이항 2차 형태

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수학에서 이항 2차 형태는 두 변수에서 2차 동종 다항식이다.

${\displaystyle q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2},\,}$

여기서 a, b, c는 계수다. 계수가 임의의 복잡한 숫자일 수 있는 경우 대부분의 결과는 두 변수의 경우에 특정되지 않기 때문에 2차적 형태로 설명된다. 정수 계수가 있는 2차 형태를 적분 2차 형태라고 하며, 종종 2차 형태로 축약된다.

이 글은 완전히 2차적 일체형 형식에 전념하고 있다. 이러한 선택은 대수적 숫자 이론의 발달의 원동력으로서의 그들의 지위에 의해 동기가 부여된다. 19세기 후반 이후, 2진법 2진법 형태는 대수적 수 이론의 탁월성을 2진법적이고 더 일반적인 수 분야로 포기해 왔지만, 2진법 형태에 특화된 진보는 여전히 때때로 일어난다.

Pierre Fermat stated that if p is an odd prime then the equation ${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$ has a solution iff ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}$, and he made similar statement about the equations ${\displaystyle p=x^{2}+2y^{2}}$, ${\displaystyle p=x^2+3y^2}$${\displaystyle p=x^{2}+3y^{2}}$, ${\displaystyle p=x^{2}-2y^{2}}$ and ${\displaystyle p=x^{2}-3y^{2}}$. ${\displaystyle x^{2}+y^{2},x^{2}+2y^{2},x^{2}-3y^{2}}$ and so on are quadratic forms, and the theory of quadratic 형식은 이러한 이론들을 보고 증명하는 통일된 방법을 제공한다.

2차 형태의 또 다른 예는 Pell의 방정식 ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2 -${\displaystyle {}^{}n}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ x$^{2}-ny^{2}=1}$이다$.$

이항 2차 형식은 2차 영역의 이상과 밀접하게 관련되어 있으며, 이는 주어진 판별의 감소된 이항 2차 형식 수를 계산하여 이항 필드의 클래스 번호를 계산할 수 있다.

2개의 변수의 고전적인 세타 함수는 $\sum {\displaystyle \underset{}{}}$(${\displaystyle \underset{}{m}}$, ${\displaystyle \underset{}{n}}$) ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ ${\displaystyle \underset{}{{\mathbb{}}^{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{{\mathrm{}}^{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{{}^{}}{}^{}}$ ${\displaystyle {{m\mathrm{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {2{}^{}}^{}}$+ n ${\displaystyle {{2\mathrm{}}^{}}^{}}$ ${\$}이다.$\}\}\}\},$ $f{\displaystyle (x}$, $){\displaystyle$ f($x,y)}}$이(가) 양의 확정 ${\displaystyle \underset{}{{}^{}}{}^{}}$ 형태라면${\displaystyle \underset{\sum (m}{}}$, ${\displaystyle \underset{}{n}}$)${\displaystyle \underset{}{}}$Z ${\displaystyle \underset{}{{\mathrm{}}^{}}}$ ${\displaystyle {f(m}^{}}$ ${\displaystyle {,}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ )${\$$^{f(m,n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

등가성

다음과 같은 조건이$$ 유지되도록 정수 $\alpha {\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \beta ,}$ ${\displaystyle \gamma \text{및}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,{\text{},$}}\$delta$}이(가) 있는 경우 f와 g를 등가라고 한다.

${\displaystyle {\displaysty}f(\cHB x+\cHB y,\cHB x+\cHB y)&=g(x,y),\\\cHB \cHB -\cHB \cHB &=1.\end{정렬}}}$

For example, with ${\displaystyle f=x^{2}+4xy+2y^{2}}$ and ${\displaystyle \alpha =-3}$, ${\displaystyle \beta =2}$, ${\displaystyle \gamma =1}$, and ${\displaystyle \delta =-1}$, we find that f is equivalent to ${\displaystyle g=(-3x+2y{)}^2+4(-3x+2y}$${\$${2}+4(-3x+2y)(x-y)+2(x-y)^{2}}:$ .$$. . . ${\displaystyle {}^{}}{\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle x}$ y${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ + $4xy-2y^{2$

위의 동등성 조건은 적분 2차 형태 집합에 대한 동등성 관계를 정의한다. 2차 형태는 2차 형태라고 불리는 동등성 등급으로 분할되는 것을 따른다. 클래스 불변제는 양식의 동등성 클래스에 정의된 함수 또는 동일한 클래스의 모든 양식에 의해 공유되는 속성을 의미할 수 있다.

