최종값 정리

이 글은 주제를 잘 모르는 사람들에게 불충분한 맥락을 제공한다. 독자에게 더 많은 맥락을 제공하여 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오.(2022년 1월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

수학적 분석에서 최종값 정리(FVT)는 시간이 무한대에 가까워짐에 따라 주파수 영역 표현과 시간 영역 동작을 연관시키는 데 사용되는 몇 가지 유사한 이론 중 하나이다.^[1][2][3][4]수학적으로 연속 ${\displaystyle \mathrm{시간}}$에 $f$${\displaystyle }$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(t)}$이(가$)$ 라플라스틱 $변환{\displaystyle }$ F (${\displaystyle s}$) $displaystyle F(s)}$을(를) 갖는 경우$,$ 최종 값 정리는 다음과 같은 조건을 설정한다.

${\displaystyle \lim _{t\to \f(t)=\lim _{s\,\0}{sF}}}}}$

마찬가지로 이산 시간의 $f$${\displaystyle }$[ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle f[k]}$이(가) (${\displaystyle \mathrm{일변형}}$) Z 변환 $F{\displaystyle }$($$z ) {\$displaystyle$ F$(z)}$을$($를) 가지고 있다면 최종 값 정리는 다음과 같은 조건을 설정한다.

${\displaystyle \lim _{k\to \infit }f[k]=\lim _{z\to 1}{{(z-1)F(z)}}}}}}$

An Abelian final value theorem makes assumptions about the time-domain behavior of ${\displaystyle f(t)}$ (or ${\displaystyle f[k]}$) to calculate ${\displaystyle \lim _{s\,\to \,0}{sF(s)}}$. Conversely, a Tauberian final value theorem makes assumptions about the frequency-domain behavi${\displaystyle \underset{}{im<img\; alt="F(s)"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/d633e75b0c0edb9b5cf174df6f79f4b90634718b"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:4.641ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="40">}}$${\displaystyle }$${\displaystyle \underset{}{t}}$${\displaystyle }$→${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle \$$$$_{t\to \inft }f($$t$또는 ${\displaystyle \underset{}{im}}$ k${\displaystyle \underset{}{}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle f]}$ ${\displaystyle \lim \to \inft })($적분할 경우 아벨리안 및 타우베리안 정리 참조).

라플라스 변환의 최종 값 정리

${\displaystyle \underset{}{im}}$ ${\displaystyle \underset{}{t}}$ →${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \lim _{t\to \inft }f(t)}$

다음 문장에서 ${\displaystyle }$ '${\displaystyle \mathrm{s}}$→ 0$${\$displaystyle s\to$ 0$\}$은$($는) s {\$displaystyle$ s}이(가) 0에 근접함을$$ 의미하며, ${\displaystyle }$ $↓$ ${\displaystyle 0}$ ${\$$displaysty$ s$\downarrow$ 0$}$은$($는$)$ 양수를 통해 $0$에 접근함을$$ 의미한다.

표준 최종값 정리

$F{\displaystyle (s}$) ${\displaystyle F(s)}$의 모든 극이 열린 왼쪽 절반 평면 또는 원점에 있고$$, $F{\displaystyle (s)}$ ${\displaystyle F(s)}$이(가) 최대 한 개의 극을 원점에 가지고$$ 있다고 가정하자.그런 다음 $s{\displaystyle }$ (${\displaystyle }$s )${\displaystyle }$→ ${\displaystyle L\mathbb{}}$ ${\displaystyle \in }$ R ${\$in {$R} \mathb${R}에서 s${\displaystyle }$→ ${\displaystyle 0}$ → 0 → $\displaysty s\to 0$${\displaystyle \},}$$$${\displaystyle \mathrm{im}}$ ${\displaystyle \underset{}{t}=}$ ${\displaysty \lim _{t\$t\$t(t)=$$L}$ $.$^[5]

