내적 자동형성

추상 대수학에서 내적 자동형은 결합 원소라 불리는 고정 원소의 결합 작용에 의해 주어지는 집단, 고리 또는 대수학의 자동형성이다.그것들은 그룹 자체 내에서 간단한 조작을 통해 실현될 수 있으며, 따라서 "내부"라는 형용사가 있다.이러한 내적 자동화는 자동형 집단의 한 부분군을 형성하며, 이 부분군에 의한 자동형 집단의 몫은 외부 자동형 집단의 정의다.

정의

$G$ 가 그룹이고 $g$ 가 $G$ 의 요소(대안, $G$ 가 고리, $g$ 가 단위인 경우)인 경우 함수

{\begin{aigned}\varphi _{g}\colon G&\to G\\\\varphi _{g}(x)&:=g^{-1}xg\end{aigned}}}}

$g$ 에 의한 (우측) 결합이라고 한다(결합 등급 참조).이 함수는 $G$ : 모든 x $x_{1},x_{2}\in G,$ , $x_{1},x_{2}\in G,$ $x_{1},x_{2}\in G,$ $x_{1},x_{2}\in G,$ $x_{1},x_{2}\in G,$ $x_{1}, x_{2}\in G,$ 에 대한 내형성이다.

\varphi _{g}(x_{1}x_{2})=g^{-1}x_{1}x_{2}g=\left(g^{-1}x_{1}g\right)\left(g^{-1}x_{2}g\right)=\varphi _{g}(x_{1})\varphi _{g}(x_{2}),

$x_{1}$ 서 x $x_{1}$ ${\$ }와 $x_{1}$ $x_{2}.$ $x_{2}.$ . ${\displaystyle x_{2$ } 사이에 $x_{2}.$ ID를 삽입하여 두 번째 동등성이 주어지며, 더 나아가 $x_{2}.$ $\varphi _{g^{-1}}.$ g $\varphi _{g^{-1}}.$ - $\varphi _{g^{-1}}.$ . $\varphi _{g^-1}}}}$ 의 좌우 역행도 있다. $\varphi _{g^{-1}}.$ 따라서 $\varphi _{g}$ $\varphi _{g}$ ${\$ 은(는) 비주사적이며 $\varphi _{g}$ , 따라서 그 자체로 $G$ 의 이형성, 즉 자동성.내적 자동형성은 결합에서 발생하는 모든 자동형성이다.^[1]

오른쪽 결합을 논할 때 $g^{-1}xg$ - 1 $g^{-1}xg$ g ${\displaystyle$ g $^{-1}xg}$ 라는 표현은 $x^{g}.$ x $x^{g}.$ . ${\displaystyle$ x $^{g}$ 로 기하급수적으로 표시된다 $g^{-1}xg$ . $}$ This notation is used because composition of conjugations satisfies the identity: $\left(x^{g_{1}}\right)^{g_{2}}=x^{g_{1}g_{2}}$ for all $g_{1},g_{2}\in G.$ This shows that conjugation gives a right action of $G$ on itself.

내적 및 외적 자동형성

두 개의 내적 자동화의 구성은 다시 내적 자동화가 되며, 이 조작으로 $G$ 의 모든 내적 자동화의 집합은 그룹, 즉 $G$ 의 내적 자동화가 $Inn(G$ )을 나타낸다 $.$

$Inn(G)$ 은 $G$ 의 완전 자동화 그룹 Aut $(G)$ 의 정상 서브그룹이다.외부 자동형성 그룹, $Out(G)$ 은 지수 그룹이다.

\operatorname {Out}(G)=\operatorname {Aut}/\operatorname {Inn}(G)

외부 자동형성 집단은 어떤 의미에서 $G$ 의 자동형이 얼마나 많은 것이 내면이 아닌가를 측정한다.모든 비내부 자동형은 비외부 요소인 $Out(G$ )을 산출하지만 $,$ 서로 다른 비내부 자동화는 $Out(G$ )과 동일한 요소를 산출할 수 있다 $.$

$x$ 에 x를 x에 변화하지 않은 나뭇잎 $x$ 에 의한 결합을 $말하는$ 것은 $a$ 와 x가 통근한다고 말하는 것과 같다.

a^{-1}xa=x\iff ax=xa.

따라서 정체성 맵핑이 아닌 내부 자동화의 존재와 수는 집단(또는 고리)에서 상쇄법의 실패에 대한 일종의 척도라고 할 수 있다.

그룹 $G$ 의 자동형성은 $G$ 를 포함하는 모든 그룹까지 확장되는 경우에만 내적인 것이다.^[2]

위와 같이 요소 $a$ ∈ $G$ 를 $Inn(G)$ 에서 내부 자동형성 $f (x)$ = $x$ 와^a 연관시킴으로써, $지수군$ G $/ Z (G$ )와 내부 자동형성군 사이의 이형성을 얻는다( $여기$ 서 Z $(G)$ 는 $G$ 의 중심이다).

G/Z(G)\cong \operatorname {Inn}(G).

$이$ 는 Z $(G)$ 가 정확하게 $G$ 의 그러한 요소들의 집합으로서 내적 자동성(결성은 아무것도 바꾸지 않는다)으로서 정체성 매핑을 제공하는 것이기 때문에 첫 번째 이형성 정리의 결과물이다.