라그랑주(Lagrange)는 두 번째 조건이 ${\displaystyle \mathrm{\alpha }}$ ${\displaystyle \Delta }$ -${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$=${\displaystyle }$± 1$(\displaystyle \alpha \delta$ -$\beta \gamma =\pm$1)로 대체되는 등가당성의 다른 개념을 사용했다$.$ 가우스 이후 이 정의는 위에서 주어진 정의보다 열등하다는 것이 인정되었다. 구별할 필요가 있는 경우, 위의 정의를 사용하여 적절하게 등가라고 하고, 라그랑주의 의미에서는 등가라면 부적절하게 등가라고 하는 경우도 있다.

매트릭스 용어로, 아래에 가끔 사용된다.

${\displaystyle {\pmatrix}\reason &\reason &\reason \end{pmatrix}}$

has integer entries and determinant 1, the map ${\displaystyle f(x,y)\mapsto f(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)}$ is a (right) group action of ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ on the set of binary quadratic forms. 그 때 위의 동등성 관계는 집단행동의 일반 이론에서 발생한다.

$f{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$ y${\displaystyle }$+ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$인 경우$,$ 중요한 불변수에는 다음이 포함된다.

• 판별 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle a}$ c ${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}$.
• a, b, c의 최대 공통점인 내용.

계급과 그 형태를 불변조건으로 분류하기 위한 용어가 생겨났다. 판별 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta}$의 형태는$$ < ${\displaystyle \Delta$ <$0}$이면 확실하고,$\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }}$이(가) 완벽한 사각형이면 변질되고, 그렇지 않으면 무한하다. 형태는 그 내용이 1이면 원시적이다. 즉, 계수가 동일하다면 말이다. 형태의 차별이 근본적인 차별이라면, 그 형태는 원시적이다.^[1] 판별자는 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$(${\displaystyle \mathrm{모드}}$ ${\displaystyle 4\mathrm{}}$)을 만족시킨다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \Delta \equiv 0,1{\pmod {4}.$$}$

자동형성

f가 2차 형태인 경우 행렬

${\displaystyle {\pmatrix}\reason &\reason &\reason \end{pmatrix}}$

in ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ is an automorphism of f if ${\displaystyle f(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)=f(x,y)}$. For example, the matrix

${\displaystyle {\pmatrix}3&-4\\\-2&3\end{pmatrix}}}$

$f{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$}-$2y^{2$ 형태의 자동형은 $S{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle L\mathbb{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$( Z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathb {Z} )}$의 하위그룹을 형성한다$.$ f가 확실하면 그룹은 유한하고 f가 무한하면 무한하고 순환적이다.

표현

2진수 2차 형식 $q{\displaystyle (x}$, y${\displaystyle }$) ${\$$displaystyle q($$x,y)}$은 $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle q(x}$ ${\displaystyle ,}$ y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$및$$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $y}$을(를$)$ 찾을$$ 수 있는 경우$$ 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $n}$을 $나타낸다$.$}}$ 그러한$$ 방정식은 n by q의 표현이다.

예

Diopantus는 홀수 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $n$$}$에$$$대해$ $n{\displaystyle }$= x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ n$=x^{2}+y^{2$}}. n${\displaystyle }$= ${\displaystyle 65}$ ${\displaystyn=65}$을(를$)$ 찾을 수 있는지 여부를 고려했다$.$^[2]

${\displaystyle {\required}65&=1^{2}+8^{2},\65&=4^{2}+7^{2},\end{aigned}}}}$

${\displaystyle \mathrm{그래서}}$ 우리는 트릭을 하는$$ 쌍$({\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 8}$ )과${\displaystyle }$(${\displaystyle }$4,${\displaystyle 7}$ ) ${\displaystyle (x,y)=(1,8){\text{과 }}}}(4,$7)을 찾는다. $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ $및$ y ${\displaystyle y}$의 값을 전환하거나 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$와 y ${\displaysty$ y}의$$기호를 변경하여 $작동$하는 쌍을 더 많이 얻는다. 모두 16개의 솔루션 쌍이$$있다. 반면에 $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle n=3}$일$$때 방정식은

${\displaystyle 3=x^{2}+y^{2}}}$

정수 해법이 없음. To see why, we note that ${\displaystyle x^{2}\geq 4}$ unless ${\displaystyle x=-1,0}$ or ${\displaystyle 1}$. Thus, ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ will exceed 3 unless ${\displaystyle (x,y)}$ is one of the nine pairs with ${\displaystyle x}$ and ${$$\displaystyle y}$은(는) 각각${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -1,0}$ 또는$$ 1과 같다. 이 9쌍을 직접 확인하여 $3{\displaystyle \mathrm{}}$= x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ y ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 그래서 방정식에 정수용액이 없다는 것을 확인할 수 있다.

