유도 미터법

수학 및 이론물리학에서 유도 메트릭은 서브매니폴드에 정의된 메트릭 텐서로서 서브매니폴드가 내장된 다지관의 메트릭 텐서로부터 풀백을 통해 유도된다.^[1]풀백 연산의 구성요소 형태인 다음 공식(아인슈타인 합계 규약을 사용하여)을 사용하여 결정할 수 있다.^[2]

${\displaystyle g_{ab}=\partial _{a}X^{\mu }}\partial _{b}X^{\nu }g_{\mu \nu \}\}}}$

$여기$서 ${\displaystyle a$ b ${\displaystyle b}$은(는) 하위 ${\displaystyle {manifold}^{}}$의$${\$displaystyle \xi$ $^{$$a}}$ 좌표 지수를 설명하고$$, ${\displaystyle X^{}}$ ${\displaystyle {\mu }^{}{}^{}}$는${\displaystyle {}^{}}${\$displaysty$ $X^{a}$은 접선 지수를 $나타내는{\displaystyle }$ 고차원 다지수에 내장을 표시한다$.$$스타일 \mu },$$\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu$ $\}.$

예제 – 토러스 위의 곡선

내버려두다

${\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {C}}\to \mathbb {R} ^{3},\ \tau \mapsto {\begin{cases}{\begin{aligned}x^{1}&=(a+b\cos(n\cdot \tau ))\cos(m\cdot \tau )\\x^{2}&=(a+b\cos(n\cdot \tau ))\sin(m\cdot \tau )\\x^{3}&=b\sin(n\cdot \tau ).\end{aigned}\end{case}}$

be a map from the domain of the curve ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ with parameter ${\displaystyle \tau }$ into the Euclidean manifold ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Here ${\displaystyle a,b,m,n\in \mathbb {R} }$ are constants.

그런 다음 R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 대한 메트릭이$$ 다음과 같이 제공된다.

${\displaystyle g=\sum \limits _{\mu ,\nu }g_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\otimes \mathrm {d} x^{\nu }\quad {\text{with}}\quad g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$.

그리고 우리는 계산한다.

${\displaystyle g_{\tau \tau }=\sum \limits _{\mu ,\nu }{\frac {\partial x^{\mu }}{\partial \tau }}{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial \tau }}\underbrace {g_{\mu \nu }} _{\delta _{\mu \nu }}=\sum \limits _{\mu }\left({\frac {\partial x^{\mu }}{\partial \tau }}\right)^{2}=m^{2}a^{2}+2m^{2}ab\cos(n\cdot \tau )+m^{2}b^{2}\cos ^{2}(n\cdot \tau )+b^{2}n^{2}}$

Therefore ${\displaystyle g_{\mathcal {C}}=(m^{2}a^{2}+2m^{2}ab\cos(n\cdot \tau )+m^{2}b^{2}\cos ^{2}(n\cdot \tau )+b^{2}n^{2})\,\mathrm {d} \tau \otimes \mathrm {d} \tau }$

참고 항목

• 첫 번째 기본 형태

참조