푸앵카레 반평면 모형

In non-Euclidean geometry, the Poincaré half-plane model is the upper half-plane, denoted below as H ${\displaystyle \{(x,y) y>0;x,y\in \mathbb {R} \}}$ , together with a metric, the Poincaré metric, that makes it a model of two-dimensional hyperbolic geometry.

동등하게 푸앵카레 반평면 모델은 상상의 부분(위에서 언급된 y좌표)이 양수인 복잡한 평면으로 설명되기도 한다.

푸앵카레 반평면 모델은 앙리 푸앵카레의 이름을 따서 지었지만, 쌍곡 기하학이 유클리드 기하학과 동일하다는 것을 보여주기 위해 클라인 모델, 푸앵카레 디스크 모델과 함께 그것을 사용한 유제니오 벨트라미로부터 유래되었다.

이 모델은 한 지점에서 측정된 각도가 실제 쌍곡면에서의 각도와 동일하다는 것을 의미하는 등정이다.

Cayley 변환은 반평면 모델과 Poincaré 디스크 모델 사이에 등각도를 제공한다.

이 모델은 n차원 유클리드 벡터 공간에서 벡터로 실제 숫자 x를 대체함으로써 $n{\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n+1}$차원$$ 쌍곡선 공간을 모델링하기 위해 일반화할 수 있다.

미터법

반평면의 모델 , {is x , y> ${\displaystyle \{\langle x,y\$angle y>$0\}$은(는) 다음과 같다.

${\디스플레이 스타일(ds)^{2}={\frac {(dx)^{2}+(dy)^{2}}:{y^{2}}:}$

여기서 s는 (수평 곡선) 선을 따라 길이를 측정한다. 쌍곡선 평면의 직선(즉, 거리를 최소화하는 곡선)은 x축(원점이 x축에 있는 반원)에 직각인 원형 호와 x축에 직각인 직선 수직선에 의해 이 모델에 표현된다.

거리 계산

일반적으로 이러한 지오데틱을 따라 이 메트릭에서 측정한 두 지점 사이의 거리는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {dist} (\langle x_{1},y_{1}\rangle ,\langle x_{2},y_{2}\rangle )&=\operatorname {arcosh} \left(1+{\frac {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2}}{2y_{1}y_{2}}}\right)\\&=2\operatorname {arsinh} {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2}}{y_{1}y_{2}}}}\\&=2\ln {\frac {{\sqrt {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2}}}+{\sqrt {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}+y_{1})}^{2}}}}{2{\sqrt {y_{1}y_{2}}}}},\end{aligned}}}$

여기서 아르코쉬와 아르신(arsinh)은 역 쌍곡 함수다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} {x}&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right),\\\operatorname {arcosh} {x}&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&&x\geq 1.\end{aligned}}}$

다음과 같은 특수한 경우를 단순화할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {dist} (\langle x,y_{1}\rangle ,\langle x,y_{2}\rangle )=\left \ln {\frac {y_{2}}{y_{1}}}\right = \ln(y_{2})-\ln(y_{1}) }$.^[1]

${\displaystyle \operatorname {dist} \left(\langle x_{1},y\rangle ,\langle x_{2},y\rangle \right)=\operatorname {arcosh} \left(1+{\frac {(x_{2}-x_{1})^{2}}{2y^{2}}}\right)=2\operatorname {arsinh} \left({\frac { x_{2}-x_{1} }{2y}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {dist} (\langle x,r\rangle ,\langle x\pm r\sin \phi ,r\cos \phi \rangle )=\operatorname {arsinh} \left(\tan \phi \right)=\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\cos \phi }}\right)=\ln \left({\frac {1+\sin \phi }{\cos \phi }}\right)}$

(유클리드) 반원 위에 있는 두 점 사이의 거리를 계산하는 또 다른 방법은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {dist}(AB)=\왼쪽 \ln \left({\frac {BA_{\inflt }}AB_{\inflt }{\inflt }{\inflt }{\inflt}}{\right.)\}}$

$여기$서 A ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$ ${\${\$infit },B_{\infit }$은(는) 반원형이 경계선과 만나는 지점이며$$, P ${\displaystyle Q}${\$displaystyle PQ }$은 모델에서 포인트 P와 Q를 연결하는 선 세그먼트의 유클리드 길이입니다$$.

특수 점 및 곡선

• 푸앵카레 반평면 모델의 이상적인 포인트(인피니티 포인트)는 다음과 같은 두 가지 유형이다.

• X 축의 점 및
• $y{\displaystyle }$ = $∞${\$displaystyle y=\infit }$에 있는 하나의 가상 지점. 이 점은$$ x축에 직교하는 모든 선이 수렴하는 이상적인 지점이다.

• 직선, 지오데틱스(그 안에 포함된 점 사이의 최단 경로)는 다음 중 하나로 모델링된다.