유사한 인수는 각 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에$$대해 $n{\displaystyle }$ =${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ y$$ {\$displaystyle$ n$=x^{2}+y^{2}}:$ $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ x$^{2}+y^{2}}:$ $절대값{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ $displaystystystyle$ x}가$$ a$}$를 초과하지 않는 한 한정된 수의 솔루션만 가질 수 있음을$$ 보여준다.nd ${\displaystyle y}$ $displaystyle y}$은(는) $n{\displaystyle \sqrt{}}$ ${\$보다 작음$$$.$ 이 제약을 충족하는 쌍은 한정된 수 밖에 없다.

이차적 형태를 수반하는 또 다른 고대 문제는 우리에게 Pell의 방정식을 풀 것을 요구한다. 예를 들어 정수 x와 y를 구해서 $1{\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}-$2y^{2$ 용액에서 x와 y의 기호를 바꾸면 다른 해결책이 나오므로 양의 정수로만 해결하면 된다. One solution is ${\displaystyle (x,y)=(3,2)}$, that is, there is an equality ${\displaystyle 1=3^{2}-2\cdot 2^{2}}$. If ${\displaystyle (x,y)}$ is any solution to ${\displaystyle 1=x^{2}-2y^{2}}$, then ${\displa$$ystyle (3x+4y, 2x+3y)}$도 이와 같은 한 쌍이다. 예를 들어, 페어$({\displaystyle 3}$, ${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle(3,2$에서 계산한다.

${\displaystyle (3}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle 3}$+ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 2}$⋅ 3${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \cdot }$ 2${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ( ${\displaystyle 17,}$ ${\displaystyle 12}$) ${\displaystyle (3\cdot$3+$4\cdot$ 2,$2\cdot 3+3\cdot$ 2$)=(17,12$

그리고 우리는 이것이 $1{\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle {17\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {12}^{}}$ ⋅ 12 ${$ ${\displaystyle {12\mathrm{}}^{}}$ 2 {\$displaystyle 1=17^{2$}-$2\cdot 12^{2$}}을 만족하는지 확인할 수 있다${\displaystyle .}$$$이 과정을 반복하면 1$$ = ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 2 {\displaystyle$$$1=x^{2$}-$y^{2}}$: 더 많은 $쌍$ y${\displaystyle }$)을 찾을 수 있다.

${\displaystyle {\cdot}(3\cdot 17+4\cdot 12\cdot 17+3\cdot 12)&=(99,70),\(3\cdot 99+4\cdot 70)&=(577,408),\&\\vdots \end{igned}}}}$

이 값들은 크기가 계속 커질 것이기 때문에 우리는 x $2{\displaystyle {}^{}}$ - 2 ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}{}^{}2}$ ${\$ x$^{2$}-$2y^{2}}$의 $형태$로 1을 나타내는 방법이 무한히 많다는 것을 알 수 있다$.$ 이 재귀적 설명은 유클리드 원소에 대한 Smyrna의 해설 테온에서 논의되었다.

표현 문제

이항 2차 형태 이론에서 가장 오래된 문제는 표현 문제: 주어진 숫자 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 표현을 주어진 2차 형태 f로 기술하는 것이다. "Describe"는 다양한 것을 의미할 수 있다: 모든 표현을 생성하기 위한 알고리즘, 표현 수에 대한 폐쇄 공식, 또는 심지어 detit.어떤 진술이 있는지 가려내다

The examples above discuss the representation problem for the numbers 3 and 65 by the form ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ and for the number 1 by the form ${\displaystyle x^{2}-2y^{2}}$. We see that 65 is represented by ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ in sixteen different ways, 반면 1은 x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$2 ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 무한히 많은 방법으로$$ 표현되고 3은 ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 전혀$$ 표현되지 않는다. 첫 번째 사례에서는 16개의 대표성을 명시적으로 기술했다. $또한{\displaystyle {}^{}}$ x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 의한 정수의 표현 횟수는 항상 유한함을$$ 보여주었다. 제곱 함수 $r{\displaystyle {}_{}}$ 2 (${\displaystyle {}_{}n}$ )${\displaystyle r_{2}(n)}$의 합은 n의 함수로서$$ n의 표현 횟수를 x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$회까지 제공한다$$. 닫힌 공식이^[3] 있다.

