초기값 정리

수학적 분석에서 초기값 정리는 시간이 0에 가까워짐에 따라 주파수 영역 표현과 시간 영역 동작을 연관시키는 데 사용되는 정리다.^[1]

약칭 IVT로도 알려져 있다.

내버려두다

${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\f(t)^{-st}\,dt}$

ƒ(t)의 라플라스 변형이다.$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이$({\displaystyle }$가) (${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\displaystyle (0,\inflt )}($또는 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle O}$( ${\displaystyle e^{}}$ ${\displaystyle c^{}}$ )${\displaystyle f(t)=$인 경우$O(e^{ct$와 ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{{\mathrm{}}^{}}}$→ 0${\displaystyle \underset{}{{}^{}}}$+ ${\displaystyle \underset{}{{}^{}}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}f(t)}$이(가) 존재하면$$ 초기값 정리가 말한다^[2].

${\displaystyle \lim _{t\,\\0}f(t)=\lim _{s\to \infit }{sF}}}$

증명

$먼저{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$이(가) 경계로 되어 있다고$$ 가정해 보십시오.say ${\displaystyle \underset{}{im}}$ ${\displaystyle \underset{}{t}}$→ ${\displaystyle \underset{}{{}^{}}\underset{}{{}^{}}}$+ ${\displaystyle f}$( t${\displaystyle }$) =${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lim$ $_$${t\t$\to $0^{+f(t)=\alpha$ $\}\}\}.$ ${\displaystyle {적분\mathrm{}}_{}^{}}$ 0 $∫$ 0${\displaystyle {}_{}^{}}$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle s^{}}$ e - ${\displaystyle t^{}}$ ${\displaystyle t{}^{}}$ ${\displaystyle d}$ t$${$0}^{0}^{\inf(t)^{-st},dt$},dt$}}}}}.$

${\displaystyle s}$ (${\displaystyle s}$ )${\displaystyle }$=${\displaystyle {}_{0\mathrm{}}^{}}$ 0${\displaystyle {}_{}^{}}$ f${\displaystyle }$(${\displaystyle \frac{t}{}}$ )${\displaystyle {}^{}e{}^{}}$ - ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t^{}}$ ${\displaystyle sF(s)=\int _{0}^{$0}{0$}^{\f}\f\({\frac {t}}\오른쪽)e^{-t}\,dt}$.

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 경계되기$$ 때문에, 지배적인 컨버전스 정리에서는 다음과 같은 것을 보여준다.

${\displaystyle \lim _{s\to \infit }sF=\int _{0}^{\infit }\alpha e^{-t}\,dt=\alpha .}$

물론 여기에 DCT가 꼭 필요한 것은 아니지만, 기초 미적분학만을 사용하여 아주 간단한 증거를 제시할 수 있다.

그래서 ∫ ∞ e− tdt<>ϵ{\displaystyle \int_{A}^{\infty}e^{-t}\,dt<, \epsilon} 다음 t∈(0, 뻗는다{\displaystyle t\in(0,A]}한결같이에 lim s→ ∞ f(st))({\displaystyle \lim_{s\to\infty}({\frac{t}{s}}\right)=\alpha}을 한{A\displaystyle}을 선택하여 시작하세요..

$f{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle O}$( ${\displaystyle {}^{}}$ c ${\displaystyle t^{}}$) ${\displaystyle f(t)=$라고 가정하는 정리$O(e^{ct})$는 $경계{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$에 대한 정리로부터 따르며$$ $:$ 정의 $g{\displaystyle }$ (${\displaystyle }$t )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$- c ${\displaystyle t^{}}$ (${\displaystyle {}^{}}$ )${\displaystyle g(t)=e^{-ct}f(t$Then ${\displaystyle g}$ is bounded, so we've shown that ${\displaystyle g(0^{+})=\lim _{s\to \infty }sG(s)}$. But ${\displaystyle f(0^{+})=g(0^{+})}$ and ${\displaystyle G(s)=F(s+c)}$, so

${\displaystyle \im \to \ft \sF=\lim }s-c(s)=\lim _{s\to \ft }sF(s+c)=\lim _{s\to \to \fto }sG,}$

${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{s}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ F${\displaystyle }$(${\displaystyle s}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \lim _{s\to \infit }F=0}$

참고 항목

• 최종값 정리

메모들