인피니터리 콤비네이터틱스

수학에서, 비위생적 결합론, 즉 결합 집합론은 결합론에서의 사상을 무한 집합으로 확장한 것이다. 연구한 것 중에는 연속 그래프와 나무, 램지의 정리 확장, 마틴의 공리 등이 있다. 최근의 발전은 단수 추기경의 후계자에 대한 연속성과^[1] 결합에 관한 것이다.^[2]

무한 집합에 대한 램지 이론

서수의 경우 ,, ,, 기수의 경우 m, 자연수의 경우 n을 쓴다. Erdős & Rado(1956)는 표기법을 도입했다.

${\displaystyle \kappa \rightarrow (\lambda )_{m}^{n}}}}$

즉, $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$의 n-properties 하위 집합의 [ partition]ⁿ 집합의 모든 파티션은 동일한 순서 유형 λ을 가지고 있다는 것이다. 이 경우 균일한 집합은 모든 n-element 하위 집합이 파티션의 동일한 요소에 있도록 κ의 하위 집합이다. m이 2일 때 그것은 종종 생략된다.

선택 공리를 가정하면 κ→(Ω)의 서수 κ이 없기 때문에 n은 보통 유한한 것으로 취한다.^ω n이 거의 무한대로 허용되는 확장자는 표기법이다.

${\displaystyle \kappa \rightarrow (\lambda )_{m}^{<\omega}}}}}$

즉, κ의 유한 부분 집합의 모든 부분 집합이 m 조각으로 되어 있는 것으로서, 유한 n의 경우, n 크기의 모든 부분 집합이 칸막이의 동일한 요소에 있도록 순서 λ의 부분집합을 가지고 있다. m이 2일 때 그것은 종종 생략된다.

또 다른 변화는 표기법이다.

${\displaystyle \kappa \rightarrow (\lambda ,\mu )^{n}}}$

즉, colors의 n-element 부분 집합[element]ⁿ의 모든 색상은 λ의 모든 원소가 첫 번째 색을 갖도록 순서형 subset의 부분집합을 가지거나, 또는 [μ]ⁿⁿ의 모든 원소가 두 번째 색을 갖도록 순서형 μ의 부분집합을 갖는다는 것이다.

$여기$에는 다음과 같은 속성이 포함된다. $({\displaystyle \kappa }$이(가$$) 다음에 나오는 속성은 추기경임)

${\displaystyle {\mathrm{\aleph }}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$→ ${\displaystyle ({\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}{}_{}^{}}$) ${\displaystyle k_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ 화살표 $(\aleph _{0}_{k}^{n}}}}}}$ 모든 유한 n과 k (램지의 정리)에$$ 대해.

${\displaystyle {\beth }_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$+${\displaystyle {}_{}^{}}$→ (${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}{}_{}^{}}$1 ) ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}_{}^{}}$ 0${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}^{}}$ + 1$${\$displaystyle \beth _{n}^{$n}}\$오른쪽$ 화살표 (\$aleph _{1}_{0}^{n+1})$ $$(Erdős–Rado 정리)

${\displaystyle 2^{}{}^{}}$ (${\displaystyle }$+${\displaystyle {}^{}}$+${\displaystyle {}^{}{}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ $$(Sierpiński 정리)

${\displaystyle 2^{\kappa }\\not \rightarrow (3)_{\\kappa }^{2}}$

${\displaystyle \kappa }$→${\displaystyle }$(${\displaystyle \kappa }$,${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}{}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$Erdős–Dushnik–Miller 정리).

값을 매길 수 없는 우주에서 무한 지수를 갖는 파티션 속성은 유지될 수 있으며, 그 중 일부는 결정성(AD)의 공리의 결과로 얻어진다. 예를 들어, 도날드 A. 마틴은 AD가 암시하는 것을 증명했다.

${\displaystyle \aleph _{1}\오른쪽 화살표(\aleph _{1}){2}^{\aleph _{1}}}$

큰 추기경

이 표기법을 사용하여 몇 가지 큰 추기경 특성을 정의할 수 있다. 특히:

• 약소형 추기경 cardinals은 κ→(κ)²를 만족하는 추기경이다.
• α-에르드스 추기경 α는 α→(α)^<ω를 만족시키는 가장 작은 것이다.
• 램지 추기경 κ은 κ→(κ)^<ω를 만족시키는 자이다.

메모들

참조

• Dushnik, Ben; Miller, E. W. (1941), "Partially ordered sets", American Journal of Mathematics, 63 (3): 600–610, doi:10.2307/2371374, hdl:10338.dmlcz/100377, ISSN 0002-9327, JSTOR 2371374, MR 0004862
• Erdős, Paul; Hajnal, András (1971), "Unsolved problems in set theory", Axiomatic Set Theory ( Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967), Proc. Sympos. Pure Math, vol. XIII Part I, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., pp. 17–48, MR 0280381
• Erdős, Paul; Hajnal, András; Máté, Attila; Rado, Richard (1984), Combinatorial set theory: partition relations for cardinals, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, vol. 106, Amsterdam: North-Holland Publishing Co., ISBN 0-444-86157-2, MR 0795592
• Erdős, P.; Rado, R. (1956), "A partition calculus in set theory", Bull. Amer. Math. Soc., 62 (5): 427–489, doi:10.1090/S0002-9904-1956-10036-0, MR 0081864
• Kanamori, Akihiro (2000). The Higher Infinite (second ed.). Springer. ISBN 3-540-00384-3.
• Kunen, Kenneth (1980), Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, Amsterdam: North-Holland, ISBN 978-0-444-85401-8