매트릭스 링

추상대수학에서 매트릭스 링은 매트릭스 덧셈과 매트릭스 곱셈에 따라 링을 형성하는 링 R에 입력된 행렬의 집합이다(Lam 1999). R에 항목이 있는 모든 n × n 행렬의 집합은 M_n(R)^[1][2][3][4]을 나타내는 행렬 고리(대체 표기: Mat_n(R)^[2]와 R^n×n[5])이다. 무한 행렬의 일부 집합은 무한 행렬 링을 형성한다. 매트릭스 링의 서브링은 매트릭스 링이다. rng를 넘으면 matrix rng를 형성할 수 있다.

R이 정류 링일 때 매트릭스 링 M_n(R)은 R에 대한 연관 대수로서 매트릭스 대수라고 할 수 있다. 이 설정에서 M이 행렬이고 r이 R이면 행렬 rM은 각 항목에 r을 곱한 행렬 M이 된다.

예

• R에 대한 모든 n × n 행렬의 집합은 M_n(R)으로 표시된다. 이것은 때때로 "n-by-n 행렬의 완전한 고리"라고 불린다.
• R 위에 있는 모든 위쪽 삼각형 행렬의 집합.
• R 위에 있는 모든 하단 삼각형 행렬의 집합.
• R 위에 있는 모든 대각 행렬의 집합. 이_n M(R)의 하위골격은 R의 n개 사본의 직접 생산물과 이형성이다.
• 들어 어떤 지수 나는 세트, 오른쪽 R-module의 Mendomorphisms의 반지)나는 ∈ 나는{\textstyle M=\bigoplus_{i\in 1세}R}반지로 동형은 R CFM나는(R){\displaystyle \mathbb{confimi확인하시오}_ᆭ(R)}에 의해 나는 생각과 기둥 각 조는 오직 유한하게 많은 나는 × 칼럼 한정된 매트릭스의[표창 필요한]의 항목을 인덱싱 되어 있으므로 ⨁.0이 아닌 항목. 왼쪽 R-모듈로 간주되는 M의 내형성 링은 유한 행렬의 링$$ $R{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{F}}_{}}$ M ${\displaystyle {}_{}}$( R${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathbb${RFM}$_{I}(R)}$에 이형성이 있다.
• R이 Banach 대수라면, 앞의 점에서의 행이나 기둥의 정밀도 조건을 완화할 수 있다. 표준이 마련되면, 절대적으로 수렴된 시리즈를 유한한 총액 대신 사용할 수 있다. 예를 들어, 열 합계가 절대적으로 수렴 시퀀스인 행렬이 링을 형성한다.^{[dubious – discuss]} 물론 유사하게 행 합계가 절대적으로 수렴 시리즈인 행렬도 반지를 형성한다.^{[dubious – discuss]} 예를 들어, 이 아이디어는 힐버트 공간의 운영자들을 나타내기 위해 사용될 수 있다.
• 유한행과 칼럼 유한 행렬 링의 교차점은 R ${\displaystyle {\mathbb{C}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{F}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{M}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle R}$) ${\displaystyle \mathb {RCFM} _{I}(R)}$을(를) 형성한다$.$
• R이 역교합적인 경우, M_n(R)은 R 위에 *-알지브라 구조를 가지며, 여기서_n M(R)의 비자발 *는 매트릭스 전이이다.
• A가 C*-알지브라라면 M_n(A)은 또 다른 C*-알지브라다. A가 비유니탈인 경우 M_n(A)도 비유니탈인 것이다. Gelfand-Naimark의 정리에는 힐버트 공간 H와 A에서 연속 연산자의 대수 B(H)의 표준 닫힌 하위골격까지 등축 * 이형성이 존재한다. 이는 B(H^{${\displaystyle \oplus n}$})의 하위골격으로 M_n(A)을 식별한다. 단순성을 위해 H가 분리 가능하고 A $\subseteq {\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$(H)가 단수 C*-algebra라고 가정하면 A를 더 작은 C*-algebra 위에 있는 행렬 링으로 나눌 수 있다. 사람은 그렇게 있었고, 그래서 그것의 직교 돌출부 1− p 대해 프로젝션 p를 고쳐서;그는(한 pp p(1− p)과(p1−)(p1−)ApA(p1−)){\displaystyle{\begin{pmatrix}pAp& 확인할 수 있다;pA(1-p)\\(1-p)Ap&,(1-p)A(1-p)\end{pmatrix}}}, 매트릭스 곱셈 연산에서도는 orthogona 때문에 의도한 일을 할 수 있다.의 lity 투영 C*-알지브라 위에 매트릭스 링이 있는 A를 식별하기 위해서는 p와 1 - p가 동일한 rankrank″을 가질 것을 요구하고, 보다 정확하게는 p와 1 - p가 Murray-von Neumann 등가, 즉 p = u*와 1 - p = u*u*와 같은 부분 등가 존재해야 한다. 이것을 더 큰 크기의 행렬로 쉽게 일반화할 수 있다.
• 복합 매트릭스 알헤브라스 M_n(C)은 이소모르피즘까지 복합수의 필드 C 위에 있는 유일한 유한차원 단순 연관성 알헤브라스다. 매트릭스 알헤브라의 발명에 앞서 1853년 해밀턴은 반지를 도입했는데, 그 요소들은 그가 ${\displaystyle {바이쿼터니온이}_{}}$라고^[6] 불렀고 현대 작가들은 C ${\displaystyle r_{}\mathbf{}{}_{}}$R H$${\$displaystyle \mathbf$ {$C}\otimes _{\mathbf {R}}\mathbf {H$에서 텐서르를 불렀는데, 이는 나중에₂ M(C)에 이형성으로 나타났다. M₂(C)의 한 가지 기준은 4개의 행렬 단위(1개의 행렬과 모든 다른 항목이 0인 행렬)로 구성되며, 또 다른 기준은 ID 행렬과 3개의 Pauli 행렬에 의해 제시된다.
• 들판 위의 매트릭스 링은 프로베니우스 대수학이며, 프루베니우스 형식은 제품의 흔적에 의해 주어진다: ((A, B) = tr(AB).

