잉글턴의 부등식

Ingleton's inequality

수학에서, 잉글턴의 불평등은 어떤 대표 가능한 부전수의 순위 기능에 의해 충족되는 불평등이다. 이러한 의미에서 그것은 유한한 분야에 대한 모체의 대표성을 위해 필요한 조건이다. M을 매트로이드(matroid)로 하고 ρ을 순위함수로 하자, 잉글턴의 불평등은 어떤 서브셋에 대해서도1 M을 지지하는 X, X2, X3, X4, X의 불평등이라고 말한다.

ρ(X1)+ρ(X2)+ρ(X1∪X23)+ρ(X1∪X24)+ρ(X3∪X)+ρ(X1∪X4)+ρ(X1∪X2)+ρ(X1∪X3)+ρ+ρ(X2∪X43)+ρ(X∪X)+ρ(X2∪X4)+ρ(XxX)는 만족한다.

영국의 수학자인 오버리 윌리엄 잉글턴은 1969년에[1] 중요한 논문을 썼는데, 이 논문에서 그는 모성애들의 대표성 문제를 조사했다. 이 기사는 주로 해설이지만, 이 논문에서 잉글턴은 정보 이론, 매트로이드 이론, 네트워크 코딩에서 흥미로운 응용 분야를 찾아낸 잉글턴의 불평등을 기술하고 증명했다.[2]

불평등의 중요성

모성애, 엔트로피 영역과 집단 이론 사이에는 흥미로운 연관성이 있다. 그 연결고리들 중 일부는 '잉글턴의 불평등'에 의해 드러난다.

아마도, 잉글턴의 불평등의 더 흥미로운 적용은 네트워크 코딩 능력의 계산에 관한 것일 것이다. 선형 코딩 솔루션은 불평등에 의해 제약되며 다음과 같은 중요한 결과를 가진다.

선형 네트워크 코딩을 사용한 달성 가능한 비율 영역은 경우에 따라 일반 네트워크 코딩을 사용한 달성 가능한 비율 영역보다 엄격히 작을 수 있다.[3][4][5]

정의는 예를 참조하십시오.[6]

증명

정리(잉글턴의 부등식):[7] M을 순위함수 ρ으로 표현 가능한 매트로이드로 하고 X1, X2, X3, X를4 기호 E(M)로 표시한 M의 지지 집합의 하위 집합으로 한다. 다음:

ρ(X12)+ρ(X2)+ρ(X11∪XX234)+ρ(XxX2)+ρ(XxX3)+ρ(XxX41)+ρ(XxX213)+ρ+ρ(XxX14)+++ρ(XxX3)+ρ(XxX)+ρ(XxX)+ρ(XxX2(X4)

불평등을 증명하기 위해서는 다음과 같은 결과를 보여줘야 한다.

제안: V1, V2, V 및3 V를4 벡터 공간 V의 하위 공간이 되도록 한 다음

  1. 딤(V1∩V2∩V3) ≥ 딤(V1∩V2) + 딤(V31+V3) - 딤(V2+V3) + 딤(V+V) + 딤(V1+V2+V3)
  2. 딤(V1∩V2∩V3∩V4) ≥ 딤(V1∩V2∩V3) + 딤(V1∩V2∩V4) - 딤(V1∩V2∩V)
  3. 딤(V1∩V2∩V34) + 딤(V13∩V2) + 딤(V4) + 딤(V) - 딤(V12+V33) - 딤(V1+V4) - 딤(V2+V4) - 딤(V+V) - 딤(V1+V2) + 딤(V1+V32) + 딤(V+V+V4)
  4. 딤(V1) + 딤(V21+V2+V3) + 딤(V1+V2+V4) + 딤(V3+V4) + 딤(V1+V2) + 딤(V11+V3) + 딤(V+V4) + 딤(V2+V3) + 딤(V+V) + 딤(V+V4) + 딤(V2+V)

여기서 Vi+V는j 두 하위 영역의 직접적인 합을 나타낸다.

증거(제안): 표준 벡터 공간 아이덴티티: 딤(U) + 딤(W) = 딤(U+W) + 딤(UuW)을 자주 사용할 것이다.

1. (V1∩V2) + V3 ⊆ (V1+V3) + (V2+V) + (V+V3) 는 것이 분명하다.

dim((VvV12)+V3) ≤ 딤((V1+V2)∩(V2+V3), 이 때문에
딤(V1∩V2∩V3) = 딤(V1∩V2) + 딤(V3) - 딤(((VvV12)+V3))
≥ 딤(V1∩V2) + 딤(V3) - 딤((V1+V3))(V2+V)∩(V+V3)))
= 딤(V1∩V2) + 딤(V3) – {dim(V1+V3) + 딤(V2+V33) – 딤(V1+V2)}
= 딤(V1∩V2) + 딤(V3) – 딤(V1+V3) - 딤(V2+V3) + 딤(V1+V) + 딤(V+V2+V3)

2. (V11∩V23∩V) + (V2∩V4)V) ( (VvV2)가 분명한1 것은, 그렇다면

dim{(V1∩V2∩V3)+(V1∩V2∩V4)} ≤ 조광(VAV12), 이 때문에
딤(V1∩V2∩V3∩V4) = 딤(V1∩V2∩V3) + 딤(V1∩V2∩V4) - 딤{(V1∩V2∩V3) + (V1∩V2∩V4)}
≥ 딤(V1∩V2∩V3) + 딤(V1∩V2∩V4) - 딤(V1∩V2)

3. (1)과 (2)로부터 다음과 같은 내용이 있다.

