하이퍼호몰로지

In homological algebra, the hyperhomology or hypercohomology ( $\mathbb {H} _{*}(-),\mathbb {H} ^{*}(-)$ ) is a generalization of (co)homology functors which takes as input not objects in an abelian category ${\mathcal {A}}$ but instead chain complexes of objects, so ${\text{Ch}}({\mathcal {A}})$ ( ${\text{Ch}}({\mathcal {A}})$ ) ${\text{Ch}({\mathcal {A})$ 에 있는 개체 ${\text{Ch}}({\mathcal {A}})$ 하이퍼코호몰로지(hypercohomology)는 파생된 글로벌 섹션 펑터 $\mathbf {R} ^{*}\Gamma (-)$ $\mathbf {R} ^{*}\Gamma (-)$ ∗ ( $\mathbf {R} ^{*}\Gamma (-)$ - $\mathbf {R} ^{*}\Gamma (-)$ ) $\mathbf {R} ^{*}\감마(-)$ 에 해당하기 때문에 개체의 파생 펑터 코호몰로지(functor cohomology)와 체인 복합체의 호몰로지(homology) 사이의 일종의 교차이다 $\mathbf {R} ^{*}\Gamma (-)$

하이퍼홈학은 더 이상 많이 사용되지 않는다: 1970년 이후 그것은 크게 파생 범주들 사이의 파생 펑터의 대략 동등한 개념으로 대체되었다.

동기

하이퍼코호몰리학의 동기 중 하나는 짧은 정확한 순서와 관련된 코호몰로지 긴 정확한 순서의 명확한 일반화가 없다는 사실에서 비롯된다.

$0\displaystyle 0\to M'to M'\to 0}$

즉, 관련된 긴 정확한 순서가 있다.

$0\to H^{0}(M')\to H^{0}(M')\to H^{0}(M')\to \cdots$

하이퍼코호몰로지(hypercohomology)는 임의의 긴 정확한 시퀀스에서 유사한 긴 코호몰로지 관련 시퀀스를 구성하기 위한 기법을 제공하는 것으로 밝혀졌다.

$0\to M_{1}\to M_{2}\to \cdots \to M_{k}\to 0$

그것의 입력은 아벨의 범주에서 온 물체들 대신에 체인 콤플렉스에 의해 주어지기 때문이다.우리는 이 체인 콤플렉스를 구별되는 삼각형으로 만들 수 있다(유형 카테고리의 삼각형 범주 언어 사용)

$M_{1}\to [M_{2}\cdots \to M_{k-1}]\to M_{k}[-k+3]\x오른쪽 화살표 {+1}}$

우리가 가리키는 것은

${\displaystyle {\mathcal {M}_{\bullet }\to {\mathcal {M}{\bullet }\mathcal {M}"{\bullet }\xrightarrow {+1}}}}}}}에 대한 설명$

그런 다음 파생된 전역 $\mathbf {R} ^{*}\Gamma (-)$ $\mathbf {R} ^{*}\Gamma (-)$ ∗ ∗ $\mathbf {R} ^{*}\Gamma (-)$ ( $\mathbf {R} ^{*}\Gamma (-)$ - ) $\mathbf {R} ^{*}\Gamma(-)$ 을(를) 선택하면 긴 정밀 시퀀스가 제공되는데 $\mathbf {R} ^{*}\Gamma (-)$ , 이는 하이퍼코호몰로지 그룹의 긴 정확 시퀀스다.

정의

우리는 이것이 더 흔하기 때문에 하이퍼코호몰로지 정의를 내린다.평소와 같이 하이퍼코호몰로지(hypercohomology)와 하이퍼호몰로지(hyperhomology)는 본질적으로 동일하다. 즉, 모든 화살표의 방향을 변경하고, 주입 사물을 투사체로 대체하는 등의 방법으로 한 방향에서 다른 방향으로 전환한다.

A가 충분한 주사를 가진 아벨 범주이고 F가 다른 아벨 범주 B에 대한 정확한 좌뇌 좌뇌라고 가정하자.C가 왼쪽에 A의 경계 대상의 복합체라면 하이퍼코호몰로지(hypercohomology)는

Hⁱ(C)

C의 (정수 i의 경우)는 다음과 같이 계산된다.

준이형성 Ⅱ를 취하라 : C → I, 여기 나는 A의 주입원소 복합체다.
C의 하이퍼코호몰로지 Hⁱ(C)는 복합 F(I)의 코호몰로지 Hⁱ(F)이다.

C의 하이퍼코호몰리오는 준 이형성의 선택과 무관하며, 독특한 이형성에 이른다.

하이퍼코호몰로지 또한 파생 범주를 사용하여 정의할 수 있다: C의 하이퍼코호몰로지란 B의 파생 범주의 요소로 간주되는 RF(C)의 코호몰로지일 뿐이다.

음수 지수에 대해 사라지는 단지의 경우, 하이퍼코호몰리학은 H⁰ = FH⁰ = HF의⁰ 파생 펑터로 정의될 수 있다.

하이퍼코호몰로지 스펙트럼 시퀀스

두 개의 하이퍼코호몰로지 스펙트럼 시퀀스가 있다. 하나는₂ E항이다.

R^{i}F(H^{j}(C))

그리고₁ 다른 하나는 E항이다.

R^{j}F(C^{i}})

및₂ E 용어

H^{i}(R^{j}F(C))

둘 다 하이퍼코호몰로 수렴하는 것.

H^{i+j}(RF(C))

+

H^{i+j}(RF(C))

(

H^{i+j}(RF(C))

H^{i+j}(RF(C))

(

H^{i+j}(RF(C))

)

{\displaystyle

H

^{i+j}(

RF

(C

여기서^j RF는 F의 오른쪽 파생 펑터다.

