게르베

수학에서 게르베(/dʒːːrb/; 프랑스어: [ʒɛʁbb])는 호몰로지 대수학 및 위상학의 구성물이다.제르베는 학위 2의 비확정 코호몰로지 도구로 알렉산드르 그로텐디크의 아이디어를 따라 장 지로(Giraud 1971)에 의해 소개되었다.그것들은 파이버가 그룹의 분류 스택인 파이버 번들의 아날로그적인 것으로 볼 수 있다.게르베어는 특히 현대 대수 기하학에서 많은 유형의 변형 문제를 다루기 위해 매우 추상적이긴 하지만 편리한 언어를 제공한다.또한, 제르베의 특별한 경우는 특정한 동족학 클래스와 거기에 부착된 추가 구조물에 대한 대체 설명을 제공하기 위해 미분 위상 및 미분 기하학에서 더 최근에 사용되어 왔다.

"게르베"는 문자 그대로 밀 껍질을 의미하는 프랑스어(그리고 고대 영어)이다.

정의들

위상학적 공간에 게르베

S{S\displaystyle}가 넘는 국내 사각형은 groupoids의 위상 공간 S{S\displaystyle}에 관한 gerbe[1]:318는 스택 X{\displaystyle{{X\mathcal}}}(각 지점 p∈는 S{\displaystylep\in S}이 열린 근린 U 와{\displaystyle U_{p}}고 있는 섹션 범주 X (Up${\displaystyle {\mathcal {X}}(U_{p})}$ of the gerbe is not empty) and transitive (for any two objects ${\displaystyle a}$ and ${\displaystyle b}$ of ${\displaystyle {\mathcal {X}}(U)}$ for any open set ${\displaystyle U}$, there is an open covering ${\displaystyle$${\mathcal{U}=\{U_{i}\}\}\{i}\\\$$displaystyle$ U$}$에 $대한{\displaystyle }$$$ ${\displaystyle a}$ 및 $b$ ${\$$displaystyle$ $b}$의 제한이 적어도 $하나$의 ${\displaystyle {형태론}_{}}$에 의해 연결되도록$$$$ ${\$ U} U}의 {\{$i}$$_}$_}_}.

표준적인 예로는 고정 구조 $그룹{\displaystyle }$ H ${\displaystyle$ H$}$을(를) 가진 주 번들의 게르베 ${\displaystyle B}$ $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle BH}$이(가) 있다$.$ 개방형 세트 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $U}$에 대한 섹션 범주는 이형성을 $형태론{\displaystyle }$(따라서)으로 하는$$ $주{\displaystyle }$ H ${\displaystystyle$ U}의$$ 범주다.오리는 그룹형이다.주계약자가 접착제를 함께 묶으면(하강 조건을 만족시키면), 이 그룹오이드들은 쌓이게 된다.사소한 번들 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ H${\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\time H\to$ X$}$은(는) 국소적인 비빈도 조건이 충족됨을 보여주며$$, 마지막으로 주요 번들이 국소적인 만큼 충분히 작은 오픈 세트로 제한될 경우 이형성이 되어 Transitivity 조건도 충족된다.

사이트에 게르베

게르베의 가장 일반적인 정의는 사이트를 통해 정의된다.사이트 $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 지정된 $경우{\displaystyle \mathcal{}}$ C ${\$ - $게르베$ G ${\displaystyle G}$은(는) g${\displaystyle }$→ ${\displaystyle C\mathcal{}}$ ${\$)로 구성된 범주로서$$^{[2][3]: 129} ,

1. There exists a refinement^[4] ${\displaystyle {\mathcal {C}}'}$ of ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ such that for every object ${\displaystyle S\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}}')}$ the associated fibered category ${\displaystyle G_{S}}$ is non-empty
2. 모든 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \text{Ob}}$(${\displaystyle C}$) ${\displaystyle S\in {\text{Ob}({\mathcal{C})$에 대해 섬유화된 범주 ${\displaystyle G_{}}$ S ${\$에 있는 모든 물체는$$ 국소적으로 이형성이 있다$$.