파생상품의 라플라스 변환을 이용한 최종가치정리

가정은 f(t){\displaystyle f(t)}와 f′(t){\displaystyle f'(t)}둘 모두를 가지고 있라플라스의 태양이 존재하는 모든 s>0{\displaystyle s>0}. 만약 lim어→ ∞ f({\displaystyle \lim_{t\to\infty}(t)}존재하고 lim s→ 0여서 F(s){\displaystyle \lim_{s\,\to \,0}{sF(s)}}전 남편.ists지hen ${\displaystyle \mathrm{im}}$ ${\displaystyle \underset{}{t}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ s${\displaystyle \underset{}{}}$→ 0 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle F}$( s${\displaystyle }$) ${\$\to $\inft }f$(t$)=\lim _{s\,\0}{sF$^{[3]: Theorem 2.36 [4]: 20 [6]}

비고

두 한계 모두 존재해야 정리가 지탱할 수 있다.만약 f(t)예를 들어,lim지→ ∞ f({\displaystyle \lim_{t\to\infty}(t)},지만 slim 존재하지 않→⁡(t){\displaystyle f(t)=\sin(t)}sin0여서 F(s))lim s→ 0ss2+1=0{\displaystyle \lim_{s\,\to \,0}{sF(s)}=\lim _{s\,\to \,0}{\frac{s}{s^{2}+1}}=0}.[3]:예를 들어 237.[4]:20

개선된 타우베리안 컨버스 최종값 정리

Suppose that ${\displaystyle f:(0,\infty )\to \mathbb {C} }$ is bounded and differentiable, and that ${\displaystyle tf'(t)}$ is also bounded on ${\displaystyle (0,\infty )}$. If ${\displaystyle sF(s)\to L\in \mathbb {C} }$ as ${\displaystyle s\to 0}$$$ ${\displaystyle \mathrm{then}}$ ${\displaystyle \underset{}{im}}$t → ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$(${\displaystyle t}$) = L ${\displaystyle \lim _{t\to \infit }f(t)=$$L}$ $.$^[7]

확장된 최종 가치 정리

$F{\displaystyle (s}$) ${\displaystyle F(s)}$의 모든 극이 열린 왼쪽 하프 평면에 있거나 원점에 있다고$$ 가정해 보십시오.그 후 다음 중 하나가 발생한다.

1. ${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{s}}$${\displaystyle F}$( ${\displaystyle s}$) → ${\displaystyle Lr\mathbb{}}$ R$${\$displaystyle sF(s)\to$L\$in$ {$R}$에서$s math$ 0 ${\$$displaystyle s\downarrow 0}$ 및$$${\displaystyle \underset{}{림}}$ ${\displaystyle \underset{}{t}}$→${\displaystyle \underset{}{\mathrm{}}}$lim ${\displaystyle \underset{}{}(t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle L}$ ${\displaysty \lim \{t\t\to$ }f$(t)=$t)$L}$ $.$
2. ${\displaystyle sF(s)\to +\infty \in \mathbb {R} }$ as ${\displaystyle s\downarrow 0}$, and ${\displaystyle f(t)\to +\infty }$ as ${\displaystyle t\to \infty }$.
3. ${\displaystyle sF(s)\to -\infty \in \mathbb {R} }$ as ${\displaystyle s\downarrow 0}$, and ${\displaystyle f(t)\to -\infty }$ as ${\displaystyle t\to \infty }$.

특히 $s{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ s$=0}$이(${\displaystyle 가}$) $F{\displaystyle }$(${\displaystyle }$) {\$displaystyle F($s)}의$$ 복수극인 경우 케이스 2 또는 3이 적용된다(${\displaystyle }$(${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$→ +$$ $(t)\$$t{\displaystyle }$) 또는$$ f${\displaystyle }$(${\displaystyle t)}$→${\displaystyle }$-$$ (\$displaystysty$ f($$^[5]t$)\t)\t.$

일반화된 최종 가치 정리

$f{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle f(t)}$이(가) Laplace 변환 가능하다고$$ 가정합시다.Let ${\displaystyle \lambda >-1}$. If ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {f(t)}{t^{\lambda }}}}$ exists and ${\displaystyle \lim _{s\downarrow 0}{s^{\lambda +1}F(s)}}$ exists then

${\displaystyle \lim_{t\to \inflat }{f(t)}{t^{\lambda }}}}={\frac {1}{\감마(\lambda +1)}}\lim_{s^{\lambda +1}F}}}}}}{\f(s)}}}}F}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}F}$

여기서 ${\displaystyle \gamma }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \Gamma (x)}$은 감마 함수를 나타낸다$$.^[5]

적용들

${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{t}}$ →${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \lim _{t\to \infit }f(t)}$을(를) 얻기 위한 최종 값 이론은 시스템의 장기 안정성을 확립하는 데 응용할 수 있다$$.

