임펄스 불발성

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임펄스 불변성은 연속시간 필터에서 이산시간 무한임펄스-응답(IIIR) 필터를 설계하여 연속시간 시스템의 임펄스 응답을 샘플링하여 이산시간 시스템의 임펄스 응답을 생성하는 기법이다. 이산 시간 시스템의 주파수 응답은 연속 시간 시스템의 주파수 응답에 대한 이동된 복사본의 합이 될 것이다. 연속 시간 시스템이 샘플링의 나이키스트 주파수보다 작은 주파수로 대략적으로 대역 제한되어 있는 경우 이산 시간 시스템의 주파수 응답은 대략 동일한 t가 될 것이다.o Nyquist 주파수 이하의 주파수용이다.

토론

연속시간 시스템의 임펄스 응답인 h${\displaystyle {}_{}{c}_{}}$ ( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle h_{c}(t$은 샘플링 $주기{\displaystyle }$ T ${\displaystyle$ T$}$와 $함께$ 샘플링되어 이산시간 시스템의 임펄스 응답인 $h{\displaystyle }$[ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle h[n]}$을 생성한다$.$

$(\displaystyle h[n]=Th_{c}(nT)\,}$

따라서 두 시스템의 주파수 응답은 다음과 같다.

${\displaystyle H(e^{j\omega }}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\flut }^{{H_{c}\왼쪽(j{\frac {\omega }{T}}+j{2{\pi }}{T}k\right)\,},}$

If the continuous time filter is approximately band-limited (i.e. ${\displaystyle H_{c}(j\Omega )<\delta }$ when ${\displaystyle \Omega \geq \pi /T}$), then the frequency response of the discrete-time system will be approximately the continuous-time system's frequency response for frequencies be샘플당 낮은 π 라디안(Nyquist 주파수 1/(2T) Hz 이하):

${\$$H_${$c}(j\omega /T)\,}$ ${\displaystyle \Omega \pi }$ ${\$

이선형 변환과 비교

연속 시간 필터의 응답이 해당 주파수보다 0이 아닌 범위까지 나이키스트 주파수 아래의 앨리어싱을 포함하여 앨리어싱이 발생한다는 점에 유의하십시오. 이린형 변환은 임펄스 인비례크로 원형 중첩으로 주파수를 선형적으로 매핑하는 것이 아니라 무한 주파수를 벗어난 연속시간 시스템의 주파수 응답을 이산시간 사례에서 나이키스트 주파수까지의 범위로 매핑하는 다른 매핑을 사용하는 임펄스 인비례에 대한 대안이다.e does. e does. e do. e do.

시스템 기능의 극에 미치는 영향

$s{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$에 연속극이 있는 경우, 시스템 함수는 다음과 같이 부분분수확장으로 기록할 수 있다$.$

${\displaystyle H_{c}=\sum _{k=1}^{N}{\frac {A_{k}}{s-s_{k}}\,}$

따라서 역 라플라스 변환을 사용하여 충동 반응은

${\displaystyle h_{c}(t)={\begin{case}}\sum _{k=1}^{N}{A_{k}e^{k}t},&t\geq 0\0,&\mbox{otherwise}}\case{case}}}}}}}}}$

그 후 해당 이산 시간 시스템의 충동 반응을 다음과 같이 정의한다.

$(\displaystyle h[n]=Th_{c}(nT)\,}$

$(\displaystyle h[n]=T\sum _{k=1}^{N}{A_{k}e^{s_{k}nT}u[n]}\,}$

이산 시간 임펄스 반응에서 z 변환을 수행하면 다음과 같은 이산 시간 시스템 기능이 생성된다.

$H(z)=T\sum _{k=1}^{N}{\frac {A_{k}{1-e^{s_{k}T}z^{-1}\,}$

따라서 연속 시간 시스템 함수의 극은 z = e에서^s_kT 극으로 변환된다. 0은, 만약 있다면, 그렇게 간단히 지도화되지 않는다.^{[clarification needed]}

극과 영

시스템 기능에 극과 0이 있으면 동일한 방법으로 매핑할 수 있지만, 결과는 더 이상 충동 침입 결과가 아니다: 이산 시간 충격 반응은 단순히 연속 시간 충격 반응의 샘플과 같지 않다. 이 방법은 일치하는 Z-변환법 또는 극-제로 매핑이라고 알려져 있다.

안정성과 인과관계

s에서 연속 시간 시스템의 극은 z = exp(sT_k)에서 이산 시간 시스템의 극으로 변환되므로_k, s 평면 지도 왼쪽의 극은 z 평면의 단위 원 안쪽으로 변환되므로 연속 시간 필터가 인과적이고 안정적인 경우 이산 시간 필터도 인과적이고 안정적일 것이다.

수정식

원인 연속 시간 충격 반응이 $t{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t=0}$에서 불연속성을 갖는 경우 위의 표현은 일관성이 없다$.$^[1] ${\displaystyle \mathrm{그}}$ 이유는 h${\displaystyle {}_{}}$( 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle h_{c}(0)$는 좌우 한계가 다르며$$, 실제로 오른쪽 값의 ${\displaystyle {절반}_{}}$인 h ${\displaystyle {}_{}{\mathrm{}}_{}}$+$){c}({+})$를$$$h{\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle h[0]}$에 기여해야 하기 때문이다$.$

이 수정은 다음과 같은 결과를 얻을 수 있는 것은

$(\displaystyle h[n]=T\left(h_{c}(nT)-{\frac {1}{1}{2}}h_{c}(0_{+})\delta [n]\오른쪽)\,}$

$(\displaystyle h[n]=T\sum _{k=1}^{N}{A_{k}e^{s_{k}nT}}\좌측(u[n]-{\frac{1}{1}:{2}}:\delta [n]\오른쪽)\,},}$

이산 시간 임펄스 반응에서 z 변환을 수행하면 다음과 같은 이산 시간 시스템 기능이 생성된다.

$H(z)=T\sum _{k=1}^{N}{{\frac {A_{k}}{1-e^{s_{k}T}z^{-1}-{\frac {T}{2}}\sum _{k=1}A_{k}}}}}}}}}$

두 번째 합은 불연속성이 없는 필터의 경우 0이므로 무시하는 것이 안전하다.

참고 항목

• 이린형 변환
• 일치 Z 변환 방법

참조

기타 출처