Note that for a site ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ with a final object ${\displaystyle e}$, a category fibered in groupoids ${\displaystyle G\to {\mathcal {C}}}$ is a ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$-gerbe admits a local section, meaning satisfies the first axiom, if ${\di$$splaystyle {\text{Ob}(G_{e})\neq \varnothing$ $\}.$

사이트에서 게르베에 대한 동기 부여

One of the main motivations for considering gerbes on a site is to consider the following naive question: if the Cech cohomology group ${\displaystyle H^{1}({\mathcal {U}},G)}$ for a suitable covering ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$ of a space ${\displaystyle$$X}$은(는) $주임{\displaystyle }$ G$${\$displaystyle$G} - $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대한 번들$$,$$반복된 코호몰로지 ${\displaystyle {펑터\mathrm{}}^{}}$ H 1${\displaystyle }$( -${\displaystyle }$,${\displaystyle {}^{}{1\mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle }$- ,${\displaystyle G}$ ) ${\displaysty H^{1}(-,H^{1}(-,$ G$)})}$이 나타내는 것은?즉, 우리는 H ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}U}$ ${\displaystyle i_{}}$, G${\displaystyle }$) ${\displaystyle H^{1}(U_{i}G)$ 그룹들을 하나의 cocycle을 통해$$ 접착하고 있다.게르베는 이 질문에 대한 기술적 응답이다: 더 높은 코호몰로지 $그룹{\displaystyle {}^{}}$ H${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle U,G}$ $){\displaystyle$H^{$2}({\mathcal{U},G)}}$의 요소들을 기하학적 표현으로 표현한다$.$ 이 직관은 더 높은 게르베에 대해 유지되어야 한다.

코호몰로지 분류

게르베에 관한 주요 이론들 중 하나는 밴드라고$$^[5][2]불리는 아벨 $그룹{\displaystyle \underset{}{}}$ L ${\displaystyle \underset{}{\_}}${\$displaystyle${\$underline{L}}$의 고정된 피복형 집단이 있을 때마다 게르베의 공호학적 분류다.For a gerbe ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ on a site ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, an object ${\displaystyle U\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}})}$, and an object ${\displaystyle x\in {\text{Ob}}({\mathcal {X}}(U))}$, the automorphism group of a gerbe is defined as tHer automorphism $그룹{\displaystyle }$ L${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\underset{}{\text{Auto}}}_{}}$ ${\displaystyle {\underset{}{\_}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$( U${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle$ L$={\underline {\text{$$Aut}}_{\mathcal {X}(U)}(x$ 자동형성 그룹이 항상 동일할 때마다 잘 정의된다는 점에 유의하십시오.커버 $U{\displaystyle \mathcal{}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle {UI}_{}}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $\$ I {\$displaystyle$ {\$mathcal{U}=\{U_{i$}\$to X\}{i\$in I$\}\}\}\}$에 해당 클래스가 있음

${\displaystyle c({\underline {L})\in H^{3}(X,{\underline {L})}$

representing the isomorphism class of the gerbe ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ banded by ${\displaystyle L}$. For example, in topology, many examples of gerbes can be constructed by considering gerbes banded by the group ${\displaystyle U(1)}$. As the classifying space ${\displa$$ystyle B(U(1)=K(\mathb {Z},2)$는 정수를 위한 두 번째 Eilenberg-Maclane 공간이며$$, 위상학적 $공간$에${\displaystyle \mathrm{U}}$ (${\displaystyle }$1 )$$${\displaystyle$$U$(1)가 밴딩한 번들 게르베(bundle gerbe$)$ $X$는$$호모토피 클래스로 구성된다.