${\displaystyle \underset{}{im}}$ ${\displaystyle \underset{}{s}}$→ ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (s}$) ${\$

아벨의 최종 가치 정리

는 f:(0, ∞)→ C{\displaystyle f:(0,\infty)\to \mathbb{C}}및 측정이 가능한 경계를 이루고 있고 lim지→ ∞ f(t))α∈ C{\displaystyle \lim_{t\to\infty}(t)=\alpha \in \mathbb{C}}. 모든 s을 그리고 F(s){F(s)\displaystyle}존재한다. 0{\displaystyle s>0}과 lim s→ 0+가정해 보자. sF(${\displaystyle s}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lim _{s\,\to,0^{+}{sF}=\alpha$ $\}.$^[7]

초등 증거^[7]

는 f편의(t)≤(0, ∞){\displaystyle(0,\infty)}에 1{\displaystyle f(t)\leq 1}, 그리고 α t→ ∞ f({\displaystyle \alpha =\lim_{t\to\infty}(t)lim =}., 그리고 f(t)− α{A\displaystyle}을 선택하ϵ>0{\displaystyle \epsilon>0}자 가정해 보자. <>ϵ모든 t<>입니다에{\displaystyle f(t)-\alpha<>\epsilon};A{\displaystyle t&gt을 말한다.A-RCB-. s 이후 ∫ 0∞ es− td 있어=1{\displaystyle s\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,dt=1}, 모든 s>로 우리는 0{\displaystyle s>0}을 가지고 있다.

${\displaystyle sF(s)-\alpha =s\int_{0}(f(t)-\alpha)e^{-st}\,dt.}.$

따라서

${\displaystyle sF(s)-\alpha \leq s\int_{0}^{A}f(t)-\alpha e^{-st}\,dt+s\int _{A}^{\infty}f(t)-\alpha{2s\int _{0}^ e^{-st}\,dt\leq.A}e^{-st}\,dt+\epsilons\int _{A}^{\infty}e^{-st}\,dt=I+II.}$

모든 s을로 자, 0{\displaystyle s>0}.

나는;ϵ s∫ 0∞ es− tdt=ϵ{\displaystyle II<, \epsilon s\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,dt=\epsilon}<.

On the other hand, since ${\displaystyle A<\infty }$ is fixed it is clear that ${\displaystyle \lim _{s\to 0}I=0}$, and so ${\displaystyle sF(s)-\alpha <\epsilon }$ if ${\displaystyle s>0}$ is small enough.

파생상품의 라플라스 변환을 이용한 최종가치정리

다음 조건이 모두 충족된다고 가정합시다.

1. ${\displaystyle f}$: (${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$ ($0,\inflt )\to \mathb {C}}$은(는) 지속적으로 다를 수 있으며 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 및 f$$${\displaystyle {}^{}}f{\displaystyle {}^{}}$ ${\$은(는) Laplace 변환을 가진다$$.
2. ${\displaystyle f^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ f$'}$은(는) 절대적으로 통합할 수 있음 - ${\displaystyle {즉\mathrm{}}_{}^{}}$,${\displaystyle {}_{\mathrm{}}^{}}$ 0 ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle f{}_{}^{}{}^{}\tau }$ ( ${\displaystyle d)}$ d ${\displaystyle d}$ $\$ {\$displaystyle$ \int $\int _{0}^{\f'(\tau$) \$d\au }}$은(는) 유한함
3. ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{t}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle f}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle \lim _{t\to \inft }f(t)}$이(가) 존재하며$$ 유한하다.