• x축에 기원이 있는 반쪽짜리
• X축에 직교하는 직선 수직선

• 중심$({\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle(x,y)}$ 및$$ 반지름 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$이(가) 있는 원(중앙점에서 등거리)은 다음을 통해 모델링된다$$.

중심$({\displaystyle x}$, y ${\displaystyle \cosh }$ ${\displaystyle }$( r${\displaystyle }$)${\displaystyle (x,y\cosh(r)})$ 및$$ $반지름{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{ysinh}(}$ (${\displaystyle r}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle y\sinh(r)}$이 있는 원

• 하이퍼사이클(직선으로부터 등거리 곡선, 그 축)은 다음 중 하나에 의해 모델링된다.

• 축을 모형화하는 반추와 같은 이상적인 두 지점에서 x축을 교차하는 원형 호(급성 또는 둔각)
• 축을 모형화하는 수직선과 동일한 지점에서 급각 또는 둔각에서 x축을 교차하는 직선

• 호로시클(모든 정규들이 점증적으로 같은 방향, 그것의 중심에서 수렴되는 곡선)은 다음 중 하나에 의해 모델링된다.

• X 축에 접하는 원(단, 이상적인 교차점, 즉 중심점은 제외)
• x축과 평행한 선, 이 경우 중심은 $y{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ $[\displaystyle$ y$=\inforty }$의 이상적인 지점이다$.$

유클리드 시놉시스

중심$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$, ${\displaystyle y_{}}$ e${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle(x_{e},y_{e}})$ 및 $radius{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\$r_{$e}}$이(가) 있는 유클리드 원은 다음을$$ 나타낸다.

• 원이 완전히 반평면 안에 있을 때 중앙이 있는 쌍곡선

${\displaystyle \left(x_{e},{\sqrt {y_{e}^{2}-r_{e}^{2}}}\오른쪽)}$

및 반지름

${\displaystyle {\frac {1}{1}:{2}}\ln \leftd\fract\frac {y_{e}+r_{e}}}{y_{e}-r_{e}}\오른쪽).}$

• 원이 반평면에 완전히 들어가 경계선에 닿았을 때 이상적인 지점$({\displaystyle {}_{}{e}_{}}$ ,${\displaystyle 0}$ )을 중심으로 한 호로시클$(x_{e},0)$을 중심으로 한 호로시클이 닿았을 때
• 원과 직교하는${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$=${\displaystyle {}_{}}$0 ) {\$displaystyle(y_${e$}$
• 원과 직교하지 않고 경계를 교차할 때

나침반 및 직선 구조

모델에서 나침반과 직선 구조를 사용하여 쌍곡면에서의 기본 구성의 효과를 얻을 수 있는 방법은 다음과 같다.^[2] 예를 들어, 주어진 두 점을 통해 쌍곡면의 선을 모형화하는 유클리드 반평면에 반원을 구성하는 방법.

기존 점 두 개를 통해 선 작성

두 점 사이에 선 세그먼트를 그린다. 선 세그먼트의 수직 이등분선을 생성한다. X축과의 교차점을 찾으십시오. 주어진 점을 통과하는 교차로 주위에 원을 그린다. X축의 위나 아래에 있는 부분을 지운다.

또는 주어진 두 점이 수직선에 놓여 있는 특별한 경우, 두 점을 통해 그 수직선을 그리고 x축 위나 아래에 있는 부분을 지운다.

한 점을 통과하여 원을 만들고 다른 점을 가운데에 배치

• 두 점이 수직선에 있지 않은 경우:

앞의 경우와 같이 주어진 두 점 사이에 반지름 선(반원)을 그린다. 중심점이 아닌 점에 있는 선에 접선을 생성하십시오. 주어진 중심점에서 x축까지 수직으로 떨어트린다. 모형 원의 중심을 얻으려면 이 두 선의 교차점을 찾으십시오. 모델 원을 새로운 중심 주위에 그리고 주어진 중심점이 아닌 지점을 통과한다.

• 주어진 두 점이 수직선에 놓여 있고 주어진 중심이 주어진 다른 점 위에 있는 경우:

주어진 중심점을 통과하는 수직선과 x축의 교차점에 원을 그린다. 중심점이 아닌 지점을 통해 수평선을 그린다. 해당 수평선과 교차점에서 원과 접선을 구성한다.

수직선과 접선의 교차점과 주어진 중심점이 아닌 점 사이의 중간점은 모형 원의 중심이다. 모델 원을 새로운 중심 주위에 그리고 주어진 중심점이 아닌 지점을 통과한다.

• 주어진 두 점이 수직선에 놓여 있고 주어진 중심이 주어진 다른 점 아래에 있는 경우:

주어진 중심점을 통과하는 수직선과 x축의 교차점에 원을 그린다. 주어진 중심점이 아닌 점을 통과하는 원에 접하는 선을 그린다. 그 접선점을 통해 수평선을 그리고 수직선과 교차점을 찾는다.