${\displaystyle [X,B^{2}(U(1))]=[X,K(\mathb {Z},3)]}$

정확히 세 번째 단일 호몰로지 그룹 ${\displaystyle {H\mathrm{}}^{}}$ 3${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle X\mathbb{}}$, Z${\displaystyle }$) ${\displaystyle H^{3}(X,\mathb {Z} )}$ 입니다$.$그것은 고정된 복잡한 벡터 공간 V{V\displaystyle}가 모든 gerbes H3에서 비틀림 cohomology 수업을 나타내는(X, Z){\displaystyle H^{3}(X,\mathbb{Z})}엔드({\displaystyle{\text{엔드}}(V)유한차원 algebras의 다발로}표시됩니다. 게다가,non-torsion개 found[6] 왔다.로ses는 고정된 무한 차원 분리 가능한 Hilbert 공간 $H{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 있는 단일 운영자 투영 그룹의 무한$$ 차원 주 번들 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (H\mathcal{}}$ ${\displaystyle )}$ ${\$$mathcal$${H}$로 표시된다$.$ 이는 모든 분리 가능한 Hilbert 공간이 이형성이기 때문에 잘 정의된다.정사각형이 가능한 시퀀스의 공간 ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$게르베의 호모토피-이식 해석은 호모토피 섬유 사각형을 보는 데서 비롯된다.

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {X}&\to &*\\\\downarrow \\\s&\s&\s&\xrightarrow \f} &B^{2}U(1)\end{matrix}}}}}}}}$

호모토피 섬유 사각형에서 선다발이 어떻게 나오는지와 유사하다.

${\displaystyle {\begin{matrix}L&\to &*\\\downarrow &&\\downarrow \\s&\xrightarrow {f} &BU(1)\end{matrix}}}}}$

where ${\displaystyle BU(1)\simeq K(\mathbb {Z} ,2)}$, giving ${\displaystyle H^{2}(S,\mathbb {Z} )}$ as the group of isomorphism classes of line bundles on ${\displaystyle S}$.

예

대수 기하학

Let ${\displaystyle M}$ be a variety over an algebraically closed field ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle G}$ an algebraic group, for example ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$. Recall that a G-torsor over ${\displaystyle M}$ is an algebraic space ${\displaystyle P}$ with an action of ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$ 및$$ 지도 $\pi {\displaystyle }$: ${\displaystyle P}$→ M ${\displaystyle \pi$:$P{\displaystyle }$$\to M$에 로컬로 M ${\displaystyle M}($Epft topology 또는 fppf topology) topology ${\displaystyle$ \$pi$}}이$($가) 직접 제품 ${\displaystyle {}_{}}$ U : ${\displaystyle G{}_{}\times }$ ${\displaystyle U}$ →$$U $displaysty \pi _{U}:$$G\time U\to U}$M 이상의 G-gerbe는 비슷한 방법으로 정의될 수 있다$.$지도 π과 그것은 아르틴. Emil. 스택 M{\displaystyle{{M\mathcal}}}:M→ M{\displaystyle\pi \colon{{M\mathcal}}\to M}, M(또는fppfétale 위상에)π{\displaystyle \pi}에 있는 것처럼 국내에서 직접적인 제품π U:BG×U→ U{\displaystyle \pi_{U}\colon \mathrm{B}G\times U\to U}그는 .[7].레${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle BG}$은(는$)$ G {\$displaystyle$ G$},$$$즉 사소한$G$ {\$displaystyle$ G$$} -action에 의한 점의$$ 지수${\displaystyle [\ast }$/ $]{\displaystystyle [*/G]}$의 분류 스택을 의미한다$$.스택의 정의에 의해 다루어지기 때문에, 그 경우에는 그룹 구조와의 호환성을 강요할 필요가 없다.$M{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$과(와) $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 기본 위상학적 공간은 동일하지만$$ $M{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ {$M}$에서 $각{\displaystyle }$ 포인트에는$$ G ${\displaysty G}$에 대한 스태빌라이저 그룹이 장착된다$.$

일관성이 있는 이단지의 2기 복합체로부터

2개월 단지의 일관성이 있는 조각들마다

${\displaystyle {\mathcal {E}^{\bullet }=[{\mathcal {E}^{1}\xrightarrow {d} {\mathcal {E}^{0}]}}$

체계 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \text{Sch}}$ ${\$에는 그것과 연관된 표준적인 그룹의 집합체가 있으며$$, 여기서 개방형 서브셋 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \subseteq }$ X ${\displaystyle U\subseteq X}$에는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle (U}$) ${\displaysty X(U)$ -modules$$)의 2항 복합체가 있다$$.