적용들

하이퍼코호몰로지 스펙트럼 시퀀스의 한 가지 적용은 게르베의 연구에 있다.공간 $X$ $X$ 의 순위 n 벡터 번들은 Cech-cohomology 그룹 $H^{1}(X,{\underline {GL}}_{n})$ $H^{1}(X,{\underline {GL}}_{n})$ ( $H^{1}(X,{\underline {GL}}_{n})$ , $H^{1}(X,{\underline {GL}}_{n})$ L $H^{1}(X,{\underline {GL}}_{n})$ ) ${\displaystyle H^{1}(X,{\underline {GL}_{n})$ 로 분류할 수 있다는 $X$ 점을 상기하십시오 $H^{1}(X,{\underline {GL}}_{n})$ The main idea behind gerbes is to extend this idea cohomologically, so instead of taking $H^{1}(X,{\textbf {R}}^{0}F)$ for some functor $F$ , we instead consider the cohomology group $H^{1}(X,{\textbf {R}}^{1}F)$ , so it cl원래 분류 그룹에서 객체에 의해 접착된 객체를 확인한다.게르베와 하이퍼코호몰리를 연구하는 밀접하게 연관된 과목은 델리뉴코호몰로지다.

예

필드 k에 걸친 다양한 X의 경우, 위의 두 번째 스펙트럼 시퀀스는 대수학 de Rham cohomology에 대한 Hodge-de Rham 스펙트럼 시퀀스를 제공한다.
${\displaystyle E_{1}^{p,q}=$ $H^{q}(X,\Oomega _{X}^{p})$ $\Rightarrow \mathbf {H}^{p+q}(X,\Oomega _{X}^{\bullet }}=:$ $H_{DR}^{p+q}(X/k)}$ .
또 다른 예는 복잡한 다지관의 홀로모픽 로그 콤플렉스에서 나온다.X를 복잡한 대수다지관으로 하고 $j:X\hookrightarrow Y$ : $j:X\hookrightarrow Y$ ↪ $j:X\hookrightarrow Y$ ${\displaystyle j:X\hookrightarrow$ Y $}$ 을(를) 잘 압축한다 $j:X\hookrightarrow Y$ .이는 Y가 콤팩트 대수 다지관이고 $D=Y-X$ = $D=Y-X$ - X $D=Y-X$ 은 $D=Y-X$ (는) 단순한 정규 교차를 갖는 $Y$ $Y$ $Y$ 의 구분자임을 의미한다.피복단지의 자연포함
$\Oomega _{Y}^{\bullet }(\log D)\오른쪽 화살표 j_{*}\Oomega _{X}^{\bullet }}}}$

준 이형주의로 밝혀져 이형주의를 유도한다.

$H^{k}(X;\mathbb {C} )\rightarrow \mathbf {H} ^{k}(Y,\Omega _{Y}^{\bullet }(\log D))$ $H^{k}(X;\mathbb {C} )\rightarrow \mathbf {H} ^{k}(Y,\Omega _{Y}^{\bullet }(\log D))$ ( $H^{k}(X;\mathbb {C} )\rightarrow \mathbf {H} ^{k}(Y,\Omega _{Y}^{\bullet }(\log D))$ ; C $H^{k}(X;\mathbb {C} )\rightarrow \mathbf {H} ^{k}(Y,\Omega _{Y}^{\bullet }(\log D))$ ) $H^{k}(X;\mathbb {C} )\rightarrow \mathbf {H} ^{k}(Y,\Omega _{Y}^{\bullet }(\log D))$ → $H^{k}(X;\mathbb {C} )\rightarrow \mathbf {H} ^{k}(Y,\Omega _{Y}^{\bullet }(\log D))$ $H^{k}(X;\mathbb {C} )\rightarrow \mathbf {H} ^{k}(Y,\Omega _{Y}^{\bullet }(\log D))$ ( $H^{k}(X;\mathbb {C} )\rightarrow \mathbf {H} ^{k}(Y,\Omega _{Y}^{\bullet }(\log D))$ , $H^{k}(X;\mathbb {C} )\rightarrow \mathbf {H} ^{k}(Y,\Omega _{Y}^{\bullet }(\log D))$ $H^{k}(X;\mathbb {C} )\rightarrow \mathbf {H} ^{k}(Y,\Omega _{Y}^{\bullet }(\log D))$ $H^{k}(X;\mathbb {C} )\rightarrow \mathbf {H} ^{k}(Y,\Omega _{Y}^{\bullet }(\log D))$ ( $H^{k}(X;\mathbb {C} )\rightarrow \mathbf {H} ^{k}(Y,\Omega _{Y}^{\bullet }(\log D))$ $H^{k}(X;\mathbb {C} )\rightarrow \mathbf {H} ^{k}(Y,\Omega _{Y}^{\bullet }(\log D))$ $H^{k}(X;\mathbb {C} )\rightarrow \mathbf {H} ^{k}(Y,\Omega _{Y}^{\bullet }(\log D))$ ) ${\displaystyle H^{k}(X;\mathb {C} )\오른쪽$ 화살표 $\mathbf {H}{k}(Y,\Oomega_{Y}^{Bullet })(로그 D$

참고 항목

참조

H. Cartan, S. Eilenberg, 호몰로지 대수 ISBN 0-691-04991-2
V.I. Danilov (2001) [1994], "Hyperhomology functor", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
A. 그로텐디크, 수르 퀼키스는 달제브레 호몰로지크 토호쿠 수학을 가리킨다.J. 9(1957) 페이지 119-221

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