${\displaystyle r_{2}(n)=4(d_{1}(n)-d_{3}(n)),}$

여기서 $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}n}$) ${\displaystyle d_{1}(n)}$은(는$)$ 1모듈로 4에 해당하는 n의 구분자 수이고 $d{\displaystyle {}_{}}$ 3$n)은$3모듈로 4에 해당하는 n의 구분자 수입니다$$.

표현 문제와 관련된 몇 가지 등급 불변제가 있다.

• 클래스로 대표되는 정수 집합. 만일 정수 n이 클래스의 형식으로 표현된다면, 클래스의 다른 모든 형태로 표현된다.
• 클래스로 표시되는 최소 절대값. 이것은 한 클래스로 대표되는 정수 집합에서 가장 작은 비음수 값이다.
• 합성계급은 계급으로 대표되는 계급의 차별을 조절한다.

한 클래스로 대표되는 최소 절대값은 퇴보한 클래스의 경우 0이고, 한정된 클래스와 비한정 클래스의 경우 플러스 값이다. 모든 수치는 확실한 형태 f가 나타내는-1x2+b)y+c는 y2{\displaystyle f=ax^{2}+bxy+cy^{2}}이 같은 부호:긍정적으로 만약 a>0{\displaystyle a>0}과 부정은<0{\displaystyle a<0}. 예를 들면 이런 이유로, 전자는라고 불리는 긍정적인 확실한 형태이고 후자는 부정적인 확실.

형식 f에 의한 정수 n의 표현 수는 f가 확실하면 유한하고 f가 무한하면 무한하다. 위의 예제에서 이러한 경우를 살펴보았다: x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ y ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$은 양수 확정이고 x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}2}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$}-$2y^{$2}}은 무기정이다$$.

등가표현황

형태의 동등성 개념은 동등한 표현으로 확장될 수 있다. 표현 $m{\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle m=f(x_{1},$${\displaystyle {y\_\mathrm{}}_{}}$${1}},$ $n$ = ${\displaystyle g}$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$, y ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle n=g(x_{2},y_{2}}}})$는 행렬이 있는 경우 동등하다$$.

${\displaystyle {\pmatrix}\reason &\reason &\reason \end{pmatrix}}$

$f{\displaystyle (\alpha }$ ${\displaystyle x}$ +${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle y}$ ,${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle x}$+${\displaystyle \Delta }$y ) = ${\displaystyle g}$ ( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(\$displaystyle f(\$displaysty$ x$+\disp$ y$,\dex x+\div$ y$)=g(x,y)}$과(x,y$$)가 되도록 정수 항목과 결정 인자 1을 포함.

${\displaystyle {\pmatrix}\nd{pmatrix}\-\nd &-\nd{pmatrix}{pmatrix}}{1}\y}\end{pmatrix}}={\pmatrix}x_{2}\y}\end{pmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}"$

위의 조건은 이항 2차 형식에 의한 정수의 표현 집합에 대해$$ $그룹{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ S ${\displaystyle {\mathrm{L}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle Z\mathbb{}}$) ${\displaystyle \mathrm$ {$SL} _{2}(\mathb$ {$Z} )$의 (오른쪽) 동작을 제공한다. 이러한 방식으로 정의한 등가성이 동등성 관계이며, 특히 등가 표현에 있는 형태는 등가성 형태라는 것을 따른다.

예를$$ 들어 $f{\displaystyle }$= ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}{}^{}}$ - ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$f=$x^{2$}-$2y^{2}}:$ $표현{\displaystyle \mathrm{}1}$ = f${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1, ${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ $){\displaystyle 1=f(x_{1},y_{1}}}}}}}}}}$을(를) 고려하십시오$.$ 이러한 표현은 위의 예에서 설명한 Pell 방정식에 대한 해결책이다. 행렬

