오비폴트 표기법

기하학에서 오비폴드 표기법(또는 오비폴드 기호)은 수학자 윌리엄 서스턴이 발명하고 존 콘웨이가 추진한 일정한 곡률의 2차원 공간에서 대칭 그룹의 유형을 나타내기 위한 체계다. 이 표기법의 장점은 이러한 집단을 많은 집단의 성질을 나타내는 방식으로 기술한다는 것이다. 특히, 고려 중인 집단이 유클리드 공간의 몫을 취함으로써 얻은 오비폴드를 기술할 때 윌리엄 서스턴을 따른다.

이 표기법에서 나타낼 수 있는 그룹에는 구의 점 그룹(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ S$^{2$}}$$),$$ 유클리드 평면의 프리제 그룹 및 벽지 그룹(${\displaystyle {E\mathrm{}}^{}}$ 2$${\$displaystyle E$^{2}}$$), $$쌍곡면의 유사점(${\displaystyle {H\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ H$^{2}})$이 포함된다.$$

표기법 정의

다음 유형의 유클리드 변환은 오비폴드 표기법으로 기술된 그룹에서 발생할 수 있다.

• 선(또는 평면)을 통한 반사
• 벡터에 의한 번역
• 점 주위의 유한 질서의 회전
• 3공간의 선 주위의 무한 회전
• 글라이드 반성, 즉 번역에 따른 반성이 뒤따른다.

발생하는 모든 번역은 설명되고 있는 그룹 대칭의 개별적인 부분군을 형성하는 것으로 가정한다.

각 그룹은 다음과 같은 기호로 구성된 유한한 문자열로 오비폴드 표기법으로 표시된다.

• 양의 정수 $1{\displaystyle \mathrm{}}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 3}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle$1$,$2$,3,\cHB }$
• 무한 기호, $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \infit }$
• 별표, *
• 기호 o(구문서에 있는 고체 원)는 토러스(1-920) 닫힌 표면을 표상학적으로 나타내기 때문에 원더(wonder)라고도 하고 손잡이라고도 한다. 패턴은 두 번 번역하면 반복된다.
• 기호 $\times {\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }($기존 문서에서는 열린 원)을 기적이라고 하며, 거울 선을 넘지 않고 거울 이미지로 패턴이 반복되는 위상학적 크로스캡을 나타낸다.

굵은 글씨로 쓴 문자열은 유클리드 3공간의 대칭 집단을 나타낸다. 굵은 글씨로 쓰지 않은 문자열은 유클리드 평면의 대칭 집단을 나타내며, 이 집단은 두 개의 독립적인 번역을 포함하는 것으로 가정한다.

각 기호는 구별되는 변환에 해당한다.

• 별표의 왼쪽에 있는 정수 n은 계량점 주위의 n 순서의 회전을 나타낸다.
• 별표의 오른쪽에 있는 정수 n은 칼리디스코픽 포인트를 중심으로 회전하고 선(또는 평면)을 통해 반사하는 순서 2n의 변형을 나타낸다.
• $×[\displaystyle \cHB }$은(는) 활공 반사를 나타낸다$$.
• 기호 $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \infit }$은 선 주위의 무한 회전 대칭을 나타내며$$, 굵은 얼굴 그룹에서만 발생할 수 있다. 언어의 남용으로, 우리는 그러한 집단이 하나의 독자적인 번역만을 가진 유클리드 평면의 대칭의 부분군이라고 말할지도 모른다. 프리제 그룹은 이런 방식으로 일어난다.
• 예외 기호 o는 정확히 두 개의 선형 독립 번역이 있음을 나타낸다.

굿 오비폴즈

오비폴드 기호는 p, pq, *p, *pq, pq, p의 경우 q, q ≥ 2, p ≠ q 중 하나가 아니면 good라고 한다.

치례와 무정

어떤 물체는 그것의 대칭 그룹에 반사가 없으면 치랄이고, 그렇지 않으면 아킬라라고 불린다. 해당 오비폴드는 치랄 케이스에서 방향을 잡을 수 있고 그렇지 않으면 방향을 잡을 수 없다.

오일러 특성과 순서

오비폴드의 오일러 특성은 콘웨이 기호에서 다음과 같이 읽을 수 있다. 각 형상에는 다음 값이 있다.

• n 별표 미포함 또는 그 이전은 $n{\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\$로 계산됨
• n 별표가 $n{\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{2n}}{}}$ ${\$로 계산된 후
• 별표 및 $\times {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cHB$ }을$($를) 1로 계산하십시오$$
• o를 2로 세다.