그러면

${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{s}}$→ ${\displaystyle \underset{}{{\mathrm{}}^{}}}$+ s ${\displaystyle F}$(${\displaystyle s}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ t${\displaystyle \underset{}{}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle \underset{}{}}$) ${\displaystyle \lim _{s\to 0^{+sF(s)=\lim _{$t\$to \inft(t$^[8]

비고

그 증거는 지배적인 컨버전스 정리를 사용한다.^[8]

함수의 평균에 대한 최종 값 정리

$f{\displaystyle }$: (${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$ ($0,\infit )\to \mathb {C}$에 다음과 같은 제한이 존재하도록 연속적이고 경계된 함수가 되도록 한다$$.

${\displaystyle \lim _{T\to \inflat }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\,dt=\알파 \in \mathb {C}}$

그런 다음 s → , > F() = ${\displaystyle \lim$ \$lim _,\to \,0,s}{sF}=\alpha$ ^[9]

무증상 정기함수의 최종값 정리

Suppose that ${\displaystyle f:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ is continuous and absolutely integrable in ${\displaystyle [0,\infty )}$. Suppose further that ${\displaystyle f}$ is asymptotically equal to a finite sum of periodic functions ${\displaystyle f_{\mathrm {as} }}$, that is

${\displaystyle f(t)-f_{\mathrm {as} }(t) <\phi(t)}$

여기서 $\varphi {\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \pi (t)}$은$({\displaystyle }$는) [${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\displaystyle [0,\infit )}$에서 절대적으로 통합 가능하며 무한대에서$$ 사라진다$$.그러면

${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{s}}$→ 0 ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{s}}}$ ${\displaystyle F}$(${\displaystyle }$) =${\displaystyle \underset{}{lim}}$ t${\displaystyle \underset{}{}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ 1 ${\displaystyle \underset{}{}\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \int {}_{}^{}}$ 0 ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle d}$ $\\displaystyle \lim _{s\to 0}sF(s)=\lim _{t\fract${1$}{t}\int _{0}^{t}f(x)\,dx$^[10]

무한대로 분산되는 함수의 최종 값 정리

Let ${\displaystyle f(t):[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ and ${\displaystyle F(s)}$ be the Laplace transform of ${\displaystyle f(t)}$. Suppose that ${\displaystyle f(t)}$ satisfies all of the following conditions:

1. ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle f(t)}$은(는) 0에서 무한히 다를 수 있음$$
2. ${\displaystyle f^{}}$( ${\displaystyle k^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle$ f$^{(k)}(t)}$에 음이 아닌 모든 정수 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$에 대한 Laplace 변환이 있음$$
3. ${\displaystyle f}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(t)}$이(가) t → ${\displaystyle \mathrm{\to }}$ ${\displaystyle t\to \infit }($으)로 무한대로 전환됨$$

그런 다음 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$(${\displaystyle }$s ) ${\displaystyle sF}$이(가)${\displaystyle }$s → ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$+ ${\$ 0$^{+}$로 무한대로 전환된다$.$^[11]

부적절하게 통합할 수 있는 함수에 대한 최종 가치 정리(Abel의 통합에 대한 정리)

$h{\displaystyle }$:${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ h$:[0,\inforty )\to \mathb {R} }$을(를) 측정할 수 있도록 하고 (아마 부적절한) $f{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$)${\displaystyle :={}_{}^{}}$0 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ h${\displaystyle }$( t${\displaystyle }$) d ${\displaysty f(x$)를 측정할 수 있도록$$ 한다$.$$=\int _{0}^{x}h(t)\,dt}$ converses for$$ $x{\displaystyle }$→$$【\$displaystyle$ x$\to \inflt$ $\}】$ 그러면

${\displaystyle \int_{0}^{0}^{\infit }h(t)\,dt:=\lim_{x\f(x)=\lim_{s\downarrow 0}\int_{0}^{0}^{-st}h(t)\,dt.}$

이것은 아벨의 정리 버전이다.

이를 ${\displaystyle \mathrm{확인}}$하려면 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle h}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ f$'(t)=h(t)}$을(를) 확인하고$$ 부품별 통합 후 $최종$ 값$$정리를 f {\$displaystyle$ f$}$에 적용하십시오.> ${\displaystyle s>0}$의 경우

${\displaystyle s\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt={\Big [}-e^{-st}f(t){\Big ]}_{t=o}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }e^{-st}f'(t)\,dt=\int _{0}^{\infty }e^{-st}h(t)\,dt.}$

최종 값 정리에 의해 좌측은 $s{\displaystyle }$→$$에 대해$$$$${\displaystyle \underset{}{im}}$ x${\displaystyle \underset{}{}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\$$displaystyle$ $\lim$ $_$${x\$$to \$$inf(x)}$에 수렴된다.