${\displaystyle {\pmatrix}3&-4\\\-2&3\end{pmatrix}}}$

결정인자 1을 가지고 있고 f의 자동형이다. 이 매트릭스에${\displaystyle {의한\mathrm{}}_{}}$ $표현{\displaystyle \mathrm{}}$1 = ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$( x${\displaystyle {}_{}{}_{}}$, y 1 ) {\$displaystyle 1=f(x_${1},$y_{1}}}}$에 따라 동일한 $표현{\displaystyle \mathrm{}1}$ =${\displaystyle }$f(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle {}_{}}$2 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ + ${\displaystyle 3}$ y ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle 1=f(3x_{1$}+$4y_{1},2x_{1$ $1{\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}-$2y^{2}}$에 무한히 많은 솔루션을 생성하기 위해 위에서 설명한 프로세스의 재귀 단계 입니다$.$ 이 매트릭스 동작을 반복하면 위에서 결정된 1 by f의 무한 표현 집합이 모두 동등하다는 것을 알 수 있다.

일반적으로 주어진 0이 아닌 판별 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle \Delta$}의 형식에 의한 정수 n의 표현에 대한 등가 등급이 매우 많다$.$ 이러한 등급의 대표자 집합은 아래 절에서 정의한 축소된 형태 측면에서 제공될 수 있다. 언제Δ<> 때Δ를 0{\displaystyle \Delta<0}, 모든 표현된 양식이 독특한 표현으로, 그래서 대표의 완전 집합 n의 판별 Δ{\Delta\displaystyle}의 줄어든 형식에 의해 그 유한하게 많은 진정서에 의해서 주어진다. 해당합니다;0{\displaystyle \Delta>0}, Zagier p.그것은 왔다 갔다 했 판별 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }$의 형식에 의한 양의 정수 n의 모든 표현은 고유한 표현 $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle n=f(x,y)}$과 동등하며$$, $여기$서 f는 Zagier의 감각에서 감소하고 > 0 ${\$$displaystylease$ $x$$>$0 ${\jeq 0$^[4] 그러한 모든 표현의 집합은 표현의 동등성 등급에 대한 전체 대표자를 구성한다.

감원 및 등급 번호

라그랑주는 모든 값 D에 대해 차별성 D를 가진 이항 2차 형태의 세분류만 정밀하게 많다는 것을 증명했다. 그들의 번호는 차별 D의 등급 번호다. 그는 각 등급에 표준적인 대표자를 구성하기 위한 축소라는 알고리즘을 설명했는데, 이 알고리즘은 계수가 적절한 의미로 가장 작은 축소 형태였다.

가우스는 디스퀴지스 산수화에서 우월감소 알고리즘을 부여했는데, 그 이후로는 교과서에서 가장 흔히 주어지는 감소 알고리즘이 되었다. 1981년, 자기에르는 가우스의 대안으로서 여러 가지 용도를 찾아낸 대안적 감소 알고리즘을 발표했다.^[5]

구성

구성은 가장 흔히 동일한 판별의 형태의 원시적 동등성 등급에 대한 이진 연산을 말하며, 이는 가우스의 가장 깊은 발견 중 하나로서, 이 집합을 판별 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta$}의 양식 클래스 그룹(또는 단순 클래스 그룹)이라 불리는 유한한 아벨리아 그룹으로 만든다$.$ 클래스 그룹은 그 이후 계속 되었다.e 대수적 숫자 이론의 중심 사상. 현대적인 관점에서 볼 때 근본적인 판별Δ{\Delta\displaystyle}의 수업 그룹은 2차 필드의 좁은 클래스 그룹에 Q.[6]부정적인 Δ{\Delta\displaystyle}, narr 들어 판별 Δ{\Delta\displaystyle}의{\displaystyle \mathbf{Q}({\sqrt{\Delta}})}(Δ)동형이다.ow 클래스 그룹은 이상적인 클래스 그룹과 동일하지만 양의 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }$에 대해서는 두$$ 배 클 수 있다.

"구성"은 때때로 2진법 형태에서의 2진법 연산을 대략 언급하기도 한다. "거의"라는 단어는 두 가지 주의사항을 나타낸다. 즉, 이항 2차 형태의 특정 쌍만 구성할 수 있고, 그 결과 양식은 잘 정의되지 않는다(당량 등급은 동일하지만). 동등성 등급에 대한 구성 연산은 먼저 형태 구성을 정의한 다음 이것이 클래스에 잘 정의된 연산을 유도한다는 것을 보여줌으로써 정의된다.

"구성"은 형태별 정수의 표현에 대한 이진 연산도 참조할 수 있다. 이 작전은 형식 구성보다 실질적으로 더 복잡하지만^{[citation needed]} 역사적으로 먼저 발생하였다. 우리는 아래의 별도 섹션에서 그러한 운영을 고려할 것이다.

