불완전한 베셀 함수

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수학에서 불완전한 베셀함수는 베셀함수의 완전형에서 확장형으로 작용하는 특수함수의 유형이다.

정의.

불완전한 Besel 함수는 완전형 Besel 함수의 동일한 지연 미분 방정식으로 정의된다.

${\displaystyle J_{v-1}(z,w)-J_{v+1}(z,w)=2{\dfrac {\partial z}{\partial z}{v_{v}(z,w)}}$

${\displaystyle Y_{v-1}(z,w)-Y_{v+1}(z,w)=2{\dfrac {\partial z}Y_{v}(z,w)}$

${\displaystyle I_{v-1}(z,w)+I_{v+1}(z,w)=2{\dfrac {\partial }{\partial z}}I_{v}(z,w)}$

${\displaystyle K_{v-1}(z,w)+K_{v+1}(z,w)=-2{\dfrac {\partial z}{\partial z}{v_{v}(z,w)}}$

${\displaystyle H_{v-1}^{(1)(z,w)-H_{v+1}^{(1)(z,w)=2{\dfrac {\partial z}}H_{v}^{(1)}(z,w)}$

${\displaystyle H_{v-1}^{(2)}(z,w)-H_{v+1}^{(2)(z,w)=2{\dfrac {\partial }{\partial z}}}}H_{v}^{(2)}(z,w)}$

그리고 완전한 형태의 Besel 함수의 그것으로부터 다음과 같은 지연 미분 방정식의 적절한 확장 형태:

${\displaystyle J_{v-1}(z,w)+J_{v+1}(z,w)={\dfrac {2v}{z}}J_{v}(z,w)-{\dfrac {2\tanh vw}{z}}{\dfrac {\partial }{\partial w}}J_{v}(z,w)}$

${\displaystyle Y_{v-1}(z,w)+Y_{v+1}(z,w)={\dfrac {2v}{z}}}Y_{v}(z,w)-{\dfrac {2\tanh vw}{z}}{\dfrac {\partial w}}}Y_{v}(z,w)}$

${\dplaystyle I_{v-1}(z,w)-I_{v+1}(z,w)={\dfrac {2v}{z}}}}I_{v}(z,w)-{\dfrac {2\tanh vw}{z}}{\dfrac {\partial w}}{\partial w}}}I_{v}(z,w)}$

${\displaystyle K_{v-1}(z,w)-K_{v+1}(z,w)=-{\dfrac {2v}{z}}K_{v}(z,w)+{\dfrac {2\tanh vw}{z}}{\dfrac {\partial }{\partial w}}K_{v}(z,w)}$

${\displaystyle H_{v-1}^{(1)}(z,w)+H_{v+1}^{(1)}(z,w)={\dfrac {2v}{z}}}}H_{v}^{(1)-{\dfrac {2\tanh vw}{z}}{\dfrac {\partial w}{\partial w}}}H_{v}^{(1)}(z,w)}$

${\displaystyle H_{v-1}^{(2)}(z,w)+H_{v+1}^{(2)}(z,w)={\dfrac {2v}{z}}}}}H_{v}^{{v}^{(2)-{\dfrac {2\tanh vw}{z}}{\dfrac {\partial w}}{\partial w}}}}H_{v}^{(2)}(z,w)}$

$새{\displaystyle }$매개 $변수$ w {\$displaystyle$ w$}$이(가) 두 번째 종류의 수정된 Besel 함수의 상위 미완성 형식과 하위 미완성 형식의 정수 경계를 정의하는$$ 경우:^[1][2]

${\displaystyle K_{v}(z,w)=\int _{w}^{\\infit }e^{-z\cosh t}\cosh vt~dt}$

${\displaystyle J(z,v,w)=\int _{0}^{w}e^{-z\cosh t}\cosh vt~dt}$

특성.

