일관성과 일관성이 없는 방정식

수학에서, 특히 대수학에서, 방정식 체계(선형 또는 비선형)는 시스템의 각 방정식을 만족시키는 미지수에 대한 값들의 적어도 하나의 집합이 있다면, 즉, 각 방정식에 대입될 때, 각 방정식이 항등식으로서 참이 되게 합니다.반대로, 모든 방정식을 만족하는 미지수의 값 집합이 없는 경우 선형 또는 비선형 방정식 체계를 일관성이 없다고 합니다.^[1][2]

방정식 체계가 일치하지 않으면 2 = 1 또는 ${\displaystyle x^{}}$ $3{\displaystyle {}^{}}$+ y ${\displaystyle 5^{}}$ = 5 ${\displaystyle x^{3}$ + y$^{5$} = $5}$ ${\displaystyle \mathrm{및}}$ x $3{\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 3^{}}$ = 6 ${\displaystyle x^{3}$ + y$^{3$} ^ ${\displaystyle 3}$과 같은 모순된 정보를 얻는 방식으로 방정식을 조작하고 조합할 수 있습니다.}$= 6}($5 $=$ 6을 의미함).

일관성과 일관성이 없는 두 유형의 방정식 시스템은 모두 과도하게 결정되거나(무모식보다 더 많은 방정식이 있음), 과소 결정되거나(무모식보다 더 적은 방정식이 있음) 정확히 결정될 수 있습니다.

간단한 예시

과소결정되고 일관됨

시스템을

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+z&=3,\x+y+2z&=4\end{aligned}}$

는 무한히 많은 해를 가지며, 모든 해는 z = 1을 가지며(두 번째 방정식에서 첫 번째 방정식을 빼면 알 수 있음), 따라서 모든 해는 x와 y의 값에 대해 x + y = 2를 갖습니다.

비선형 시스템

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}+z^{2}}&=10,\\x^{2}+y^{2}&=5\end{aligned}}$

는 $z$ =${\displaystyle }$± ${\displaystyle 5}$를 포함하는 무한한 솔루션을 가지고 있습니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$z =\$pm {\sqrt {5}}}$

이 시스템들은 각각 하나 이상의 솔루션을 가지고 있기 때문에 불확정 시스템입니다.

결정이 부족하고 일관성이 없음

시스템을

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+z&=3,\x+y+z&=4\end{aligned}}$

는 해가 없습니다. 첫 번째 식을 초에서 빼서 불가능한 0 = 1을 구하면 알 수 있습니다.

비선형 시스템

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=17,\x^{2}+y^{2}+z^{2}}&=14\end{aligned}}$

해가 없습니다. 한 방정식을 다른 방정식에서 빼면 불가능한 0 = 3을 얻을 수 있기 때문입니다.

정확하게 결정되고 일관됨

시스템을

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=3,\x+2y&=5\end{aligned}}$

는 정확히 하나의 솔루션을 갖습니다. x = 1, y = 2.

비선형 시스템

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=1,\x^{2}+y^{2}&=1\end{aligned}}$

는 두 가지 솔루션 (x, y) = (1, 0) 및 (x, y) = (0, 1)을 갖지만

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{3}+y^{3}+z^{3}}&=10,\\x^{3}+2y^{3}+z^{3}&=12,\\3x^{3}+5y^{3}+3z^{3}&=34\end{aligned}}$

세 번째 방정식은 첫 번째 방정식에 두 번째 방정식의 두 배를 더한 것이므로 독립적인 정보를 포함하지 않기 때문에 무한한 수의 해를 갖습니다. 따라서 임의의 z 값을 선택할 수 있고 x와 y의 값은 첫 번째 두 (그리고 따라서 세 번째) 방정식을 만족합니다.

정확하게 결정되고 일관성이 없음

시스템을

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=3,\4x+4y&=10\end{aligned}}$

해가 없습니다. 불일치는 첫 번째 방정식에 4를 곱하고 두 번째 방정식을 빼서 불가능한 0 = 2를 구하면 알 수 있습니다.

저도 마찬가지예요.

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{3}+y^{3}+z^{3}}&=10,\\x^{3}+2y^{3}+z^{3}&=12,\\3x^{3}+5y^{3}+3z^{3}&=32\end{aligned}}$

첫 번째 방정식에 두 번째 방정식을 곱한 값에서 세 번째 방정식을 뺀 값이 모순 0 = 2를 포함하기 때문에 일관성이 없는 시스템입니다.

과도하게 결정되고 일관됨

시스템을

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=3,\x+2y&=7,\4x+6y&=20\end{aligned}}$

는 처음 두 방정식이 서로 모순되지 않고 세 번째 방정식이 중복되기 때문에(각각에서 2를 곱하고 합하여 처음 두 방정식에서 얻을 수 있는 것과 동일한 정보를 포함하므로) x = –1, y = 4의 해를 갖습니다.

시스템을

${\displaystyle {\begin{aligned}x+2y&=7,\3x+6y&=21,\7x+14y&=49\end{aligned}}$

는 3개의 방정식 모두 서로 동일한 정보를 제공하기 때문에 무한해를 갖습니다(첫 번째 방정식에 3 또는 7을 곱하면 알 수 있습니다).임의의 y 값은 솔루션의 일부이며 x 값은 7 – 2y입니다.

비선형 시스템

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}-1&=0,\y^{2}-1&=0,\\\(x-1)(y-1)&=0\end{aligned}}$

에는 세 가지 솔루션 (x, y) = (1, –1), (–1, 1), (1, 1)이 있습니다.

과도하고 일관성이 없음

시스템을

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=3,\x+2y&=7,\4x+6y&=21\end{aligned}}$

마지막 방정식이 처음 두 개부터 두 개까지 각각을 2로 곱하고 합하면 알 수 있듯이 처음 두 개에 포함된 정보와 모순되기 때문에 일관성이 없습니다.

시스템을

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=1,\x^{2}+2y^{2}&=2,\2x^{2}+3y^{2}&=4\end{aligned}}$

처음 두 방정식의 합이 세 번째 방정식과 모순되기 때문에 일관성이 없습니다.

일관성 기준

위의 예에서 볼 수 있듯이, 일관성 대 불일치는 방정식과 미지수의 수를 비교하는 것과는 다른 문제입니다.

선형계

선형 시스템은 계수 행렬이 증강 행렬(추가 열이 추가된 계수 행렬, 해당 열이 상수의 열 벡터)과 같은 순위를 갖는 경우에만 일관됩니다.

비선형 시스템

참고문헌