외설적 연속체

점 집합 위상에서, 외설적인 연속체는 외설적인 연속체로서, 즉, 적절한 아대륙 중 어떤 두 개의 결합으로도 표현할 수 없는 연속체다.1910년, L. E. J. 브루워는 외설적인 연속체를 최초로 묘사했다.

외설적인 연속체는 토폴로지스트들에 의해 백반샘플의 원천으로 사용되어 왔다.그것들은 또한 역동적인 시스템에서도 발생한다.

정의들

연속체 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$은(는) 비어 있지 않은 소형 연결 메트릭 공간이다.호, n-sphere 및 힐버트 큐브는 경로로 연결된 연속체의 예로서, 위상학자의 사인 곡선과 바르샤바 원은 비경로 연결 연속체의 예다.연속체 $C{\displaystyle }${\$displaystyle C}$의 아진공 $C{\displaystyle {}^{}}$} ${\$ C$'}$은 C ${\displaystyle C}$의 닫히고 연결된 부분 집합이며$,$ 한 지점이 아닌 경우에는 공간이 소멸되지 않는다.A continuum ${\displaystyle C}$ is decomposable if there exist two nondegenerate subcontinua ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ of ${\displaystyle C}$ such that ${\displaystyle A\neq C}$ and ${\displaystyle B\neq C}$ but ${\displaystyle A\cup B=C}$. A continuum that i분해할 수 없는 것은 외설적인 연속이다.모든 아진공이 외설적인 연속체$$ $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$는 유전적으로 외설적이라고 한다.A composant of an indecomposable continuum ${\displaystyle C}$ is a maximal set in which any two points lie within some proper subcontinuum of ${\displaystyle C}$. A continuum ${\displaystyle C}$ is irreducible between ${\displaystyle c}$ and ${\displaystyle c'}$ if ${\displaystyle c,$$C'\in C}$과(와) 두 점을 모두 포함하는 적절한 하위 연속성 없음.외설적인 연속체는 그 두 가지 점들 사이에서 설명할 수 없다.^[1]

역사

In 1910 L. E. J. Brouwer described an indecomposable continuum that disproved a conjecture made by Arthur Moritz Schoenflies that, if ${\displaystyle X_{1}}$ and ${\displaystyle X_{2}}$ are open, connected, disjoint sets in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ such that ${\displa$$ystyle \partial X_{1}=\partial X_{2}}:$$\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}{}_{}}$= ${\displaystyle \mathrm{\partial }}$ X ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$}}은 닫히고 연결된 두 개의 적절한 하위 집합의 조합이어야 한다$$.^[2]지그문트 야니스체프스키는 버킷 손잡이의 버전을 포함하여 그러한 추잡한 연속체를 더 묘사했다.그러나 Janiszewski는 이러한 연속체의 재확정성에 초점을 맞췄다.1917년 요네야마 구니조는 공통의 경계선이 외설적인 와다 호(와다 다케오의 이름을 딴 이름)를 묘사했다.1920년대에는 강제적인 연속체가 병리학적 백반증으로서가 아니라 그들 자신의 이익을 위해 바르샤바 수학대학에 의해 연구되기 시작했다.Stefan Mazurkiewicz가 처음으로 외설성에 대한 정의를 내렸다.1922년 브론리스와프 크나스터는 유전적으로 외설적인 연속체의 첫 번째 발견인 사이비 아크를 묘사했다.^[3]

버킷 핸들 예

외설적인 연속체는 내포된 교차로 시퀀스의 한계로, 또는 (더 일반적으로) 연속체 시퀀스의 역 한계로 구성되는 경우가 많다.버키탄들 또는 브루워-자니스체프스키-카스터 연속체는 종종 외설적인 연속체의 가장 단순한 예로 간주되며, 그렇게 구성될 수 있다(오른쪽 위 참조).또는 평면 내 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ ${\mathcal$ {$C}$축의$$$$${\displaystyle }$[${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$[$0$$,1]$ 간격에 투영된$$ Cantor ternary set $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ {\mathcal}을(를)를 취하십시오.C ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\$을$({\displaystyle }$를) 중심(${\displaystyle 1/2\mathrm{}}$, ${\displaystyle 0)}$을(를) $가진{\displaystyle }$ x$${\$displaystyle (1/2,0)$과 $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이 점에 대해 대칭)의$$ 끝점을 가진 세미클 계열로 $한다.$Let ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$ be the family of semicircles below the ${\displaystyle x}$-axis with center the midpoint of the interval ${\displaystyle [2/3,1]}$ and with endpoints in ${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap [2/3,1]}$. Let ${\display$$style {\mathcal {C}}_{i}}$ be the family of semicircles below the ${\displaystyle x}$-axis with center the midpoint of the interval ${\displaystyle [2/3^{i},3/3^{i}]}$ and with endpoints in ${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap [2/3^{i},3/3^{i}]}$. Then th이러한 모든 $C{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 조합은 버킷 핸들이다$$.^[4]

버킷 핸들은 보렐 횡단(Borel transversal)을 허용하지 않는다. 즉, 각 합성물로부터 정확히 한 점을 포함하는 보렐 세트가 없다.

특성.

어떤 의미에서 '대부분' 연속체는 외설적이다.Let ${\displaystyle M}$ be an ${\displaystyle n}$-cell with metric ${\displaystyle d}$, ${\displaystyle 2^{M}}$ the set of all nonempty closed subsets of ${\displaystyle M}$, and ${\displaystyle C(M)}$ the hyperspace of all connected members of ${\displaystyle 2^{M}}$ equipped with the Hausdorff metric ${\displaystyle H_{d}}$ defined by ${\displaystyle H_{d}(A,B)=\max\{\sup\{d(a,B):a\in A\},\sup\{d(b,A):b\in B\}\}}$.그런 $다음{\displaystyle }$ M ${\displaystyle$M}의 비데오성 외삽성 아대륙 집합은 $C$ ( ${\displaystyle M}$ )${\displaystyle C(M)}$에 밀도가 있다$.$

동적 시스템에서는

1932년 조지 비르코프는 불변 연속체를 포함하는 환형의 동형상인 그의 "놀라운 닫힌 곡선"을 묘사했다.마리 샤르펜티어는 이 연속체가 외설적이라는 것을 보여주었는데, 외설적인 연속체에서 역동적인 시스템으로 연결되는 첫 번째 연결고리였다.특정 스마일 편자 지도의 불변 집합은 양동이의 손잡이다.마시 바지선과 다른 사람들은 역동적인 시스템에서 외설적인 연속체를 광범위하게 연구해왔다.^[5]

참고 항목

• 외설성(건설수학)
• 와다의 호수, 경계선이 외설적인 연속선인 비행기의 세 개의 열린 부분군
• 솔레노이드
• 시에르핀스키 카펫

참조

외부 링크

• Solecki, S. (2002). "Descriptive set theory in topology". In Hušek, M.; van Mill, J. (eds.). Recent progress in general topology II. Elsevier. pp. 506–508. ISBN 978-0-444-50980-2.
• Casselman, Bill (2014), "About the cover" (PDF), Notices of the AMS, 61: 610, 676 브루워가 그의 외설적인 연속체를 찍은 사진이 저널의 앞표지에 나타나게 된 것을 설명한다.