이 값들의 합을 2에서 빼면 오일러 특성이 나타난다.

형상값의 합이 2인 경우 순서는 무한하다. 즉, 표기법은 벽지 그룹이나 프리제 그룹을 나타낸다. 실제로 콘웨이의 '마법의 정리'는 17개의 벽지 집단이 정확히 형상값의 합계가 2와 같은 집단이라는 것을 나타낸다. 그렇지 않으면 순서 2를 오일러 특성으로 나눈다.

동일군

다음 그룹은 이형이다.

• 1* 및 *11
• 22, 221
• *22 및 *192
• 2*와 2*1.

1배 회전은 '빈' 회전이기 때문이다.

2차원 그룹

번역 대칭이 없는 2D 개체의 대칭은 대칭을 추가하거나 상하지 않는 물체에 제3차원을 추가하여 3D 대칭형으로 설명할 수 있다. 예를 들어, 2D 영상의 경우, 우리는 한쪽에 그 이미지가 표시된 상자 조각을 고려할 수 있다; 상자의 모양은 대칭을 손상시키지 않도록 또는 무한하다고 상상할 수 있다. 따라서 n•와 *n•가 있다. 탄환(•)은 1차원 및 2차원 그룹에 추가되어 고정점의 존재를 암시한다. (3차원에서는 이러한 집단이 n-폴드 디지오비폴드로 존재하며 nn과 *nn으로 표현된다.)

마찬가지로 1D 영상은 상자 위에 가로로 그릴 수 있으며, 이미지 아래에 가로 막대를 그려서 이미지 라인에 대한 추가적인 대칭을 방지할 수 있다. 따라서 한 차원에서는 이산대칭군이 *•, *1•, ∞•, *∞•이다.

대칭을 설명하기 위해 1D 또는 2D 개체로부터 3D 개체를 구성하는 또 다른 방법은 개체의 카르테시안 제품과 비대칭 2D 또는 1D 개체를 각각 가져가는 것이다.

대응 표

구면

반사 3D 포인트 그룹의 기본 영역

(*11), C1v = Cs	(*22), C2v	(*33), C3v	(*44), C4v	(*55), C5v	(*66), C6v
주문2길	주문4길	순서 6	주문 8	주문 10	순서 12
(*221), D1h = C2v	(*222), D2h	(*223), D3h	(*224), D4h	(*225), D5h	(*226), D6h
주문4길	주문 8	순서 12	순서 16	주문 20	주문24
(*332), Td		(*432), Oh		(*532), Ih
주문24		주문로48번길		주문로120번길

구형대칭군^[1]

오비폴드 서명하다	콕시터	쇤플라이스	헤르만-마우긴	주문
다면군
*532	[3,5]	Ih	53m	120
532	[3,5]+	I	532	60
*432	[3,4]	Oh	m3m	48
432	[3,4]+	O	432	24
*332	[3,3]	Td	43m	24
3*2	[3+,4]	Th	m3	24
332	[3,3]+	T	23	12
dihedral 및 순환 그룹: n = 3, 4, 5 ...
*22n	[2,n]	Dnh	n/m2 또는 2nm2	4n
2*n	[2+,2n]	Dnd	2n2m 또는 nm	4n
22n	[2,n]+	Dn	n2	2n
*nn	[n]	Cnv	nm	2n
n*	[n+,2]	Cnh	n/m 또는 2n	2n
n×	[2+,2n+]	S2n	2n 또는 n	2n
nn	[n]+	Cn	n	n
특례
*222	[2,2]	D2h	2/102 또는 22㎡	8
2*2	[2+,4]	D2d	222m 또는 2m	8
222	[2,2]+	D2	22	4
*22	[2]	C2v	2m	4
2*	[2+,2]	C2h	2/m 또는 22	4
2×	[2+,4+]	S4	22나 2	4
22	[2]+	C2	2	2
*22	[1,2]	D1h = C2v	1/2 또는 21㎡	4
2*	[2+,2]	D1d = C2h	212m 또는 1m	4
22	[1,2]+	D1 = C2	12	2
*1	[ ]	C1v = Cs	1m	2
1*	[2,1+]	C1h = Cs	1/m 또는 21	2
1×	[2+,2+]	S2 = Ci	21 또는 1	2
1	[ ]+	C1	1	1

