매트로이드 표현

매트로이드의 수학적 이론에서 매트로이드 표현은 주어진 매트로이드와 선형 독립 관계가 동일한 벡터 계열이다.매트로이드 표현은 집단 표현과 유사하다. 두 가지 표현 유형은 모두 추상 대수 구조(각각 물질과 그룹)와 함께 선형 대수 측면에서 구체적인 설명을 제공한다.

선형 매트로이드(linear matroid)는 표현을 갖는 매트로이드(matroid)이고, F-선형 매트로이드(f 필드의 경우)는 F에 대한 벡터 공간을 사용하여 표현되는 매트로이드(matroid)이다.매트로이드 표현 이론은 선형 매트로이드의 표현 존재와 속성을 연구한다.

정의들

A (finite) matroid ${\displaystyle (E,{\mathcal {I}})}$ is defined by a finite set ${\displaystyle E}$ (the elements of the matroid) and a non-empty family ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ of the subsets of ${\displaystyle E}$, called the independent sets of the matroid.독립 집합의 모든 부분 집합이 그 자체로 독립적이라는 속성과 하나의 독립 $집합{\displaystyle }$ A$${\$displaystyle{\displaystyle }$ $A}$이(가) 두 번째 독립 집합 B ${\displaystyle B}$보다 클 경우 $B$ ${\displ$에 추가할 수 있는$$ 요소 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle B}$ ${\displane}$이($가)$ 존재한다는 속성을 만족해야 한다.$aystyle B}$을(를) 사용하여$$ 더 큰 독립 세트를 형성하십시오.매트로이드의 형성에 있어서 주요한 동기 부여 사례 중 하나는 벡터 공간의 벡터들에 대한 선형 독립성의 개념이었다: E ${\displaystyle E}$이($가{\displaystyle }$) 유한 집합 또는 다중 집합인 경우, $I{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ {$I}$은(${\displaystyle 가)}$ $E{\displaystyle }$ ${\displaystystyle E}$의 선형 독립 하위 집합의 계열이다$.$${\displaystyle \mathcal{I}}$) ${\displaystyle(E,{\mathcal{I}}}$은(는) 매트로이드다.^[1][2]

More generally, if ${\displaystyle (E,{\mathcal {I}})}$ is any matroid, then a representation of ${\displaystyle (E,{\mathcal {I}})}$ may be defined as a function ${\displaystyle f}$ that maps ${\displaystyle E}$ to a vector space ${\displaystyle V}$, with the property that a subset $$${\displaystyle }$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle E}$의 ${\displaystyle A}$은(는) f ${\$f$_{A}$가 주입식이고$$ $f{\displaystyle }$(${\displaystyle A}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle f(A)}$이(가) 선형 독립된 경우에만$$ 독립적이다$$.표현력이 있는 매트로이드를 선형 매트로이드라고 하며, $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$이(가) 필드 F 위에 있는 벡터 공간이라면 매트로이드를 F-선형 매트로이드라고 부른다.따라서 선형 매트로이드는 벡터의 집합 또는 다중 집합에서 정의된 매트로이드와 이형성이 정확하게 일치하는 매트로이드가 된다.$f{\displaystyle }$ {\$displaystyle f}$ 함수는 기본 매트리스가 단순할 때만 일대일(두$$ 요소 종속 집합 없음)이 된다$.$매트로이드 표현은 또한 매트로이드 요소당 하나의 열과 해당 매트릭스 열의 집합이 선형적으로 독립적일 경우에만 매트로이드에서 독립적일 수 있는 필드 F에 걸쳐 매트릭스를 사용하여 보다 구체적으로 설명할 수 있다.선형 매트로이드의 순위 함수는 이 행렬의 하위 행렬의 행렬 순위 또는 벡터 부분 집합의 선형 범위 치수에 의해 동등하게 주어진다.^[3]

선형매트로이드의 특성화

모든 매트리스가 선형인 것은 아니다; 8개의 요소인 바모스 매트리스는 모든 분야에서 표현할 수 없는 가장 작은 매트리스 중 하나이다.^[4]매트로이드(matroid)가 선형인 경우, 일부 필드에는 표시할 수 있지만 모든 필드에는 표시할 수 없다.예를 들어, Perles 구성에 의해 정의된 9-eles 순위 3 matroid는 실제 숫자에 대해서는 나타낼 수 있지만 합리적인 숫자에 대해서는 나타낼 수 없다.