구성(composition)은 동일한 판별의 2차적 형태를 취하여 ${\displaystyle {}^{}}$ 형태를 조합하여 동일한 판별의 ${\displaystyle {2차적\mathrm{}}^{}}$ 형태를 만드는 것을 의미하며${\displaystyle {}^{}}$ 2-제곱 아이덴티티$({\displaystyle c^{}}$- ${\displaystyle b^{}{}^{}{d}^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$+ (${\displaystyle d^{}}$+ ${\displaystyle b^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$2 +${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle d^{}}$ + ${\displaystyle b^{}}$) ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$b^2){$2$}{2}{2)를 일반화한 것이다.$}\오른쪽)\왼쪽(c^{2}+d^{2$$)$$}\오른쪽)=\왼쪽(ac-bd\오른쪽)^{2}+\왼쪽(ad+bc\오른쪽)^{2}}$

양식 및 클래스 작성

종종 가우스의 극히 기술적, 일반적 정의를 단순화하기 위한 시도로 다양한 형태의 구성의 정의가 주어졌다. 우리는 여기에 아른트의 방법을 제시한다. 왜냐하면 그것은 손으로 계산하는 데 익숙할 정도로 간단할 정도로 단순하지만 다소 일반적이기 때문이다. 대체 정의는 바르가바 정육면체에서 설명된다.

$f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ B ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x}$ y${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$} 형식을 구성한다고 가정합시다.$}}xy+C_{$1}$y^{2$}} $및{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$2$$ = ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ 2 x${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\displaystyle x}$y + ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$}$}}xy+C_{2}y^{$2$\}\},$ 각각 $원시적$이고 동일한 판별 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta$ $\}.$ 다음 단계를 수행한다.

1. Compute ${\displaystyle B_{\mu }={\tfrac {B_{1}+B_{2}}{2}}}$ and ${\displaystyle e=\gcd(A_{1},A_{2},B_{\mu })}$, and ${\displaystyle A={\tfrac {A_{1}A_{2}}{e^{2}}}}$
2. 합치물 시스템 해결

   ${\displaystyle {\begin{aligned}x&\equiv B_{1}{\pmod {2{\tfrac {A_{1}}{e}}}}\\x&\equiv B_{2}{\pmod {2{\tfrac {A_{2}}{e}}}}\\{\tfrac {B_{\mu }}{e}}x&\equiv {\tfrac {\Delta +B_{1}}B_{2}}:{2}}:{\pmod{2}A}\end{정렬}}$

   이 시스템은 항상 고유한 정수용액모듈로 ${\displaystyle \mathrm{2A}}$ ${\displaystyle 2A}$을(를) 가지고 있음을 알 수 있다$.$ 우리는 임의로 그러한 용액을 선택하여 B라고 부른다.
3. $C$를${\displaystyle {}^{}}$ =${\displaystyle {}^{}{B\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2}$ - 4 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Delta =B^{$2}-$4AC}$로 계산한다$.$ C가 정수임을 알 수 있다.

$형식{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$2 + ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle xy}$ + ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$}+$Bxy+$$Cy^{1}:{$2}}: $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}와$$ f ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}의 ""구성$$$.$ 우리는 그것의 첫 번째 계수가 잘 정의되어 있음을 알 수 있지만, 나머지 두 가지는 B와 C의 선택에 달려 있다. 이것을 잘 정의된 연산을 만드는 한 가지 방법은 B를 선택하는 방법에 대해 임의의 관례를 만드는 것이다. 예를 들어, 위의 조합 시스템에 대한 최소의 양의 해답이 되도록 B를 선택한다. 대안적으로, 우리는 구성의 결과를 형태가 아니라, 양식의 행렬 그룹의 작용을 모듈로 하는 양식의 동등성 등급으로 볼 수 있다.

) ${\$

여기서 n은 정수다. $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ B ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$+ ${\displaystyle C}$ y ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 클래스를 고려할 경우$Cy^{2}}:$ 이 작용에 따라$$ 클래스에 있는 형태의 중간 계수는 정수 modulo 2A의 일치 계수를 형성한다. 따라서 구성은 이항 2차 형태 쌍에서 그러한 등급에 이르기까지 잘 정의된 함수를 제공한다.