${\displaystyle J_{v}(z,w)=J_{v}(z)+{\dfrac {e^{\frac {v\pi i}{2}}J(iz,v,w)-e^{-{\frac {v\pi i}{2}}J(-iz,v,w)}{i\pi }}}}}}}}}}}}}}{i\pi}}}}}}}}}}}}}}"$

${\displaystyle Y_{v}(z,w)=Y_{v}(z)+{\dfrac {e^{\frac {v\pi i}{2}}J(iz,v,w)+e^{-{\frac {v\pi i}{2}}J(-iz,v,w)}{\pi }}}}}}}}}}}}}}{\pi }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}"$

${\displaystyle I_{-v}(z,w)=$정수 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$에 대한 $I_{v}(z,w)}$

${\displaystyle I_{-v}(z,w)-I_{v}(z,w)=I_{-v}(z)-I_{v}(z)-{\dfrac {2\sin v\pi }{\pi }}J(z,v,w)}}$

${\displaystyle I_{v}(z,w)=I_{v}(z)+{\dfrac {J(-z,v,w)-e^{-v\pi i}J(z,v,w)}{i\pi }}}}$

${\displaystyle I_{v}(z,w)=e^{-{\frac {v\pi i}{2}}J_{v}(이즈,w)}}$

${\displaystyle K_{-v}(z,w)=K_{v}(z,w)}$

${\displaystyle K_{v}(z,w)={\dfrac {\pi }{2}}{\dfrac {I_{-v}(z,w)-I_{v}(z,w)}{\sin v\pi }}}$ for non-integer ${\displaystyle v}$

${\displaystyle H_{v}^{(1)(z,w)=J_{v}(z,w)+iY_{v}(z,w)}$

${\displaystyle H_{v}^{(2)}(z,w)=J_{v}(z,w)-iY_{v}(z,w)}$

${\displaystyle H_{-v}^{(1)(z,w)=e^{v\pi i}H_{v}^{(1)(z,w)}}$

${\displaystyle H_{-v}^{{-v}^{(2)(z,w)=e^{-v\pi i}H_{v}^{(2)(z,w)}}}$

${\displaystyle H_{v}^{(1)}(z,w)={\dfrac {J_{-v}(z,w)-e^{-v\pi i}J_{v}(z,w)}{i\sin v\pi }}={\dfrac {Y_{-v}(z,w)-e^{-v\pi i}Y_{v}(z,w)}{\sin v\pi }}}$ for non-intege$r{\displaystyle }$ v ${\displaystyle v}$

${\displaystyle H_{v}^{(2)}(z,w)={\dfrac {e^{v\pi i}J_{v}(z,w)-J_{-v}(z,w)}{i\sin v\pi }}={\dfrac {Y_{-v}(z,w)-e^{v\pi i}Y_{v}(z,w)}{\sin v\pi }}}$ for non-integer ${\displaystyle }$${\displaystyle v}$

미분 방정식

${\displaystyle K_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$( z${\displaystyle }$, ${\displaystyle w}$) ${\displaystyle K_{v}(z,w)}$이(가) 비균형 Besel의 미분 방정식을 만족함$$

${\dplaystyle z^{2}{dfrac {d^{2}y}{dz^{2}}+z{dy}{dfrac {dy}{dz}-(x^{2}+v^{2})y=(v\sinh vw+z\cosh vw\sinh w)e^{-z\cosh w}}}$

Both ${\displaystyle J_{v}(z,w)}$ , ${\displaystyle Y_{v}(z,w)}$ , ${\displaystyle H_{v}^{(1)}(z,w)}$ and ${\displaystyle H_{v}^{(2)}(z,w)}$ satisfy the partial differential equation

${\displaystyle z^{2}{\dfrac {\partial ^{2}y}{\partial z^{2}}}+z{\dfrac {\partial y}{\partial z}}+(z^{2}-v^{2})y-{\dfrac {\partial ^{2}y}{\partial w^{2}}}+2v\tanh vw{\dfrac {\partial y}{\partial w}}=0}$

$I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle w}$) ${\displaystyle I_{v}(z$${\displaystyle ,}$$w)}$ 및 $K$ v${\displaystyle {}_{}z}$ ,${\displaystyle w_{})}$ ${\displaystyle K_{v}(z,w)$ 모두 부분 미분 방정식을 만족한다$$.

${\displaystyle z^{2}{\dfrac {\partial ^{2}y}{\partial z^{2}}}+z{\dfrac {\partial y}{\partial z}}-(z^{2}+v^{2})y-{\dfrac {\partial ^{2}y}{\partial w^{2}}}+2v\tanh vw{\dfrac {\partial y}{\partial w}}=0}$

적분표현

${\displaystyle {위}_{}}$의 예비 정의를 바탕으로 J v ($z{\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle w}$ ) $displaystyle J_{v}(z,w)},$ ${\displaystyle Y_{}}$ ${\displaystyle v{}_{}}$( z${\displaystyle }$, ${\displaystyle w}$) ${\displaystyle Y_{v}(z,w)}$의 통합 형식을 직접 도출할 수 있다$.$