바이너리 매트로이드는 유한장 GF(2)에 걸쳐 나타낼 수 있는 매트로이드로서, 정확히 단조로 균일한 매트로이드 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}개를 가지고 있지 않은 매트로이드들이다.^[5]단모형 또는 일반모형모형은 모든 분야에 걸쳐 표현할 수 있는 모형으로,^[6] $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$}}개$,$ Fano 평면(7개 원소가 있는 이진모형모형) 또는 Pano 평면의 이중모형으로 특징지어질 수 있다.^[5][7]또는 완전히 단변성 행렬로 나타낼 수 있는 경우에만 모항 기형이 규칙적이다.^[8]

로타의 추측은 F-선형 매트로이드는 모든 유한장 F에 대해 위에서 설명한 이항 및 일반 매트로이드의 특성화와 유사하게 금지된 유한 집합의 미성년자로 특징지어질 수 있다고 말한다.^[9]2012년 현재, 4개 이하의 요소에 대해서만 증명되었다.^{[5][10][11][12]}무한 필드(실수의 필드 등)의 경우 그러한 특성화가 불가능하다.^[13]

정의 분야

모든 대수적 수 영역과 모든 유한 영역 F에 대해, F는 M을 나타낼 수 있는 대수적 폐쇄의 최소 하위 영역인 매트로이드 M이 있다: M을 순위 3으로 가져갈 수 있다.^[14]

특성 집합

선형 매트로이드의 특성 집합은 그것이 선형인 필드의 특성 집합으로 정의된다.^[15]모든 소수 p에 대해 특성 집합이 단일톤 집합 {p}^[16]인 매트로이드가 무한히 존재하며, 소수 집합의 모든 유한 집합에 대해 특성 집합이 주어진 유한 집합인 매트로이드가 존재한다.^[17]

만약 매트로이드의 특성 세트가 무한하다면, 그것은 0을 포함하고, 만약 그것이 0을 포함한다면 그것은 거의 모든 소수만을 포함하고 있다.^[18]따라서 가능한 유일한 특성 집합은 0을 포함하지 않는 유한 집합과 0을 포함하는 코피나이트 집합이다.^[19]사실, 그런 일은 모두 일어난다.^[20]

매트로이드 관련 품종

균일한 매트로이드 $U{\displaystyle }$ $n$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ U${}_{n}^{r}}$은$($는) $n{\displaystyle }$ {\$displaystyle n}$ 요소를$$ 가지며$$, 독립된 세트는 최대$$ $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$개의 모든 하위 집합으로 구성된다.균일한 매트로이드는 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$ - 차원$$ 벡터 공간에서 일반 위치에 있는 벡터 세트로 나타낼 수 있다.표현 분야는 이 벡터 공간에 일반 위치에 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 벡터가$$ 존재할 수 있을 만큼 충분히 커야 하므로, 균일한 매트로이드는 거의 모든 필드 F에 대해 F-선형이다.^[21]두 개의 F-선형 매트로이드의 직접 합이 F-선형이기 때문에 균일한 매트로이드의 직접 합인 칸막이 매트로이드도 마찬가지다.

그래픽 매트로이드(graphic matroid)는 주기가 포함되지 않은 경우에만 독립적으로 사용할 에지 집합을 정의하여 비방향 그래프의 가장자리에서 정의된 매트로이드(matroid)이다.모든 그래픽 매트로드는 규칙적이므로 모든 필드 F에 대해 F-선형이 된다.^[8]

강성 매트로이드는 유연한 경첩으로 연결된 강성 막대에 의해 형성된 기계적 연결의 자유도를 설명한다.이러한 유형의 연결은 각 막대에 대한 가장자리 및 각 경첩에 대한 꼭지점을 갖는 그래프로 설명할 수 있으며, 1차원 연결의 경우 강성 매트로이드는 정확히 그래픽 매트로이드가 된다.고차원 강성 행렬은 기본 그래프의 발생 행렬과 유사한 구조를 가진 실제 숫자의 행렬을 사용하여 정의할 수 있으며, $따라서{\displaystyle \mathbb{}}$ R ${\$ 선형이 된다$$.^[22][23]

균일한 매트로이드와 칸막이 매트로이드처럼, 지시된 그래프에서 도달가능성을 나타내는 매트로이드인 gammoids는 충분히 큰 모든 영역에 걸쳐 선형이다.구체적으로는 최소 ${\displaystyle {2n}^{}}$ ${\$$displaystyle$ $2^{n}$의 요소를 가진 모든 $필드$에 n ${\$$displaystyle$ $n}$ 요소를$$ 가진 gammoid를 나타낼 수 있다.^[24]

대수적 매트로이드는 대수적 독립성의 개념을 사용하여 필드 확장의 요소 집합에서 정의되는 매트로이드다.모든 선형 매트로이드(matroid)는 대수학이며, 특성 0(실수 등) 분야의 경우 선형과 대수적 매트로이드(matroids)가 일치하지만, 다른 분야의 경우 선형이 아닌 대수적 매트로이드(matroids)가 존재할 수 있다.^[25]

참조