인프라(숫자 이론)

수학에서 인프라는 글로벌 분야에서 나타나는 집단 같은 구조다.

역사적 발전

1972년, D.Shanks 먼저 그리고 O에서 그러한 분야의 조절기를 계산하기 위해 그의baby-stepgiant-step 알고리즘 적용되는 실제 2차 번호 필드의 기반이 D.(D1/4+ε){\displaystyle{{O\mathcal}}(D^{1/4+\varepsilon})}이항 연산(모든 ε 을, 0{\displaystyle \varepsilon>0}), 발견했는데 {\d$isplaystyle D}$은(는) 2차 필드의 판별이며, 이전 방법에서는 $O{\displaystyle \mathcal{}({D\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$/ 2${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {\epsilon }^{}}$) ${\displaystyle {\mathcal {O}(D^{1/2+\varipsilon })}$개의$$ 이진 연산이 필요했다.^[1]10년 후, H. W. Lenstra는 "원형 그룹"이라는 관점에서 실제 2차 수 영역의 인프라를 기술하는 수학적 프레임워크를 발표했다^[2].그것은 R에 의해서도 설명되었다.Schoof와^[3] H. C. Williams,^[4] G. W. Lilck, B. K. Schmid가 나중에 유닛 1위의^[5][6] 특정 세제곱 번호 필드로 확장하고, J. Buchmann과 H. C. Williams가 유닛 1의 모든 숫자 필드로 확장했다.^[7]J. Buchmann은 habilitation 논문에서 임의 단위 등급의 수 분야의 조절기를 계산하는 베이비 스텝 거인 스텝 알고리즘을 제시했다.^[8]임의 단위 등급의 수 필드의 인프라에 대한 첫 번째 설명은 R에 의해 제공되었다.2008년 아라켈로프 디비저를 이용한 스쿠프.^[9]

기반시설은 다른 글로벌 분야, 즉 유한 분야에 걸친 대수 함수 분야에도 대해 설명되었다.이것은 A에 의해 먼저 행해졌다.실제 과대망상 기능 분야의 경우 스타인과 H. G. 짐머.^[10]단위 순위 R의 특정 큐빅 함수 분야로 확장되었다.셰이들러와 A.스타인.^[11][12] 1999년에 S. Paulus와 H.G. Rück는 실제 이차 함수 영역의 인프라를 divisor class 그룹과 연관시켰다.^[13]이 연결은 R과 결합하여 임의 함수 필드로 일반화할 수 있다.스쿠프의 결과는, 전 세계 모든 분야에.^[14]

1차원 케이스

추상적 정의

(X, d){\displaystyle(X,d)}은 실수의 R을 구성하는 1차원(추상)인프라;0{\displaystyle R>0},들은 한정된 X세트 같이injective 지도 d로 X→ R/RZ{\displaystyle d:X\to \mathbb{R}/R\mathbb{Z}}그 지도 d{\displ .[15]∅{X\neq \emptyset\displaystyle}≠.aystyle d}$$ 흔히 거리 지도라고 불린다.

$R{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$을(를) $둘레{\displaystyle }$ R ${\\displaystyle R$}의 원으로$$ 해석하고$$ $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle X$$}$을${\displaystyle (}$를$)$ d ($)$로 식별함으로써 1차원 인프라를 유한한 점 집합의 원으로 볼 수 있다$.$

베이비 스텝

아기 단계는 단항 수술 $b{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ X ${\displaystyle bs:$1차원 인프라$({\displaystyle X}$, d${\displaystyle }$) ${\d$ ${\displaystyle \mathrm{디스플레이}}$ 스타일$(X,d)}$의 $X\to$ X$\}.$ 인프라를 원으로 시각화하면 아기 단계는 $d{\displaystyle (}$ ${\displaystyle X}$) ${\디스플레이$ 스타일 $d(X)}$의 각 포인트를 다음 포인트로 할당한다.형식적으로 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in$ X$}$에 실제 숫자 { f > )+ ${\displaystyle f_{x}$에 할당하면 이를 정의할 수 있다.$=\inf\{f'}0\mid d(x)+f'\in d(X)\}}$을를) 정의하면 b ${\displaystyle s(}$ x${\displaystyle }$) ${\displaystyle :=}$ d${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}d}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ $){\dapplaystyle bs(x$) $:=d^{-1}(x)+f_{x}}}}}$를 정의할 수 있다$.$