유클리드 평면

프리제 그룹

프리제 그룹

IUC	콕스.	쇤.*	다이어그램,§ 오비폴드	예제 및 콘웨이 별명[2]	설명
p1	[∞]+	C∞ Z∞	∞∞	F F F F F F F F F F F F F 깡충깡충 뛰다	(T) 번역 전용: 이 그룹은 패턴이 주기적인 가장 작은 거리에 의한 번역에 의해 단독으로 생성된다.
p11g	[∞+,2+]	S∞ Z∞	∞×	γ L γ L γ L l L l L 스텝을 밟다	(TG) 글라이드-반향 및 변환: 이 그룹은 글라이드 반사에 의해 단독으로 생성되며, 두 글라이드 반사를 결합하여 번역을 얻는다.
p1m1	[∞]	C∞v 디흐∞	*∞∞	Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ 몸을 옆으로 비키다	(TV) 수직 반사선 및 번역: 그룹은 1차원 사례에서 비교집단과 같다; 그것은 번역과 수직 축의 반사에 의해 생성된다.
p2	[∞,2]+	D∞ 디흐∞	22∞	S S S S S S S S S 회전 깡충깡충 뛰기	(TR) 변환 및 180° 회전: 그룹은 번역과 180° 회전으로 생성된다.
p2mg	[∞,2+]	D∞d 디흐∞	2*∞	V λ V λ V λ V λ V λ V λ 빙글빙글 도는 옆구리	(TRVG) 수직 반사선, 글라이드 반사, 변환 및 180° 회전: 여기서의 번역은 글라이드 반사에서 발생하므로 이 그룹은 글라이드 반사 및 회전 또는 수직 반사에 의해 생성된다.
p11m	[∞+,2]	C∞h Z∞×Dih1	∞*	B B B B B B B B B B B 펄쩍 뛰다	(THG) 변환, 수평 반사, 글라이드 반사: 이 그룹은 번역과 수평 축의 반사에 의해 생성된다. 여기서 글라이드 반사는 번역과 수평 반사의 구성으로 발생한다.
p2mm	[∞,2]	D∞h 디흐∞×디흐1	*22∞	H H H H H H H H H H H H H H 회전 점프	(TRHVG) 수평 및 수직 반사선, 변환 및 180° 회전: 이 그룹에는 세 개의 발전기가 필요하며, 한 개의 발전 세트는 번역, 수평 축의 반사 및 수직 축에 걸친 반사로 구성된다.

^*쇤파리의 점군 표기법은 등가 이음매 점 대칭의 무한 사례로 여기서 확장된다.

^§도표는 노란색으로 된 하나의 기본 도메인을 보여주는데, 반사선은 파란색으로, 활공 반사선은 파선 녹색으로, 변환 노멀은 빨간색으로, 그리고 2배는 작은 녹색 사각형으로 표시한다.

배경화면 그룹

유클리드 반사 그룹의 기본 영역

(*442), p4m	(4*2), p4g
(*333), p3m	(632), p6

벽지 17개 그룹^[3]

오비폴드 서명하다	콕시터	헤르만- 마우긴	스피저 나이글리	폴리아 구겐힌	페제스 토스 캐드웰
*632	[6,3]	p6m	C(I)6v	D6	W16
632	[6,3]+	p6	C(I)6	C6	W6
*442	[4,4]	p4m	C(I)4	D*4	W14
4*2	[4+,4]	p4g	CII4v	Do4	W24
442	[4,4]+	p4	C(I)4	C4	W4
*333	[3[3]]	p3m1	CII3v	D*3	W13
3*3	[3+,6]	p31m	CI3v	Do3	W23
333	[3[3]]+	p3	CI3	C3	W3
*2222	[∞,2,∞]	pmm	CI2v	Dkk2.	W22
2*22	[∞,2+,∞]	cmm	CIV2v	Dkg2	W12
22*	[(∞,2)+,∞]	pmg	CIII2v	Dkgg2.	W32
22×	[∞+,2+,∞+]	들먹이다	CII2v	드그그2	W42
2222	[∞,2,∞]+	p2	C(I)2	C2	W2
**	[∞+,2,∞]	pm	CIs	D1kk	W21
*×	[∞+,2+,∞]	cm	CIIIs	D1kg	W11
××	[∞+,(2,∞)+]	pg	CII2	D1gg	W31
o	[∞+,2,∞+]	p1	C(I)1	C1	W1

쌍곡면

기본 도메인 삼각형의 푸앵카레 디스크 모델

오른쪽 삼각형 예(*2pq)
*237	*238	*239	*23∞
*245	*246	*247	*248	*∞42
*255	*256	*257	*266	*2∞∞
일반 삼각형(*pqr) 예제
*334	*335	*336	*337	*33∞
*344	*366	*3∞∞	*63	*∞3
상위 폴리곤 예(*pqrs...)
*2223	*(23)2	*(24)2	*34	*44
*25	*26	*27	*28
*222∞	*(2∞)2	*∞4	*2∞	*∞∞

오일러 특성에 따라 정렬된 처음 몇 개의 쌍곡선 그룹은 다음과 같다.

