홉피안 물체

Hopfian object

범주론이라 불리는 수학의 가지에서 홉피안 물체는 물체 A이므로 A에 대한 A의 어떤 인식론은 반드시 자동형이다.이중 개념은 코홉피안 사물의 개념인데, 이것은 B에서 B로 가는 모든 단형주의는 반드시 자동형이다.이 두 조건은 그룹, 링, 모듈, 위상 공간의 범주에서 연구되었다.

홉피안(hopfian)과 홉피안(coopfian)이라는 용어는 1960년대부터 생겨났으며, 하인츠 홉피안(Heinz Hopf)과 홉피안(hopfian) 집단의 개념을 표면의 근본 집단에 대한 작품에 사용한 것을 기리는 것이라고 한다.(Hazewinkel 2001, 페이지 63)

특성.

두 조건 모두 범주의 정밀도 조건 유형으로 볼 수 있다.예를 들어 선택의 공리와 세트 범주에 작용하는 제르멜로-프라엔켈 세트 이론을 가정하면, 홉피안 및 코홉피안 개체는 정확히 유한 세트다.이로부터 모든 유한 그룹, 유한 모듈 및 유한 링은 그 범주에서 홉피안 및 코홉피안임을 쉽게 알 수 있다.

홉피안 물체와 홉피안 물체는 투영 물체 및 주입 물체와 기본적인 상호작용을 한다.두 가지 결과는 다음과 같다.

  • 주입식 홉피안 물체는 홉피안이다.
  • 투영적인 코홉피안 물체는 홉피안이다.

첫 번째 진술에 대한 증거는 짧다: A를 주입형 홉피안 물체가 되게 하고, f를 A에서 A로 주입형 형태론이 되게 한다.주입성에 의해, a의 Identity map I을A 통한 f 인자로, gf=I와A 같은 형태론 g를 산출한다.결과적으로 g는 허탈적 형태론이고 따라서 자동형이며, 그 다음 f는 반드시 g에 대한 역자동형이다.이 증거는 두 번째 진술을 증명하기 위해 이중화될 수 있다.

홉피안 및 홉피안 그룹

주 기사: 홉피안 그룹

홉피안 및 홉피안 모듈

여기 모듈 범주의 몇 가지 기본적인 결과가 있다.특히R R이 모듈로서 홉피안이나 홉피안이 되는 것은 R이 홉피안이나 홉피안이 되는 것과 반지로서의 홉피안이나 홉피안이 되는 것과는 다르다는 것을 기억하는 것이 중요하다.

  • 노메테리아 모듈은 홉피안이고 아르티니아 모듈은 홉피안이다.
  • RR 모듈은 R이 직접 유한한 링인 경우에만 홉피안이다.대칭적으로 이 두 가지는 또한 모듈 R이 홉파이언인 것과 동등하다.
  • 위의 것과 대조적으로, 모듈 RR 또는 R은 어떤 조합에서도 코호프식일 수도 있고 그렇지 않을 수도 있다.한쪽에는 있지만 다른 한쪽에는 없는 반지 코홉피안의 예가 제시되었다(Varadarajan 1992).그러나 이 두 모듈 중 어느 한 모듈이라도 코호프시안이라면 R은 양쪽(R은 왼쪽 또는 오른쪽 모듈로서 투영적이기 때문에) 모두 홉파이언이며 직접적으로 유한하다.

홉피안 및 홉피안 반지

링의 카테고리에 있는 상황은 모듈의 카테고리와는 사뭇 다르다.단결을 가진 고리의 범주에 있는 형태는 정체성을 보존하기 위해서, 즉 1대 1로 전송하기 위해서 필요하다.

  • R이 이상에서 상승 체인 조건을 만족한다면 R은 홉피안이다.이것은 노메테리아 모듈들에 대한 사실과 유사하게 증명될 수 있다.그러나 만약 f가 정체성을 보존하는 R에서 R까지의 고리 동형상이고, f의 이미지가 R이 아니라면, 그 이미지는 확실히 R의 이상은 아니기 때문에 "코호프안"의 상대적 생각은 존재하지 않는다.어쨌든 이것은 편면적인 노에테리아나 아르티니아 반지가 항상 홉피안이라는 것을 보여준다.
  • 어떤 단순한 반지라도 홉피안인데, 어떤 내형성의 알맹이가 이상적이기 때문에, 그것은 단순한 고리에서는 반드시 0이다.이와는 대조적으로 (바라다라얀 1992년)에서는 비협조적 분야의 예를 들었다.
  • 계수 가능한 치수 벡터 공간의 완전 선형 링 EndD(V)는 홉피안 링으로, 3개의 이상만 가지고 있을 뿐 직접 유한하지는 않기 때문에 모듈로서 홉피안 링이 아니다.논문(Varadarajan 1992년)은 모듈로서 코호프안이 아닌 코호프 반지의 예를 제시하기도 한다.
  • 또한 (Varadarajan 1992)에서는 부울 링 R과 연관된 스톤 스페이스 X의 경우, X가 위상학적 공간의 범주에서 코홉피안인 경우에만 링의 범주에 R이 홉피안이고, X가 위상학적 공간으로서 홉피안인 경우에만 R이 링으로서의 홉피안인 것으로 나타난다.

홉피안 및 홉피안 위상학적 공간

  • (Varadarajan 1992년)에는 콤팩트 매니폴드에 대한 일련의 결과가 포함된다.첫째로, 홉피안인 유일한 콤팩트 다지관은 유한한 이산 공간이다.둘째로, 경계가 없는 콤팩트한 다지관은 항상 코홉피안이다.마지막으로 경계가 비어 있지 않은 콤팩트한 다지관은 코홉피안이 아니다.

참조

  • Baumslag, Gilbert (1963), "Hopficity and abelian groups", Topics in Abelian Groups (Proc. Sympos., New Mexico State Univ., 1962), Chicago, Ill.: Scott, Foresman and Co., pp. 331–335, MR 0169896
  • Hazewinkel, M., ed. (2001), Encyclopaedia of mathematics. Supplement. Vol. III, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, pp. viii+557, ISBN 1-4020-0198-3, MR 1935796
  • Varadarajan, K. (1992), "Hopfian and co-Hopfian objects", Publicacions Matemàtiques, 36 (1): 293–317, doi:10.5565/PUBLMAT_36192_21, ISSN 0214-1493, MR 1179618
  • Varadarajan, K. (2001), "Some recent results on Hopficity, co-Hopficity and related properties", International Symposium on Ring Theory, Trends Math., Birkhäuser Boston, pp. 371–392, MR 1851216

외부 링크