유한 p-그룹의 비내부 자동화

볼프강 가슈츠 결과 $G$ 가 유한한 비아벨리안 p그룹이라면 $G$ 는 내면이 아닌 p-파워 질서의 자동형성을 갖는다고 한다.

모든 비아벨리안 p-그룹 $G$ 가 $순서$ p의 자동형성을 가지는지는 공공연한 문제다.후자 문항은 $G$ 가 다음 조건 중 하나를 가질 때마다 긍정적인 답을 갖는다.

$G$ 는 클래스 2의 0이다.
$G$ 는 일반 p-그룹이다.
$G / Z (G)$ 는 강력한 p-그룹이다.
Frattini 부분군 $φ$ 의 $G$ , C, $중심 G$ $Z$ , G, $C G$ ∘ $Z$ $\circ$ ∘( $G)$ 의 중심기는 $φ(G)$ 과 같지 않다.

그룹 유형

그룹 $G$ , Inn $(G)$ 의 내적 오토모르피즘 그룹은 사소한 것(즉, $G$ 가 아벨리안인 경우에만 정체성 요소로 구성된다)이다.

그룹 $Inn(G)$ 은 사소할 때만 순환한다.

스펙트럼의 반대쪽 끝에서 내부 자동형은 전체 자동형 집단을 소진시킬 수 있다. 자동형이 모두 내적인 집단이고 중심이 사소한 집단을 완전체라고 한다. $n$ 이 2 또는 6이 아닌 경우 n $요소$ 의 모든 대칭 그룹에 적용된다. $n$ = $6일$ 때 대칭 그룹은 외부 자동화의 비경쟁 등급이 고유하고, $n$ = $2일$ 때, 외부 자동화가 없음에도 불구하고 대칭 그룹은 아벨리안으로서 비경쟁적 중심을 부여하여 완전성을 박탈한다.

완벽한 그룹 $G$ 의 내적 오토모르피즘 그룹이 단순하다면, $G$ 를 Quasisimple이라고 부른다.

리 대수 케이스

Lie 대수 $Ⅱ$ 의 자동형성은 $Ad형식$ 이라면_g 내적 자동형성이라고 하는데, $여기$ 서 Ad는 부선형 지도, $g$ 는 Lie 대수형이 $Ⅱ인$ Lie 집단의 요소다.리알헤브라에 대한 내적 오토모르피즘의 개념은 리 그룹 내적 오토모르피즘이 해당 리 대수학의 독특한 내적 오토모르피즘을 유도한다는 점에서 집단의 개념과 양립할 수 있다.

확장

$만약$ G가 링의 단위 $그룹$ 인 A인 경우, M( $A 2)$ 의 단위 그룹에 의해 $G$ 의 내부 자동형이 $A$ 를 통한 투영 라인의 매핑으로 확장될 수 있다 $.$ 특히 고전파의 내적 자동화는 그런 식으로 확장될 수 있다.

참조

^ S., Dummit, David (2004). Abstract algebra. Foote, Richard M., 1950- (3. ed.). Hoboken, NJ: Wiley. p. 45. ISBN 9780471452348. OCLC 248917264.
^ Schupp, Paul E. (1987), "A characterization of inner automorphisms" (PDF), Proceedings of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 101 (2): 226–228, doi:10.2307/2045986, JSTOR 2045986, MR 0902532

추가 읽기

Abdollahi, A. (2010), "Powerful p-groups have non-inner automorphisms of order p and some cohomology", J. Algebra, 323 (3): 779–789, arXiv:0901.3182, doi:10.1016/j.jalgebra.2009.10.013, MR 2574864
Abdollahi, A. (2007), "Finite p-groups of class 2 have noninner automorphisms of order p", J. Algebra, 312 (2): 876–879, arXiv:math/0608581, doi:10.1016/j.jalgebra.2006.08.036, MR 2333188
Deaconescu, M.; Silberberg, G. (2002), "Noninner automorphisms of order p of finite p-groups", J. Algebra, 250: 283–287, doi:10.1006/jabr.2001.9093, MR 1898386
Gaschütz, W. (1966), "Nichtabelsche p-Gruppen besitzen äussere p-Automorphismen", J. Algebra, 4: 1–2, doi:10.1016/0021-8693(66)90045-7, MR 0193144
Liebeck, H. (1965), "Outer automorphisms in nilpotent p-groups of class 2", J. London Math. Soc., 40: 268–275, doi:10.1112/jlms/s1-40.1.268, MR 0173708
Remeslennikov, V.N. (2001) [1994], "Inner automorphism", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Weisstein, Eric W. "Inner Automorphism". MathWorld.

[1] S., Dummit, David (2004). Abstract algebra. Foote, Richard M., 1950- (3. ed.). Hoboken, NJ: Wiley. p. 45. ISBN 9780471452348. OCLC 248917264.

[2] Schupp, Paul E. (1987), "A characterization of inner automorphisms" (PDF), Proceedings of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 101 (2): 226–228, doi:10.2307/2045986, JSTOR 2045986, MR 0902532

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