딤(V1∩V2∩V3∩V4) ≥ 딤(V1∩V2∩V3) + 딤(V1∩V2∩V4) - 딤(V1∩V2)
≥ 딤(V1∩V2) + 딤(V31+V3) - 딤(V2+V3) + 딤(V1+V23) + 딤(V1+V2) + 딤(V41+V4) + 딤(V+V) + 딤(V2+V4) + 딤(V1+V2) + 딤(V+V4) - 딤(V) - 딤(V2(V1)
= 딤(V1∩V2) + 딤(V3) + 딤(V41+V3) - 딤(V2+V3) - 딤(V1+V4) - 딤(V2+V4) + 딤(V1+V2) + 딤(V+V+V3) + 딤(V+V2+V) + 딤(V1+V+V3)

4. (3)부터 우리는

딤(V1+V2+V3) + 딤(V1+V2+V4) ≤ 딤(V1∩V2∩V34) - 딤(V13∩V2) - 딤(V4) + 딤(V1+V3) + 딤(V2+V3) + 딤(V1+V4) + 딤(V+V) + 딤(V+V) + 딤(V+V) + 딤(V2+V4)

마지막 불평등의 양쪽에 (dim(V1)+dim(V2)+dim(V3+V4)을 더하면, 우리는 (dim(V)+dim(V+V))을 얻는다.

딤(V1) + 딤(V2) + 딤(V1+V2+V3) + 딤(V1+V2+V4) + 딤(V+V) + 딤(V3+V4) ≤ 딤(V1∩V2∩V34) - 딤(V1∩V2) + 딤(V1+dim(V2) + 딤(V33+V4) - 딤(V4) + 딤(V12+V3) + 딤(V+V3) + 딤(V1+V4) + 딤(V+V) + 딤(V2+V) + 딤(V+V4)

불평등 딤(V1∩V2∩V34) ≤ 딤3(V(V4)이 버티고 있기 때문에 우리는 증빙을 끝냈다.♣

증거(잉글턴의 불평등): M이 표현 가능한 매트로이드라고 가정하고 A = [v12 v … v]를n M = M(A)과 같은 행렬로 두십시오. X, Y ⊆ E(M) = {1,2, …,n}, U = <{Vi : i ∈ X }>를 V의i 벡터 범위로 정의하고, W = <{Vj : j ∈ Y }>를 그에 따라 정의한다.

만일 U = <{u1, um, …u2}>와 W = <{w1, w, …,w2}>라고 가정한다면, 우리는 분명히 <{u1, u2, u, u, ur, u2, um, w, u1r, w, _}> = U + W를 가지고 있다.

그러므로: r(X∪Y) = 희미한 <{vi : i ∈ X } ∪ {vj : j ∈ Y }> = 딤(V + W)

마지막으로 i = 1,2,3,4에 대해i V = {vr : r ∈ X }을i(를) 정의하면 마지막 불평등과 위의 명제의 항목(4)을 정의하면 결과가 나온다.

참조

  1. ^ Ingleton, A.W. (1971). "Representation of matroids". In Welsh, D.J.A. (ed.). Combinatorial mathematics and its applications. Proceedings, Oxford, 1969. Academic Press. pp. 149–167. ISBN 0-12-743350-3. Zbl 0222.05025.
  2. ^ Ahlswede, Rudolf; N. Cai; Shuo-Yen Robert Li; Raymond Wai-Ho Yeung (2000). "Network Information Flow". IEEE Transactions on Information Theory. 46 (4): 1204–1216. doi:10.1109/18.850663.
  3. ^ Dougherty, R.; C. Freiling; K. Zeger (2005). "Insufficiency of Linear Network Codes". IEEE International Symposium on Information Theory Adelaide, Australia: 264–267.
  4. ^ Dougherty, R.; C. Freiling; K. Zeger (2007). "Networks, matroids, and non-Shannon information inequalities". IEEE Transactions on Information Theory. 53 (6): 1949–1969. doi:10.1109/TIT.2007.896862.
  5. ^ Li, S.-Y.R.; Yeung, R.W.; Ning Cai (2003). "Linear network coding". IEEE Transactions on Information Theory. 49 (2): 371. doi:10.1109/TIT.2002.807285.
  6. ^ Bassoli, Riccardo; Marques, Hugo; Rodriguez, Jonathan; Shum, Kenneth W.; Tafazolli, Rahim (2013). "Network Coding Theory: A Survey". IEEE Communications Surveys & Tutorials. 15 (4): 1950. doi:10.1109/SURV.2013.013013.00104.
  7. ^ 옥슬리, 제임스(1992년), 옥스포드 마트로이드 이론: 옥스퍼드 대학 출판부, ISBN 0-19-853563-5, MR 1207587, Zbl 0784.05002

외부 링크