거대한 단계 및 축소 맵

Observing that ${\displaystyle \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$ is naturally an abelian group, one can consider the sum ${\displaystyle d(x)+d(y)\in \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$ for ${\displaystyle x,y\in X}$. In general, this is not an element of ${\displaystyle d$$(X)}$. 그러나 대신 근처에 있는$$ $d{\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle d(X)}$의 요소를 가져갈 수 있다.To formalize this concept, assume that there is a map ${\displaystyle red:\mathbb {R} /R\mathbb {Z} \to X}$; then, one can define ${\displaystyle gs(x,y):=red(d(x)+d(y))$$}:$${\displaystyle \mathrm{X<img\; alt="gs(x,y):=red(d(x)+d(y))"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/bd87a794f8d800eb615a4a7c188af3f522b3a832"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:27.813ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="115">}}$ ${\displaystyle \times }$ X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle gs:$$X\time X\to X}$라는 이름의 거대한 스텝 작업$.$이 작업은 일반적으로 연관성이 없다는 점에 유의하십시오.

주요 난관은 지도 r ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle red}$을(를) 선택하는 방법이다$.$ $r{\displaystyle }$ e ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{d}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 조건을 갖기를 원한다고 가정하면$,$ 다양한 가능성이 남아 있다.One possible choice^[15] is given as follows: for ${\displaystyle v\in \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$, define ${\displaystyle f_{v}:=\inf\{f\geq 0\mid v-f\in d(X)\}}$; then one can define ${\displaystyle red(v):=d^{-1}(v-f_{v})}$.다소 자의적으로 보이는 이 선택은 글로벌 분야에서 인프라를 확보하려 할 때 자연스럽게 나타난다.^[14]Other choices are possible as well, for example choosing an element ${\displaystyle x\in d(X)}$ such that ${\displaystyle d(x)-v }$ is minimal (here, ${\displaystyle d(x)-v }$ is stands for ${\displaystyle \inf\{ f-v \mid f\in d(x)\}}$, ${\displaystyle d}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle d(x)}$이(가) $v{\displaystyle }$+ R ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$ 형식인 것처럼;$$ 실제 이차적 과대증 기능 분야의 경우 가능한 한 가지 구성은 S. D. Galbraith, M. Harrison 및 D. J. Meralles.^[16] Morales가 제공한다.

실제 2차장과의 관계

D. Shanks는 감소된 이항 2차 형태의 주기를 살펴볼 때 실제 2차 수 필드에서 기반구조를 관찰했다.이항 2차 형태 감소와 지속적인 분수 팽창 사이에는 밀접한 관계가 있다. 특정 2차적 비합리성의 지속적인 분수 팽창의 한 단계에서는 감소된 형태의 집합에 대한 일차적인 연산을 제공하며, 이는 하나의 동등성 등급에서 감소된 모든 형태를 순환한다.이 모든 축소된 형태를 사이클로 배열하면서, 샨크스는 그러한 두 가지 형태를 구성하고 결과를 줄임으로써 원초로부터 더 멀리 떨어진 축소된 형태로 빠르게 점프할 수 있다는 것을 알아챘다.그는 이 2진법 수술을 축소된 형태들의 집합에서 거대한 단계라고 불렀고, 사이클에서 다음 축소된 형태로 가는 수술은 아기 단계라고 불렀다.

$R{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$에 대한 관계

세트 $R{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$는) 자연 그룹 연산을 가지며$$, 그 관점에서 거대 단계 연산을 정의한다.Hence, it makes sense to compare the arithmetic in the infrastructure to the arithmetic in ${\displaystyle \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$. It turns out that the group operation of ${\displaystyle \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$ can be described using giant steps and baby steps, by representing elements of ${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle /}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$$\mathb$${Z$$}$$$$X$의 요소별$$ 비교적 작은 실수와 함께$$, D에 의해 처음 설명되었다.Hühnlein과 S. Paulus^[17] 그리고 M. Jacobson, Jr., R. Scheidler 및 H. C. Williams에^[18] 의해 실제 2차 수 분야에서 얻은 인프라의 경우.그들은 실제 숫자를 나타내기 위해 부동 소수점 숫자를 사용했고, 이러한 표현들을 CRIAD-표현 resp.${\displaystyle }$(${\displaystyle f}$, p${\displaystyle }$) ${\디스플레이스타일 (f,p)}$ -표현이라고$$ 불렀다.보다 일반적으로는 모든 1차원 인프라에 대해 유사한 개념을 정의할 수 있다. 이러한 개념을 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ - 표현이라고$$ 부르기도 한다.^[15]