실무에서 부적절한$$ 적분 ${\displaystyle \underset{}{im}}$ ${\displaystyle \underset{}{x}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$x $){\displaystyle \lim _{x\to \infit }f(x)}}$의 합치를 확립하기 위해서는 Dirichlet의 부적절한 적분 테스트가 종종 도움이 된다.그 예가 디리클레 적분이다.

적용들

${\displaystyle \underset{}{ims}}$→ ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle F}$($){\$를 얻기 위한 최종 값 이론에는 확률의 적용과 랜덤 변수의 모멘트를 계산하는 통계가 있다$$.Let ${\displaystyle R(x)}$ be cumulative distribution function of a continuous random variable ${\displaystyle X}$ and let ${\displaystyle \rho (s)}$ be the Laplace-Stieltjes transform of ${\displaystyle R(x)}$. Then the ${\displaystyle n}$-th moment of ${\displaystyle X}$ can be ca로 간주되는.

${\displaystyle E[X^{n}]=(-1)^{n}\왼쪽.{\frac {d^{n}\rho(s)}{ds^{n}}\오른쪽 _{s=0}}$

전략은 글 쓰는 것이다.

${\dfrac {d^{n}\rho(s)}{ds^{n}}={\mathcal {F}{\bigl (}G_{1}s),G_{2}개,\dots,G_{k}개,\dots {\bigr )}}}}$

where ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\dots )}$ is continuous and for each ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle G_{k}(s)=sF_{k}(s)}$ for a function ${\displaystyle F_{k}(s)}$. For each ${\displaystyle k}$, put ${\displaystyle f_{k}(t)}$ as the inverse Laplace transform of ${\displaystyle F_{k}(s)}$, obtain ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }f_{k}(t)}$, and apply a final value theorem to deduce ${\displaystyle \lim _{s\,\to \$$,0}{G_{k}}=\lim _{s\,\to \,0}{s$$}$$F_{k}=\lim _{t\to \infit }f_{k}(t$그러면

$왼쪽.{\frac {d^{n}\rho (s)}{ds^{n}}}\right _{s=0}={\mathcal {F}}{\Bigl (}\lim _{s\,\to \,0}G_{1}(s),\lim _{s\,\to \,0}G_{2}(s),\dots ,\lim _{s\,\to \,0}G_{k}(s),\dots {\Bigr )}}$

따라서$$ $E{\displaystyle }$[ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle E[X^{n}]}$을(를) 얻는다.

예

이 절은 출처를 인용하지 않는다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 섹션을 개선할 수 있도록 도와주십시오. 비소싱된 자료는 도전하여 제거할 수 있다.(2011년 10월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 학습)

FVT가 유지되는 예

예를 들어, 전송 기능으로 설명되는 시스템의 경우

${\displaystyle H(s)={\frac {6}{s+2}},}$

그래서 충동 반응은

${\displaystyle \lim _{t\to \h(t)=\lim _{s\to 0}{\frac {6s}{s+2}}=0.}$

즉, 이 시스템은 짧은 충동에 의해 교란된 후 0으로 되돌아간다.단, 단위 스텝 응답의 라플라스 변환은

${\displaystyle G(s)={\frac {1}{1}{s}{\frac {6}{s+2}}:}$

그래서 단계적 반응이

${\displaystyle \lim_{t\to \inflit }g(t)=\lim_{s\to 0}{\frac {6}{s+2}}={\frac {6}{2}}=3}$

따라서 제로 상태 시스템은 지수 상승에 따라 최종 값 3까지 상승할 것이다.

