하이퍼사이클(기하학)

Hypercycle (geometry)
직선 L(직각으로 수평을 절단하기 때문에 직선이라고 함)과 점 P에 의해 결정되는 하이퍼 사이클 HC를 나타내는 Poincaré 디스크

쌍곡선 기하학에서, 하이퍼사이클, 하이퍼원 또는 등거리 곡선은 점들이 주어진 직선(축)으로부터 같은 직교 거리를 갖는 곡선이다.

직선 L과 L에 없는 점 P가 주어졌을 때, L에 대한 수직 거리를 P와 동일하게 하고, L에 대한 모든 점 Q를 P와 같은 쪽으로 취함으로써 하이퍼 사이클을 구축할 수 있다.L선은 하이퍼사이클의 축, 중심 또는 베이스라인이라고 불립니다.하이퍼사이클에 수직인 L에 수직인 선을 하이퍼사이클의 정규선이라고 합니다.L과 하이퍼사이클 사이의 정규분할을 반지름이라고 합니다.그들의 공통 길이는 하이퍼사이클의 [1]거리 또는 반지름이라고 불립니다.

그 점을 통해 접선을 공유하는 주어진 점을 통과하는 하이퍼사이클은 거리가 무한대로 가면서 수평순환으로 수렴됩니다.

유클리드 선과 유사한 특성

쌍곡선 기하학의 하이퍼사이클은 유클리드 기하학의 선과 유사한 특성을 가집니다.

  • 평면에서는, 선과 그 위에 없는 점이 주어지면, 주어진 선의 하이퍼사이클은 하나밖에 없다(유클리드 기하학에 대한 Playfair의 공리와 비교).
  • 하이퍼사이클의 세 점은 원을 그리지 않는다.
  • 하이퍼사이클은 각 라인에 수직인 대칭이다(하이퍼사이클에 수직인 라인에 하이퍼사이클을 반사하면 동일한 하이퍼사이클이 된다).

유클리드 원과 유사한 특성

쌍곡선 기하학의 하이퍼사이클은 유클리드 기하학의 원과 유사한 특성을 가집니다.

  • 하이퍼사이클의 중간점에서 코드에 수직인 선은 반지름이며, 코드에 의해 소분된 아크를 이등분한다.
    AB를 화음으로 하고 M을 화음의 중간점으로 하자.
    대칭에 의해 AB에 수직인 R에서 M까지의 선은 축 L과 직교해야 한다.
    따라서 R은 반지름입니다.
    또한 대칭에 의해 R은 호 AB를 이등분합니다.
  • 하이퍼사이클의 축과 거리는 고유하게 결정됩니다.
    하이퍼사이클 C에 2개의 다른1 축 L과2 L이 있다고 가정합니다.
    다른 화음을 가진 이전 특성을 두 번 사용하여 두 개의 뚜렷한 반지름 R과12 R을 결정할 수 있습니다. 그러면1 R과2 R은 L과 L에2 모두1 수직이어야 하며 직사각형이 됩니다.쌍곡선 기하학에서는 직사각형이 불가능한 도형이기 때문에 이것은 모순이다.
  • 두 개의 하이퍼사이클은 일치하는 경우에만 동일한 거리를 가집니다.
    거리가 같으면 축이 강성운동에 의해 일치하도록 하면 모든 반지름이 일치합니다. 거리가 같기 때문에 두 하이퍼사이클의 지점도 일치합니다.
    반대로, 그것들이 일치할 경우, 거리는 이전 특성에 의해 동일해야 한다.
  • 직선은 하이퍼사이클을 최대 두 점까지 잘라냅니다.
    선 K가 A와 B의 두 지점에서 하이퍼사이클 C를 절단하도록 하자.이전과 같이 AB의 중간점 M을 통해 C의 반지름 R을 구성할 수 있습니다.K는 공통 수직 R을 가지기 때문에 축 L에 대해 초평행이 됩니다.또, 2개의 초평행선은, 수직으로부터 멀어질수록, 공통의 수직에서의 최소 거리 및 단조롭게 증가하는 거리를 가진다.
    즉, AB 내부의 K 점은 L로부터의 거리가 A와 B의 공통 거리보다 작은 반면 AB 외부의 K 점은 더 큰 거리입니다.결론적으로 K의 다른 점은 C에 있을 수 없다.
  • 두 개의 하이퍼 사이클이 최대 두 개의 점에서 교차합니다.
    C와2 C가 3개의 점 A, B, C에서 교차하는 하이퍼사이클이라고 하자1.
    R이 중간점을 통과하는 AB와 직교하는 선이라면1 C와 C의1 반지름임을2 알 수 있습니다.
    마찬가지로 BC의 중간점을 통과하는 반지름인 R을 구성합니다2.
    R1, R은2 각각 C, C의12 축1 L, L과2 동시에 직교한다.
    우리는1 이미2 L과 L이 일치해야 한다는 것을 증명했다(그렇지 않으면 직사각형이 된다).
    그러면1 C와2 C는 축이 같고 공통점이 하나 이상 있으므로 거리가 같고 일치합니다.
  • 하이퍼사이클의 어떤 세 지점도 동일선상에 있지 않다.
    하이퍼사이클의 점 A, B, C가 공선일 경우, 코드 AB와 코드 BC는 같은 라인 K 위에 있습니다.R과2 R을 AB와 BC의 중간점을 통과하는 반지름으로 하자1.우리는 하이퍼사이클의 축 L이 R과2 R의 공통1 수직이라는 것을 알고 있다.
    하지만 K는 그렇게 흔한 수직이다.그러면 거리가 0이어야 하고 하이퍼사이클은 일직선으로 퇴화됩니다.