$f$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$$}:{$1}, $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle g_{1$}, $g$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}} 각각 $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $f$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}의$$$$ 구성이$$컴포지티티와 동일하다는$$ 것을 알 수 있다.$g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle g_{}}$ 2 ${\$ 구성으로 인해 판별 ${\displaystyle \Delta}$의 원시 클래스에 대해 잘 정의된 연산을 유도하고$,$ 위에서 언급한 바와 같이 가우스는 이러한 클래스가 유한한 아벨 그룹을 형성하는 것을 보여주었다. 그룹의 ID 클래스는 모든 ${\displaystyle {폼\mathrm{}}^{}x}$ 2 + ${\displaystyle B}$x y + ${\displaystyle C}$ y ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ x$^{2$}+$Bxy+$를 포함하는 고유 클래스다.$Cy^{2$ 즉, 첫 번째 계수 1. (모든 그러한 형태는 하나의 등급에 놓여 있음을 알 수 있으며, 제한 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}0}$ 0 ${\displaystyle 또는\mathrm{}}$1 (${\displaystyle 모드\mathrm{}}$4 $){\$ 0${\text{} 또는$}1}$1}{\pmod{4}}}}}}}$는 모든 판별의 그러한 형태가 존재함을 암시한다$$. 클래스를 반전시키기 위해 대표적인 A ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$+ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ Ax$^{2$}+$Bxy+$$Cy^{2}}:$ A$$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$+ C ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ 또는 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$+ ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ + $Bxy+$Bxy+의 클래스를 형성할 수 있다.$Ay^{2}}:$ 이것과$$ $A{\displaystyle }$ x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$+ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ 동일하다$$.

이항 이차형식의 생성

가우스는 또한 각 거친 계급이 형태 속이라고 불리면서 등가성의 더 거친 개념을 고려했다. 각 속은 동일한 판별의 유한한 수의 등가 등급의 결합으로, 등급의 수는 판별에만 의존한다. 이항 2차 형태의 맥락에서, 제네라는 형태에 의해 표현되는 숫자의 조합 클래스를 통해 정의되거나 형태 집합에 정의된 속 문자로 정의될 수 있다. 세 번째 정의는 n개의 변수에 있는 2차 형태의 속들의 특별한 경우다. 이 주에서는 형식이 모든 합리적인 소수(Archimedeans place 포함)에서 국소적으로 동등한 경우 동일한 속 안에 있다고 명시한다.

역사

이항 2차 형태를 포함하는 대수적 정체성에 대한 원시적 지식의 정황 증거가 있다.^[7] 이항 2차 형태에 관한 첫 번째 문제는 특정한 이항 2차 형태에 의한 정수의 표현 존재 또는 구성을 요구한다. 대표적인 예로는 펠 방정식의 해법과 정수를 두 제곱합으로 나타낸 것이 있다. 펠의 방정식은 이미 7세기 CE에 인도 수학자 브라흐마굽타에 의해 고려되었다. 수세기 후에 그의 사상은 인도의 수학자 자야데바나 바르스카라 2세에게 기인하는 차크라발라법으로 알려진 펠의 방정식의 완전한 해법으로 확장되었다.^[8] 정수를 두 칸의 합으로 나타내는 문제는 3세기에 디오판토스에 의해 고려되었다.^[9] 17세기에 디오판토스의 산술집을 읽으면서 영감을 받은 페르마트는 현재 두 정사각형 합계에 대한 페르마의 정리라고 알려진 것을 포함하여 특정한 이차적 형태에 의한 표현에 대해 여러 가지 관찰을 했다.^[10] 오일러는 페르마의 관찰에 대한 최초의 증거를 제공했고 증거 없이 구체적인 형태에 의한 표현에 대한 몇 가지 새로운 추측을 덧붙였다.^[11]

2차 형태에 대한 일반적인 이론은 1775년 라그랑주에 의해 그의 레서치 다리트메티크에서 시작되었다. 라그랑쥬는 "일관된 일반 이론은 모든 형태의 토착적인 고려를 필요로 한다"^[12]는 사실을 최초로 깨달았다. 그는 차별의 중요성을 가장 먼저 인식하고 동등성과 감소의 본질적 개념을 정의한 사람이었는데, Weil에 따르면, Weil에 따르면, 이 개념은 "그 이후로 이차적 형태의 전체 주제를 지배하고 있다"고 한다.^[13] 라그랑주에는 주어진 판별의 등가 등급이 상당히 많음을 보여줌으로써 처음으로 산술 등급 번호를 정의했다. 그의 감축 도입은 주어진 차별적 계층의 신속한 조사를 가능하게 했고 궁극적으로 기반 구조의 개발을 예시했다. 1798년, 레전드르는 에사이 수르 라 테오리 데스 놋브르를 출판하였는데, 오일러와 라그랑주의 작품을 요약하고, 양식에 대한 작곡 연산을 최초로 엿보는 등, 자신의 공헌을 일부 추가하였다.