FVT가 고정되지 않는 예제

전송 기능으로 설명되는 시스템의 경우

${\displaystyle H(s)={\frac {9}{s^{2}+9},}$

최종 값 정리는 충동 반응의 최종 값을 0으로 예측하고 단계 반응의 최종 값은 1로 예측하는 것으로 나타난다.그러나 시간 영역 제한은 존재하지 않으므로 최종 값 정리 예측은 유효하지 않다.실제로 충동반응과 스텝반응 모두 진동하며, (이 특수한 경우) 최종값 정리는 반응이 진동하는 주위의 평균값을 기술한다.

제어 이론에서 수행된 두 가지 점검은 최종 가치 정리에 대한 유효한 결과를 확인하는 것이다.

1. $H{\displaystyle (s}$) ${\displaystyle H(s)}$ 분모의 0이 아닌 모든 루트는 음의 실제 부품을 가져야 한다$$.
2. ${\displaystyle H}$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle H}$은(는) 원점에 둘 이상의 극을 가질 수 없다$$.

분모의 $루트$가 0${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{j}}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle$ 0$+j3}$ 및$$ $0{\displaystyle \mathrm{}}$- ${\displaystyle \mathrm{j}}$ 3 ${\displaystyle 0-j3}$이라는 점에서 이 예에서는 규칙 1이 충족되지 않았다$.$

Z 변환에 대한 최종 값 정리

${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{k}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ f${\displaystyle }$[ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \lim _{k\to \infit }f[k]}}$을(를) 추론하는 중

최종 가치 정리

If ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }f[k]}$ exists and ${\displaystyle \lim _{z\,\to \,1}{(z-1)F(z)}}$ exists then ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }f[k]=\lim _{z\,\to \,1}{(z-1)F(z)}}$.^{[4]: 101}

선형 시스템의 최종 값

연속 시간 LTI 시스템

시스템의 최종 값

${\dot스타일 {\mathbf {x}}}}}}}}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x}(t)+\mathbf {B} \mathbf {u}(t)}$

${\displaystyle \mathbf {y}(t)=\mathbf {C} \mathbf {x}(t)}$

진폭 $R$이$${\$displaystyle$ R$}$인 스텝 ${\displaystyle \mathrm{입력}}$ $u{\displaystyle \mathbf{}(}$$t$${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathbf {u}(t)$에 대한 응답$$:

${\displaystyle \lim_{t\to \infit }\mathbf {y}(t)=\mathbf {CA}^{-1}\mathbf {B} R}$

샘플링된 데이터 시스템

aperiodic 샘플링 시간 $t{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i}$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. ${\displaystyle t_{i},i=1,2,...$에서 위의 연속 시간 LTI 시스템의 샘플링 데이터 시스템.${}$은(는) 이산 시간 시스템이다.

${\displaystyle {\mathbf {x}(t_{i+1})=\mathbf {\Phi }(h_{i})\mathbf {x}(t_{i})+\mathbf {u}(t_{i}}})}$

${\displaystyle \mathbf {y}(t_{i})=\mathbf {C} \mathbf {x}(t_{i})$

여기서$$ ${\displaystyle h_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle t_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$- ${\displaystyle t_{}}$ ${\$ 및

${\displaystyle \mathbf {\Phi } (h_{i})=e^{\mathbf {A} h_{i}}}$, ${\displaystyle \mathbf {\Gamma } (h_{i})=\int _{0}^{h_{i}}e^{\mathbf {A} s}\,ds}$

진폭 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$을(를) 가진 스텝 입력 $u{\displaystyle \mathbf{}(t}$) ${\displaystyle \mathbf {u}(t)$에 응답하는 이 시스템의 최종 값은 원래 연속 시간 시스템의 최종 값과 동일하다$$.^[12]

참고 항목

• 초기값 정리
• Z-변환기
• 라플라스 변환
• 아벨과 타우베리아의 이론

메모들

외부 링크

• https://web.archive.org/web/20101225034508/http:///wikis.controltheorypro.com/index.php?title=Final_Value_Theorem
• http://fourier.eng.hmc.edu/e102/lectures/Laplace_Transform/node17.html: 라플라스 최종값
• https://web.archive.org/web/20110719222313/http:///www.engr.iupui.edu/~skoskie/ECE595s7/ 유인물/fvt_proof.pdf: Z 변환에 대한 최종 가치 증명