이 교차점과 주어진 중심점이 아닌 지점 사이의 중간점은 모형 원의 중심이다. 모델 원을 새로운 중심 주위에 그리고 주어진 중심점이 아닌 지점을 통과한다.

원을 그리면 중심이 나온다.

원의 유클리드 중심에서 x축으로 수직 p를 떨어뜨린다.

점 q를 이 선과 x 축의 교차점이 되도록 한다.

q를 통과하는 원에 접하는 선을 그린다.

접선과 원이 만나는 지점을 통과하는 중앙 q로 반원 h를 그린다.

(하이퍼볼릭) 중심은 h와 p가 교차하는 지점이다.^[3]

기타 구성

• 두 개의 기존 선이 교차하는 경우 교차하는 점 작성:

주어진 두 개의 반원(또는 수직선)의 교차점을 찾는다.

• 선과 원의 교차점에 하나 또는 두 개의 점 작성( 교차하는 경우):

주어진 원과 주어진 반원(또는 수직선)의 교차점을 찾는다.

• 두 원의 교차점에 하나 또는 두 개의 점 작성( 교차하는 경우):

주어진 원 두 개의 교차점을 찾아라.

대칭군

투영 선형 그룹 PGL(2,C)은 뫼비우스 변환에 의해 리만 구에 작용한다. 상반면 H를 그 자체에 매핑하는 부분군은 PSL(2,R)이며, 실제 계수를 갖는 변환이며, 이러한 작용은 상반면에 전이적, 등축적으로 작용하여 균일한 공간이 된다.

상반면에 부분적인 선형 변환에 의해 작용하고 쌍곡선 거리를 보존하는 네 개의 밀접한 관계가 있는 Lie 그룹이 있다.

• 특수 선형 그룹 SL(2,R)은 결정 인수가 +1인 실제 입력을 가진 2×2 행렬 집합으로 구성된다. 많은 텍스트(위키피디아 포함)가 PSL(2,R)을 의미할 때 SL(2,R)이라고 말하는 경우가 많다는 점에 유의한다.
• 그룹 S*L(2,R)은 결정 요인이 +1 또는 -1인 실제 입력을 가진 2×2 행렬 집합으로 구성된다. SL(2,R)은 이 그룹의 하위 그룹이라는 점에 유의하십시오.
• 투영 특수 선형 그룹 PSL(2,R) = SL(2,R) modulo + ID 행렬의 행렬로 구성된 SL(2,R)/{±I}.
• 그룹 PSL^*(2,R) = SL^*(2,R)/{±I}=PGL(2,R)은 다시 투영 그룹이며, 다시 modulo + 또는 뺄셈 아이덴티티 매트릭스. PSL(2,R)는 인덱스 2 정상 서브그룹으로 포함되며, 다른 코세트는 결정 요소가 -1, modulo + 또는 뺄셈인 실제 입력을 가진 2×2 매트릭스 집합이다.

푸앵카레 모델에 대한 이들 그룹의 관계는 다음과 같다.

• 때때로 Isom(H)로 표시되는 H의 모든 등위계 그룹은 PSL^*(2,R)과 이형성이다. 여기에는 방향 보존과 방향 역전 등각도가 모두 포함된다. 방향 반전 지도(미러맵)는 $z{\displaystyle }$→${\displaystyle }$- ${\displaystyle z}$의$"{\$ 화살표 $-{\overline{z}}"$ 입니다$.$
• 방향 유지 등위계 그룹 H는 때때로 이솜⁺(H)으로 표시되며 PSL(2,R)과 이형이다.

이등분계 그룹의 중요한 하위 그룹은 푸치안 그룹이다.

모듈러 그룹 SL(2,Z)도 자주 본다. 이 그룹은 두 가지 면에서 중요하다. 첫째, 점의 정사각형 2x2 격자의 대칭군이다. 그러므로 모듈형 형태와 타원형 함수와 같이 사각 격자에서 주기적인 함수는 격자로부터 SL(2,Z) 대칭을 이어받을 것이다. 둘째, SL(2,Z)은 물론 SL(2,R)의 하위집단이기 때문에 쌍곡선 작용이 내재되어 있다. 특히 SL(2,Z)을 사용해 쌍곡면 테셀레이트를 균등(Poincaré) 면적의 셀로 만들 수 있다.