${\displaystyle {\mathcal {E}^{-1}(U)\xrightarrow {d} {\mathcal {E}^{0}(U)}$

조로이드 주시는 거푸집합체 주시는 거.It has objects given by elements ${\displaystyle x\in {\mathcal {E}}^{0}(U)}$ and a morphism ${\displaystyle x\to x'}$ is given by an element ${\displaystyle y\in {\mathcal {E}}^{-1}(U)}$ such that

${\displaystyle dy+x=x'}$

이 스택이 게르베가 되려면 코호몰로지 쉐이프 ${\displaystyle H^{\mathrm{}}}$ 0 $){\displaystyle {\mathcal{H}^{0}{\mathcal$ {E$}}}}$이(가) 항상 섹션을 가져야$$ 한다.이 가설은 위에 구성된 범주에 항상 개체가 있음을 암시한다.이는 아핀 또는 투영 스택(등급이 매겨진 Hopf-algebroid를 사용하는 경우 투영성) 위에 게르베의 대수적 모델을 구축하기 위해 Hopf-algebroids를 통한 코모듈의 상황에 적용할 수 있다.또한 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ 플랫$$ 오버 $A{\displaystyle }$ ${\$displaystyle \$Gamma$}을(를) 사용하여$$ Hopf-algebroids $A$, ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$) ${\$$Displaystystyle A}$의 파생 범주의 안정화에 따른 2기 스펙트럼은 엄격하지 않은 추가 모델을 제공한다$$.

곡선에 안정적인 번들이 쌓여 있는 모둘리

할게. Mr, ds{\displaystyle{{M\mathcal}}_{r,d}^{s}} 안정적인 벡터 다발의 계급 r{r\displaystyle}의 C{C\displaystyle}과 정도에moduli 스택 d. 속 g의 k{k\displaystyle}에 대한 원활한 사영 곡선 C{C\displaystyle}, 1{\displaystyle g> 1}를 생각해 보자 {\disp$레이스타일 d$거친 모듈리 공간 $M{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle r_{}^{}}$, d ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$}}}{s$}}}}$을$($를) 가지고 있는데, 이것은 퀘이프로젝트적인 품종이다.이 두 가지 모듈리 문제는 같은 물체를 파라메트리화하지만, 스택형 버전은 벡터 번들의 자동화를 기억한다.For any stable vector bundle ${\displaystyle E}$ the automorphism group ${\displaystyle Aut(E)}$ consists only of scalar multiplications, so each point in a moduli stack has a stabilizer isomorphic to ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$. It turns out that the map ${\displaystyle {\mathcal{M}}_{r,d}^s\to M_{r,d}^s}$${\displaystyle {\mathcal{{M}_{r,d}^{s}}\to M_{r,d}^{s}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$은 정말로 위의 의미로 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ -gerbe이다$$.^[8]$r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$과 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$이(가) 동일하다면 사소한$$ 게르베다.