${\displaystyle {\reasoned}J_ᆩ(z,w)&^J_ᆪ(z)+{\dfrac{1}{\pi 나는}}\left(\int_{0}일 경우 ^{w}e^{{\frac{v\pi 나는}{2}}-iz\cosh t}\cosh vt~dt-\int_{0}일 경우 ^{w}e^{iz\cosh t-{\frac{v\pi 나는}{2}}}\cosh vt~dt\right)\\&, =.J_ᆫ(z)+{\dfrac{1}{\pi 나는}}\left(\int_{0}일 경우 ^{w}\cos \left(z\cosh t-{\dfrac{v\pi}{2}}\right)\coshvt~dt-i\int _{0}^{w}\sin \left(z\cosh t-{\dfrac{v\pi}{2}}\right)\cosh vt~dt-\.Int _{0}^{w}\cos \left(z\cosh t-{\dfrac{v\pi}{2}}\right)\cosh vt~dt-i\int _{0}^{w}\sin \left(z\cosh t-{\dfrac{v\pi}{2}}\right)\cosh vt~dt\right)\\&, =.J_ᆪ(z)+{\dfrac{1}{\pi 나는}}\left(-2i\int_{0}일 경우 ^{w}\sin \left(z\cosh t-{\dfrac{v\pi}{2}}\right)\cosh vt~dt\right)\\&, =.J_ᆩ(z)-{\dfrac{2}{\pi}}_{0}^{w}\sin \left(z\cosh t-{\dfrac{v\pi}{2}}년 \int.오른쪽)\cosh vt~dt\end{aigned}}$

${\displaystyle {\reasoned}Y_{v}(z,w)&=Y_{v}(z)+{\dfrac {1}{\pi }}\left(\int _{0}^{w}e^{{\frac {v\pi i}{2}}-iz\cosh t}\cosh vt~dt+\int _{0}^{w}e^{iz\cosh t-{\frac {v\pi i}{2}}}\cosh vt~dt\right)\\&=Y_{v}(z)+{\dfrac {1}{\pi }}\left(\int _{0}^{w}\cos \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt-i\int _{0}^{w}\sin \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt+\int _{0}^{w}\cos \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt+i\int _{0}^{w}\sin \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt\right)\\&=Y_{v}(z)+{\dfrac {2}{\pi }\int_{0}^{w}\cos \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\riged})\cosh vt~dt\end{liged}}}}}}}}$

With the Mehler–Sonine integral expressions of ${\displaystyle J_{v}(z)={\dfrac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\sin \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt}$ and ${\displaystyle Y_v(z)=-{\displaystyle \frac{2}{\pi }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\cos (z\cosh t-{\displaystyle \frac{v\pi }{}}}$${\displaystyle {\displaystyle \frac{2}{}}}$) ${\displaystyle \cosh }$ v${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ t t ${\dplaystyle Y_{v}(z)=-{\dfrac {2}{\pi }\int _{0}^{\inflt$}\$cos \left(z\cosh$t-{\$dfrac {v\}}}{$2}}\$rig)\$^[3]cosh vt} 수학함수학 함수 디지털 라이브러리에서 언급함수$$

we can further simplify to ${\displaystyle J_{v}(z,w)={\dfrac {2}{\pi }}\int _{w}^{\infty }\sin \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt}$ and ${\displaystyle Y_v(z,w)=-{\displaystyle \frac{2}{\pi }}{\int }_w^{\mathrm{\infty }}\cos \left(z\cosh t-{\displaystyle \frac{v\pi }{2}}\right)}$${\displaystyle Y_{v}(z,w)=-{\dfrac {2}{\pi }}\int _{w}^{\infty }\cos \left(z\cosh t-{\dfrac {v\pi }{2}}\right)\cosh vt~dt}$ , but the issue is not quite good since the convergence range will reduce greatly to ${\displaystyle v <1}$.

참조

외부 링크

• Agrest, Matest M.; Maksimov, Michail S. (1971). Theory of Incomplete Cylindrical Functions and their Applications. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-642-65023-9.
• Cicchetti, R.; Faraone, A. (December 2004). "Incomplete Hankel and Modified Bessel Functions: A Class of Special Functions for Electromagnetics". IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 52 (12): 3373–3389. doi:10.1109/TAP.2004.835269.
• Jones, D. S. (October 2007). "Incomplete Bessel functions. II. Asymptotic expansions for large argument". Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. 50 (3): 711–723. doi:10.1017/S0013091505000908.