등축 대칭

$H{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대한 투영 특수 선형 그룹 P $S{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{L}}$(${\displaystyle 2}$,$){\displaystyle {\rm {PSL}(2,\mathb {R} )$의 그룹 작업은 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle {\pmatrix}a&b\c&d\\end{pmatrix}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {(ac z ^{2}+bd+(ad+bc)\Re (z)+i(ad-bc)\Im (z)}{cz+d ^{2}}.}$

Note that the action is transitive: for any ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {H} }$, there exists a ${\displaystyle g\in {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )}$ such that ${\displaystyle gz_{1}=z_{2}}$. It is also faithful, in that if ${\displaystyle gz$$=z}$ ${\displaystyle 모든}$ $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$H , {\$displaystyle z\in \mathb$ {H$} ,},$ 그 다음$$ g = e.

원소 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle H\mathbb{}}$ ${\$${\displaystyle H\mathbb{}}$$}$의 스태빌라이저 또는 동위원소 하위 그룹은$$ $g{\displaystyle p\mathrm{}}$ P ${\displaystyle \mathrm{S}}$ $L$ ,${\displaystyle }$R )${\rm {PSL}(2,\mathb {R}$ )의 집합으로, z는 변경되지 않는다. gz = z i의 스태빌라이저는 회전 그룹이다.

${\displaystyle {\rm{SO}(2)=\왼쪽.\left\{\begin{pmatrix}\cos \theta \\-\sin \theta \\\end{pmatrix}}\right \theta \in \mathb {R}\right\}}$

어떤 원소 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle H\mathbb{}}$ ${\${${\displaystyle H\mathbb{}}$$}}$이(가) $P{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{S}}$ ${\displaystyle \mathrm{L}}$( ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$R$){\displaystyle {\rm {PSL}(2,\mathb {R} )$의 일부 원소에 의해 i에 매핑되므로$$$,$ 이는 z의 동위원소 부분군이 SO(2)와 이형임을 의미한다. Thus, ${\displaystyle \mathbb {H} ={\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )/{\rm {SO}}(2)}$. Alternatively, the bundle of unit-length tangent vectors on the upper half-plane, called the unit tangent bundle, is isomorphic to ${\displaystyle {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )}$.

상부 하프 평면은 모듈형 그룹 S ${\displaystyle \mathrm{L}}$( ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle Z\mathbb{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle {\rm {SL}(2,\mathb {Z})$에 의해 무료 일반 세트로 테셀링된다$.$$}$

지리학

이 미터법 텐서의 지오데틱은 실제 축(출처가 실제 축에 있는 반원)에 수직인 원형 호와 실제 축에 끝나는 직선 수직선이다.

수직으로 상승하는 단위 속도 지오데틱은 내가 지정한 지점을 통과한다.

${\displaystyle \cdot i={\pmatrix}e^{t/2}&0\\\0&e^{-t/2}\\end{pmatrix}\cdot i=ie^{t}.}$

PSL(2,R)은 상부 하프 평면의 등각계에 의해 트랜스적으로 작용하기 때문에, 이 지오데틱은 PSL(2,R)의 작용을 통해 다른 지오데틱에 매핑된다. 따라서 일반 단위 속도 지오데틱은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{pmatrix}}\cdot i={\frac {aie^{t}+b}{cie^{t}+d}}.}$

이는 상부 하프 평면의 단위 길이 접선 번들(복합 선 번들)에 대한 지오데틱 흐름에 대한 기본적인 설명을 제공한다. 이 모델부터 아노소프 흐름의 기사에서 설명한 대로 임의의 리만 표면의 흐름을 얻을 수 있다.

3차원의 모형

반공간에 대한 모델의 메트릭

$\displaystyle \{\langle x,y,z\angle z>0\}\,}$

에 의해 주어지다

${\디스플레이 스타일(ds)^{2}={\frac {(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}}{z^{2}}\,}$

여기서 s는 가능한 곡선을 따라 길이를 측정한다. 쌍곡선 공간의 직선(즉, 거리를 최소화하는 곡선)은 z = 0 평면(원점이 z = 0 평면에 있는 반원)에 정규적인 원형 호와 z = 0 평면에 정규적인 수직선으로 이 모델에 표시된다.

이러한 지오데틱을 따라 이 메트릭에서 측정한 두 지점 사이의 거리는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {dist} (\langle x_{1},y_{1},z_{1}\rangle ,\langle x_{2},y_{2},z_{2}\rangle )=\operatorname {arcosh} \left(1+{\frac {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2}+{(z_{2}-z_{1})}^{2}}{2z_{1}z_{2}}}\right)=2\operatorname {arsinh} \left({\frac {\sqrt {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2}+{(z_{2}-z_{1})}^{2}}}{2{\sqrt {z_{1}z_{2}}:}\오른쪽)\,}$

n차원의 모형

이 모델은 n차원 유클리드 벡터 공간에서 벡터로 실제 숫자 x를 대체함으로써 $n{\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n+1}$차원$$ 쌍곡선 공간을 모델링하기 위해 일반화할 수 있다.

참고 항목

참조

메모들

원천