이 이론은 미취득 산술의 제5절에서 가우스에 의해 크게 확장되고 정제되었다. 가우스는 서로 다른 판별의 고른 형태와 충동적인 형태를 작곡할 수 있는 매우 일반적인 버전의 구성 연산자를 도입했다. 그는 라그랑주의 등가성을 적절한 등가성의 보다 정밀한 개념으로 대체했고, 이는 주어진 판별의 원시 계급이 구성 연산에 따라 그룹을 형성한다는 것을 보여줄 수 있게 했다. 그는 정사각형의 부분군에 의한 계급집단의 지수를 이해하는 강력한 방법을 주는 속 이론을 소개했다. (가우스와 많은 후속 저자들은 b 대신에 2b를 썼다; xy의 계수를 홀수하도록 허용하는 현대적인 관습은 아이젠슈타인 때문이다.)

이러한 가우스의 조사는 두 가지 이상의 변수에서 2차 형태의 산술 이론과 2차장이 더 많은 일반적 수 분야로 대체되는 대수적 수 이론의 후속 발달 모두에 강한 영향을 미쳤다. 그러나 그 충격은 즉각적이지는 않았다. Disquisitiones의 섹션 5는 진정으로 혁신적인 아이디어를 포함하고 있으며 때로는 독자에게 남겨진 매우 복잡한 계산을 포함한다. 새로움과 복잡성을 종합하면 5구역은 악명높게도 어렵게 되었다. 디리클레는 이론의 단순화를 발표하여 더 많은 청중들이 이 이론을 접할 수 있게 하였다. 이 작품의 정점은 그의 텍스트인 Vorlesungen über Zahlentheory이다. 이 작품의 제3판에는 데데킨드의 두 가지 보충제가 포함되어 있다. 보충제 XI는 고리 이론을 도입하고, 그 때부터 특히 1897년 힐베르트의 자흘베리히트 출판 이후 이항 2차 형식 이론은 대수적 수 이론에서 탁월하게 위치를 잃고 대수적 수 분야의 보다 일반적인 이론에 가려지게 되었다.

그렇더라도 정수 계수를 갖는 이항 2차 형식에 대한 작업은 현재까지도 계속된다. 여기에는 이항 2차적 형태의 언어로 번역될 수 있는 2차적 수장에 대한 수많은 결과가 포함되지만, 샨크스의 인프라, 자기에의 감소 알고리즘, 콘웨이의 지형도, 바르가바의 재해석 등 형태 자체에 대한 발전이나 형태에 대한 생각에서 비롯된 발전도 포함된다.바르가바 정육면체를 통한 작문법

참고 항목

• 바르가바 입방체
• 페르마의 두 제곱합 정리
• 범례 기호

메모들

참조

• 요하네스 부크만, 울리히 볼머: 2007년 베를린 스프링거, 2진법 2진법, ISBN3-540-46367-4
• 던컨 A. Buell: 1989년 스프링거, Binary 2차 형태
• $David{\displaystyle {}^{}}$ A Cox,${\displaystyle {}^{}{x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ + y 2$${\$displaystyle x^{2$}+$y^{$2$\}\},$ 페르마, 계급장 이론, 복잡한 곱하기
• Cohen, Henri (1993), A Course in Computational Algebraic Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 138, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-55640-4, MR 1228206
• Fröhlich, Albrecht; Taylor, Martin (1993), Algebraic number theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 27, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43834-6, MR 1215934
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008) [1938], An Introduction to the Theory of Numbers, Revised by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. (6th ed.), Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-921986-5, MR 2445243, Zbl 1159.11001
• Weil, André (2001), Number Theory: An approach through history from Hammurapi to Legendre, Birkhäuser Boston
• Zagier, Don (1981), Zetafunktionen und quadratische Körper: eine Einführung in die höhere Zahlentheorie, Springer

외부 링크

• Peter Luschny, 이항 2차 형태로 표현되는 양의 숫자
• A. V. Malyshev (2001) [1994], "Binary quadratic form", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press