A set of ${\displaystyle f}$-representations is a subset ${\displaystyle fRep}$ of ${\displaystyle X\times \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$ such that the map ${\displaystyle \Psi _{fRep}:fRep\to \mathbb {R} /R\mathbb {Z} ,\;(x,f)\mapsto$$d(x)+f}$ is a bijection and that ${\displaystyle (x,0)\in fRep}$ for every ${\displaystyle x\in X}$. If ${\displaystyle red:\mathbb {R} /R\mathbb {Z} \to X}$ is a reduction map, ${\displayst$$yle fRep_{red}:=\{(x,f)\in X\times \mathbb {R} /R\mathbb {Z} \mid red(d(x)+f)=x\}}$ is a set of ${\displaystyle f}$-representations; conversely, if ${\displaystyle fRep}$ is a set of ${\displaystyle f}$-representations, one can obtain a reduction map by setting ${\displaystyle red(f)={\pi }_1({\mathrm{\Psi }}_{fRep}^{-1}(f))}$${\displaystyle red(f)=\pi _{1}(\Psi _{fRep}^{-1}(f))}$, where ${\displaystyle \pi _{1}:X\times \mathbb {R} /R\mathbb {Z} \to X,\;(x,f)\mapsto x}$ is the projection on $X$.따라서, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}-$표현$$ 및 축소 지도 세트는 일대일 대응으로 이루어진다.

Using the bijection ${\displaystyle \Psi _{fRep}:fRep\to \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$, one can pull over the group operation on ${\displaystyle \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$ to ${\displaystyle fRep}$, hence turning ${\displaystyle fRep}$ into an abelian group${\displaystyle }$(${\displaystyle f}$ R e ${\displaystyle p}$,${\displaystyle }$+${\displaystyle }$)$$$by$ x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle y}$:=${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle f_{}^{}}$ ${\displaystyle R_{}^{}}$ ${\displaystyle e_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{p}}_{}^{}}$- 1 (${\displaystyle {}_{}^{}{\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ R ${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ R ${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$y${\displaystyle }$)${\displaystyle$x+$y:=\}$$Psi _{fRep}^{-1}(\Psi _{fRep}(x)+\Psi _{fRep}(y))}$, ${\displaystyle x,y\in fRep}$. In certain cases, this group operation can be explicitly described without using ${\displaystyle \Psi _{fRep}}$ and ${\displaystyle d}$.

In case one uses the reduction map ${\displaystyle red:\mathbb {R} /R\mathbb {Z} \to X,\;v\mapsto d^{-1}(v-\inf\{f\geq 0\mid v-f\in d(X)\})}$, one obtains ${\displ$$aystyle fRep_{red}=\{(x,f)\mid f\geq 0,\;\forall f'\in [0,f):d(x)+f'\not \in d(X)\}}$. Given ${\displaystyle (x,f),(x',f')\in fRep_{red}}$, one can consider ${\displaystyle (x'',f'')}$ with ${\displaystyle x''=gs(x,x')}$ and ${\displaystyle f^{″}=}$${\displaystyle f''=f+f'+(d(x)+d(x')-d(gs(x,x')))\geq 0}$; this is in general no element of ${\displaystyle fRep_{red}}$, but one can reduce it as follows: one computes ${\displaystyle bs^{-1}(x'')}$ and ${\displaystyle f^{″}-(d(x^{″}}$${\displaystyle f''-(d(x'')-d(bs^{-1}(x'')))}$; in case the latter is not negative, one replaces ${\displaystyle (x'',f'')}$ with ${\displaystyle (bs^{-1}(x''),f''-(d(x'')-d(bs^{-1}(x''))))}$ and continues. If the value was negative, one has that ${\displaystyle (x'',f'')\in fRep_{red}}$ and that ${\displaystyle \Psi _{fRep_{red}}(x,f)+\Psi _{fRep_{red}}(x',f')=\Psi _{fRep_{red}$$}}($${\displaystyle x}$$'),f$${\displaystyle }$예${\displaystyle :}$ (${\displaystyle x}$, f ) +${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \prime ,}$f${\displaystyle (}$ ) = ( x ${\displaystyle ″,}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {″}^{}}$ )${\displaystyle (x,f)+(x',f')=(x',f$

참조