉프 제품 추측을 풀면 야우 문제가 해결될 것이다.또한 S ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$과 C ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$만이 간단히 연결된 양의 곡률 4-manifolds가 Hopf 제품 추측을 해결할 수 있다는 Ziller 추측도 있다.케이스 $S{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$2$\}\}$ : 제품 메트릭스 근방에 양의 곡률 메트릭이 없다는 것을 장피에르 부르구뇽의 연구에서 알 수 있다.^[15]그것은 또한 앨런 웨인스타인이 미터 법 S2에 S2× 주어진다{\displaystyle \mathbb{S}^{2}\times}{S}^{2}\mathbb의 일에서 알려진 것은 긍정적인 곡선으로, 이 리만 다양체 R에 포함될 수 없는 존재하는 6{\displaystyle \mathbb{R}^{6}}.[16](에 이미에서 결과의 호프는.12포인트 전각.$R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$^{$5}$의 침구는 다지관이 구면이어야 하므로 불가능하다$$.)많은 예를 들어, 비 음의 단면 곡률을 가진 다지관에 대한 일반적인 참조는 다음과 같다.^[18]이와 관련된 추측으로는 다음과 같다.

한 순위보다 큰 작은 대칭 공간은 양의 단면 곡률의 리만 메트릭스를 포함할 수 없다.

이는 $또한{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ S ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$\mathb ${S} ^{2$}}회 \$mathb$ {S} ^} $^}$은(는) 양의 단면 곡률을 가진 리만 메트릭을 허용하지 않음을 의미할 수 있다.그래서 지금까지의 증거와 작업을 볼 때, 홉프 질문은 "${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$× ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$라는 문장으로 답될 가능성이 가장 높은 것으로 보인다. 왜냐하면 지금까지는 부르구뇽의 이론(제품 근처에서의 난동 결과)이 있었기 때문이다.미터법), 호프(코디멘션 1) 와인스타인(코디멘션 2)은 물론 고정된 양의 곡률 지표를 제외한 구체 정리가 이 결과를 가리킨다.$S{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$\mathb ${S} ^{2$}}번$\mathb$ {S} ^}에 양의 곡률 메트릭을 구성하는 것은 확실히 글로벌 미분 기하학에서는 놀라운 일이겠지만$$, 그러한 메트릭이 존재한다는 사실은 아직 배제되지 않고 있다.

마지막으로, 왜 홉프 제품 추측과 같은 특별한 경우에 관심이 있는지 물어볼 수 있다.홉프 자신도 물리학의 문제들에 의해 동기부여가 되었다.1920년대 중반 홉프가 활동을 시작했을 때 상대성 이론은 10년밖에 되지 않았고, 특히 우주론에서 그러한 다지체가 우주의 모델로 나타나는 것과 같이 미분 기하학, 특히 4마니폴드의 글로벌 구조에서 많은 관심을 불러일으켰다.

비구체 다지관에 대한 Thurston 추측(Hopf의 추측 확장)

홉프 부호 추측과 관련이 있지만 리만 기하학을 전혀 언급하지 않는 추측이 있다.비구상 다지관은 모든 상위 호모토피 그룹이 사라지는 연결된 다지관이다.그러면 오일러 특성은 리만 기하학에서 만족하기 위해 음극 곡선 다지관이 추측되는 것과 동일한 조건을 만족해야 한다.

M이^2k 균등 치수의 폐쇄적이고 비구체적인 다지관이라고 가정하자.그런 다음 오일러 특성은 불평등${\displaystyle (}$ -${\displaystyle {}^{}1}$ ) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle {M\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$k )${\displaystyle 0}$ 0${\displaystyle \mathrm{.}}$ ${\displaystyle(-1)^{k}\chi (M^{2k})\geq$ 0$.}$을(를) 만족한다.

부드러운 리만 다지관에는 동형체가 아닌 비구형 다지관이 있고, 음의 단면 곡률도 있는 리만 다지관도 있기 때문에 리만 사건과 직접적인 관계가 있을 수는 없다.

이 위상학적 버전의 홉프 추측은 윌리엄 서스턴 때문이다.루스 차니와 마이클 데이비스는 같은 불평등이 비확률적으로 곡선이 있는 유클리드(PE) 다지관에 있다고 추측했다.

(연관되지 않음:) 공차 포인트가 없는 리만 메트릭스

관계없는 수학자 에버하르트 홉프와 하인츠 홉프의 동시대가 지리학적 흐름과 같은 주제에 대해 작업하면서 ``홉프 추측"이라는 말에 약간의 혼란이 있었다.(에버하르트 홉프와 하인츠 홉프는 서로 무관하며 두 사람 모두 에르하르트 슈미트의 학생이었어도 결코 만나지 못했을 것이다.)2-토러스 $T{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$^{$2}}$에 결합점이 없으면$$ 평탄해야 한다는 Eberhard Hopf의 정리가 있다(가우스 곡률은 도처에 0이다).^[19]에버하르트 홉프의 정리는 1년 전부터 마스턴 모스와 구스타프 헤들룬드(모스의 박사과정 학생)의 정리를 일반화했다.^[20]이것을 더 높은 차원으로 일반화하는 문제는 한동안 호프 추측으로도 알려져 있었다.어쨌든, 이것은 이제 하나의 정리: n차원 토러스 위에 결합점이 없는 리만 측정법은 평평하다.^[21]

참조