루트 스택

또 다른 종류의 게르베는 뿌리 스택의 구조를 사용하여 찾을 수 있다.비공식적으로, 구성표 위에$$ 있는 $선다발{\displaystyle }$ L${\displaystyle }$→ ${\displaystyle S}$의$$r$$ ${\$$displaystyle$ $r$$} -throot$ 스택은 L {\displaystyle L}의$$$r{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle r$$}$ -throot를$$ 나타내는 공간이며, $이$를 가리킨다$.$

${\displaystyle {\sqrt[{r}]{L/S}.\,}$^{[9]52 페이지}

$L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$의 r ${\displaystyle R}$번째$$ 루트 스택에 속성이 있음$$

${\displaystyle \bigotimes ^{r}{\sqrt[{r}]{L/S}\cong L}$

게르베처럼스택으로 구성됨

${\displaystyle {\sqrt[{r}]{L/S}:(\opername {Sch} /S)^{op}\to \operatorname {Grpd}}}}$

$S{\displaystyle }$ {\$displaystyle S}$ -scheme$$ $T{\displaystyle }$→ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T\to S}$ 객체가 양식의 줄 번들인 범주로 보내기$$

${\displaystyle \left\{(M\to T,\alpha _{M}):\alpha _{M}M^{\otimes r}\xrighthrow {\time _{S}L\time _{S}T\right\}}}}}}}}}}}}$

and morphisms are commutative diagrams compatible with the isomorphisms ${\displaystyle \alpha _{M}}$. This gerbe is banded by the algebraic group of roots of unity ${\displaystyle \mu _{r}}$, where on a cover ${\displaystyle T\to S}$ it acts on a point ${\displaystyle (M\to T,\alpha$$_{M}}$ $M{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\otimes }^{}}$ ${\displaystyle r^{}}$ ${\$ M$^{\otimes r}}$에서 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 인자를 주기적으로 허용함으로써, 이러한$$ 스택은 스택의 섬유 생산물로 형성된다$.$

${\displaystyle {\begin{matrix}X\times _{B\mathbb {G} _{m}}B\mathbb {G} _{m}&\to &B\mathbb {G} _{m}\\\downarrow &&\downarrow \\X&\to &B\mathbb {G} _{m}\end{matrix}}}$

$여기$서 B ${\displaystyle {}_{}}$ m${\displaystyle {}_{}}$→ B ${\displaystyle {}_{}}$ m ${\$의 수직 지도가 쿠메르 수열에서 나온다.

${\displaystyle 1\xrightarrow {} \mu _{r}\xrightarrow {G} _{m}\xrightarrow {(\cdot )^{r}} \mathb {G} _{m}\xrighrigarrow {}{}}}}}}}}}}}}$

This is because ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$ is the moduli space of line bundles, so the line bundle ${\displaystyle L\to S}$ corresponds to an object of the category ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}(S)}$ (considered as a point of the moduli space).

섹션이 있는 루트 스택

섹션이 있는 루트 스택의 또 다른 관련 구조가 있다.${\displaystyle 위}$의 데이터가 주어진 경우:${\displaystyle }$S${\displaystyle }$→ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle s:$$S\to L}$은(는) 한 구역이다$$.$그런{\displaystyle }$ 다음 쌍$L$→ ${\displaystyle S}$, $)$의 r ${\$$displaystyle$ $r$$}$ -th번째$$ 루트 스택을 lasse $2-functor$로^[9][10] 정의한다$.$

${\displaystyle {\sqrt[{r}]{(L,s)/S}:(\operatorname {Sch} /S)^{op}\to \operatorname {Grpd}}}}}$

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ -scheme$$ $T{\displaystyle }$→ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T\to S}$을(를) 양식의 객체 줄 바꿈을 가진 범주로 전송$$

${\displaystyle \left\{(M\to T,\alpha _{M}t):\begin{aigned}&\alpha _{M:M^{\otimes r}\xrighthrow {\}L\time _{S}T\&t\in \Gamma(T,M)\&\\\\nalpha _{\}(t^{\otime r}}s}sriged\riged\riged\riged\riged\riged\riged\riged\riged\right\night\}}}}}}}}}}$

형태도 비슷하게 주어진다.이러한 스택은 매우 명백하게 구성될 수 있으며, 부속 계획으로 잘 이해된다.사실 이것들은 섹션이 있는 루트 스택에 대한 아핀 모델을 형성한다.^{[10]: 4} Given an affine scheme ${\displaystyle S={\text{Spec}}(A)}$, all line bundles are trivial, hence ${\displaystyle L\cong {\mathcal {O}}_{S}}$ and any section ${\displaystyle s}$ is equivalent to taking an element ${\displaystyle s\in A}$. Then, the stack is given by the stack quotient