기타 속성

  • 하이퍼사이클의 두 점 사이의 호 길이는 다음과 같습니다.
    • 두 점 사이의 선분 길이보다 길어야 합니다.
    • 두 점 사이의 두 호 중 하나의 호 길이보다 짧다.
    • 두 점 사이의 어떤 원호보다도 짧습니다.
  • 하이퍼사이클과 호로사이클은 최대 두 지점에서 교차한다.
  • sinh(2r) = 1인 반지름 r의 하이퍼사이클은 반전에 의해 쌍곡면의 준쌍곡선을 유도한다.(이러한 하이퍼사이클은 θ/4의 각도로 축과 만난다.) 구체적으로는 축의 개방 반평면 중 점 P가 P의 평행각을 보완하는 Pθ로 반전한다.이 준대칭성은 쌍곡 다양체의 연구를 용이하게 하는 고차원의 쌍곡 공간으로 일반화된다.분할 반전이라고 불리는 쌍곡면 원추형의 분류에 널리 사용됩니다.등각적이긴 하지만 분할 반전은 축을 평면의 경계와 교환하고 물론 등각법이 아니기 때문에 진정한 대칭은 아니다.

호의 길이

일정한 곡률 -1의 쌍곡면에서는 반경 r과 노멀이 축 d와 교차하는 점 사이의 거리로부터 l = d cosh [2]r이라는 공식으로 하이퍼사이클의 호 길이를 계산할 수 있다.

건설

쌍곡면의 Poincaré 디스크 모델에서 하이퍼사이클은 직각이 아닌 각도로 경계원과 교차하는 선과 원호로 표현된다.축의 표현은 동일한 점의 경계 원과 직각으로 교차합니다.

쌍곡면의 Poincaré 반평면 모델에서 하이퍼사이클은 직각이 아닌 각도로 경계선을 교차하는 선과 원호로 표현됩니다.축의 표현은 동일한 점에서 직각으로 경계선과 교차합니다.

레퍼런스

Poincaré 디스크 모델에서 교대 8각형 타일은 하이퍼사이클을 따르는 가장자리 시퀀스로 볼 수 있습니다.
  1. ^ Martin, George E. (1986). The foundations of geometry and the non-euclidean plane (1., corr. Springer ed.). New York: Springer-Verlag. p. 371. ISBN 3-540-90694-0.
  2. ^ Smogorzhevsky, A.S. (1982). Lobachevskian geometry. Moscow: Mir. p. 68.
  • 마틴 가드너, 비유클리드 기하학, W. W. Norton & Company, 2001, ISBN 978-0-393-02023-6, 거대한 수학책 4장
  • M. J. 그린버그, 유클리드 및 비유클리드 기하학: 개발과 역사, 제3판, W. H. Freeman, 1994.
  • George E. Martin, 기하학과 비유클리드 평면, Springer-Verlag, 1975.
  • J. G. Ratcliffe, 뉴욕, 스프링어, 쌍곡 다지관 재단, 1994.
  • 데이비드 C.로이스터, 뉴트럴, 비유클리드 기하학.
  • J. Sarli, 콜로네이션 그룹 J. Geam 고유의 쌍곡면 원뿔.103: 131-138 (2012)