쌍곡선 대칭군^[4]

−1/χ	오비폴즈	콕시터
84	*237	[7,3]
48	*238	[8,3]
42	237	[7,3]+
40	*245	[5,4]
36–26.4	*239, *2 3 10	[9,3], [10,3]
26.4	*2 3 11	[11,3]
24	*2 3 12, *246, *334, 3*4, 238	[12,3], [6,4], [(4,3,3)], [3+,8], [8,3]+
22.3–21	*2 3 13, *2 3 14	[13,3], [14,3]
20	*2 3 15, *255, 5*2, 245	[15,3], [5,5], [5+,4], [5,4]+
19.2	*2 3 16	[16,3]
18+2⁄3	*247	[7,4]
18	*2 3 18, 239	[18,3], [9,3]+
17.5–16.2	*2 3 19, *2 3 20, *2 3 21, *2 3 22, *2 3 23	[19,3], [20,3], [20,3], [21,3], [22,3], [23,3]
16	*2 3 24, *248	[24,3], [8,4]
15	*2 3 30, *256, *335, 3*5, 2 3 10	[30,3], [6,5], [(5,3,3)], [3+,10], [10,3]+
14+2⁄5–13+1⁄3	*2 3 36 ... *2 3 70, *249, *2 4 10	[36,3] ... [60,3], [9,4], [10,4]
13+1⁄5	*2 3 66, 2 3 11	[66,3], [11,3]+
12+8⁄11	*2 3 105, *257	[105,3], [7,5]
12+4⁄7	*2 3 132, *2 4 11 ...	[132,3], [11,4], ...
12	*23∞, *2 4 12, *266, 6*2, *336, 3*6, *344, 4*3, *2223, 2*23, 2 3 12, 246, 334	[∞,3] [12,4], [6,6], [6+,4], [(6,3,3)], [3+,12], [(4,4,3)], [4+,6], [∞,3,∞], [12,3]+, [6,4]+ [(4,3,3)]+
...

참고 항목

• 오비폴드의 돌연변이
• Fibrifold 표기법 - 3D 공간 그룹에 대한 Orbifold 표기법의 확장

참조

• 존 H. 콘웨이, 올라프 델가도 프리드리히스, 다니엘 H. Huson, William P. 서스턴. 3차원 Orbifolds와 Space Groups에서. 대수학 및 기하학에 대한 기여, 42(2):475-507, 2001.
• J. H. 콘웨이, D. H. Huson. 2차원 그룹에 대한 Orbifold 표기법. 구조 화학, 13 (3-4): 2002년 8월 247–257.
• J. H. 콘웨이(1992년). "표면 그룹에 대한 Orbifold 표기법". 인: M. W. 리벡과 J. 색슬(eds), 그룹, 콤비네토릭스와 기하학, L.M.S. 더럼 심포지엄, 1990년 7월 5일-15일 영국 더럼, 런던 수학. Soc. 강의 노트 시리즈 165. 케임브리지 대학 출판부, 페이지 438-447
• 존 H. 콘웨이, 하이디 버기엘, 차임 굿맨-스트라우스, 2008년 사물의 대칭, ISBN978-1-56881-220-5
• Hughes, Sam (2019), Cohomology of Fuchsian Groups and Non-Euclidean Crystallographic Groups, arXiv:1910.00519, Bibcode:2019arXiv191000519H

외부 링크

• 오비폴드에 대한 현장 안내서 (1991년 6월 17~28일 미니애폴리스에서 존 콘웨이, 피터 도일, 제인 길만, 빌 서스턴과 함께한 "지오메트리 및 상상력"에 관한 강의의 노트. PDF, 2006 참조)
• 평면, 구체 및 쌍곡면의 2차원 기울기를 시각화하고 대칭 그룹을 궤도 표기법으로 편집하는 Tegula 소프트웨어