${\displaystyle {\sqrt[{r}]{(L,s)/S}=[{\text{Spec}}}/{\mu _{r}}}}}$^{[10]: 9}

와 함께

${\displaystyle B={\frac {A[x]}{x^{r}-s}}}}$

$s{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle s=0}$이면 [${\displaystyle \mathrm{규격}}$( A${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \mu {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\displaystyle [{\text{Spec}}(A)/\mu _{r}}}}$의 최소 확장명을 제공한다$.$

대수 기하학 전체에 걸친 예제

이와 더 일반적인 종류의 게르베는 기하학적 공간과 공식적인 부기 도구로서 몇 가지 맥락에서 발생한다.

• 아즈마야 알헤브라스
• 극미량 두께의 변형
• 비뚤어진 형태의 투영품종
• 동기에 대한 섬유 공법

미분 기하학

• ${\displaystyle H^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle X\mathbb{}}$, ${\displaystyle Z}$) ${\displaystyle H^{3}(X,\mathb {Z})}$ 및$$ $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle X_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ -gerbe$$: Jean-Luc Brylinski의 접근법

역사

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게르베스는 대수 기하학의 맥락에서 처음 등장했다.그들은 이후 브릴린스키에 의해 전통적인 기하학적 틀에서 개발되었다.사람들은 게르베를 수학 물체의 계층 구조에서 필수적인 코호몰로지 수업의 기하학적 실현을 제공하는 자연스러운 단계라고 생각할 수 있다.

좀 더 전문화된 게르베의 개념은 머레이에 의해 소개되었고 번들 게르베라고 불렸다.본질적으로 그것들은 깎는 것보다 주요 묶음으로 시작하는 계층에 더 많이 속하는 아벨리아 게르베의 부드러운 버전이다.번들 제르베는 게이지 이론과 끈 이론에 사용되어 왔다.다른 사람들의 현재 연구는 비아벨리안 번들 제르베의 이론을 발전시키고 있다.

참고 항목

• 꼬인 칼집
• 아즈마야 대수
• 꼬인 K이론
• 대수적 스택
• 번들 게르베
• 문자열 그룹

참조

• Giraud, Jean (1971), Cohomologie non abélienne, Springer, ISBN 3-540-05307-7.
• Brylinski, Jean-Luc (1993), Loop space, characteristic classes and geometric quantization, Birkhäuser Verlag, ISBN 0-8176-3644-7.

외부 링크

소개 기사

• Bundle Gerbes와 함께 건설 - Stuart Johnson
• 베르나도 우리베, 에르네스토 루퍼시오 오비폴즈의 게르베 소개
• 게르베란 무엇인가? AMS의 통지서에 나오는 나이젤 히친에 의해.
• 번들 제르브, 마이클 머레이
• Moerdijk, Ieke. "Introduction to the Language of Stacks and Gerbes". Retrieved 2007-05-20.

위상에서의 게르베

• 호모토피 이론의 단순화합체, 지밍루오

꼬인 K이론

• 꼬인 K 이론과 번들 제르베의 K 이론
• 꼬인 다발과 꼬인 K-Theory - 카루비

문자열 이론의 응용 프로그램

• String 이론의 안정적 특이점 - Brauer 그룹을 사용한 부록에 제르베의 예가 수록되어 있다.
• 그룹 다지관, 글루온 응축수 및 꼬인 K 이론의 브랜즈
• Lagrangian Submanifolds에 관한 특강 - 미러 대칭에 응용한 매우 정확한 지구 소개
• 콤팩트한 심플한 Lie 그룹 위에 베이직 게르베 - 스트링 그룹과 같은 그룹을 게르베로 기술하는 기술