구조

• 매트릭스 링 M_n(R)은 랭크 n의 자유 우측 R-모듈의 내형성 링, 즉 M_n(R) ≅ End_R(Rⁿ)로 식별할 수 있다. 행렬 곱셈은 내형성의 구성에 해당한다.
• 디비전 링 D 위에 있는_n 링 M(D)은 아르티니안 심플 링으로, 특별한 형태의 세미 구현 링이다. $C{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{F}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{M}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( D${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathb {CFM} _{I}($${\displaystyle D}$$)$ $\_${${\displaystyle {\mathbb{FM}}_{}\}}$ _$\displaystyle \mathb${RFM}$_{I}(D)$ 링은 단순하지 않고 세트 I가 무한하다면 Artinian이 아니지만 ${\displaystyle \mathrm{여전히}}$ 완전 선형이다.
• 아르틴-웨더번 정리에서는 일부 비음수 정수 r, 양의 정수 n_i, 분할 링 D에_i 대해 모든 반이행 링이 유한 직접 생산물 $\prod \underset{i}{\overset{}{}}$ = 1 $\underset{}{\overset{}{}}$ m ${n{}_{}}_{}$ ${i_{}}_{}($ (${Di}_{}$ ${}_{}$ ${\textstyle \prod _{i=$1}^{$r}\opername {M$$_{n_{i}(D_{i})$에 대해 이형이라고 명시하고 있다.
• 우리가_n M(C)을 C의ⁿ 선형 내형성의 고리로 볼 때, 주어진 아공간 V에서 사라지는 행렬은 왼쪽 이상을 형성한다. 반대로, M_n(C)의 주어진 왼쪽 이상 I에 대해 I의 모든 행렬의 null 공간의 교차점은 C의ⁿ 하위 공간을 제공한다. 이 공사에서는 M_n(C)의 왼쪽 이상이 C의ⁿ 서브 스페이스와 편향되어 있다.
• M_n(R)의 양면 이상과 R(R)의 양면 이상 사이에는 편차가 있다. 즉, R의 각 이상 I에 대해, I에 기재된 모든 n × n 행렬의 집합은 M_n(R)의 이상이며, M_n(R)의 각 이상은 이러한 방식으로 발생한다. 이는_n R이 단순할 경우에만 M(R)이 단순하다는 것을 의미한다. n ≥ 2의 경우, M_n(R)의 모든 왼쪽 이상이나 오른쪽 이상이 R의 왼쪽 이상이나 오른쪽 이상에서 이전 구조로 발생하는 것은 아니다. 예를 들어, 지수 2부터 n까지의 열이 모두 0인 행렬 집합은 M_n(R)에서 왼쪽 이상을 형성한다.
• 이전의 이상적인 대응은 실제로 고리 R과 M_n(R)이 모리타 등가라는 사실에서 비롯된다. 대략적으로 말하면, 이것은 왼쪽 R-모듈의 범주와 왼쪽 M_n(R)-모듈의 범주가 매우 유사하다는 것을 의미한다. 이 때문에 좌 R-모듈과 좌 M_n(R)-모듈의 이소모르피즘계급과 좌익_n 이상 M(R)-모듈의 이소모르피즘계급 사이에는 자연적으로 비주사적 대응성이 존재한다. 동일한 진술이 올바른 모듈과 올바른 이상을 담고 있다. 모리타_n 동등성을 통해 M(R)은 단순함, 아티니아, 노메테리아, 프라임 등 R의 모리타 인바리어스 특성을 모두 계승한다.

특성.

• S가 R의 서브링이라면 M_n(S)은 M_n(R)의 서브링이다. 예를 들어, M_n(Z)은_n M(Q)의 서브링이다.
• 매트릭스 링 M_n(R)은 n = 0, R = 0, 또는 R이 역순이고 n = 1인 경우에만 역순이다. 사실 이것은 위쪽 삼각형 행렬의 서브링에도 적용된다. 다음은 통근하지 않는 두 개의 위쪽 삼각형 2 x 2 행렬을 보여주는 예로서, 1㎛ 0으로 가정한다.

  ${\displaystyle {\bmatrix}1&0\0&0\end{bmatrix}{bmatrix}{\nd{bmatrix}1&1\0&0\end{bmatrix}}={\nd{bmatrix}}}}}$

  그리고

  ${\displaystyle {bmatrix}1&#1\\0&0\end{bmatrix}{bmatrix}{bmatrix}{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}={\nd{bmatrix}}}.}$

• n ≥ 2의 경우, 0이 아닌 링 위에 있는 매트릭스 링 M_n(R)은 0의 divisor와 nilpotent 요소를 가지고 있다. 상위 삼각형 행렬의 링에 대해서도 같은 고정력을 가진다. 2 × 2 행렬의 예는 다음과 같다.

  ${\displaystyle {\bmatrix}0&#1\\0&0\end{bmatrix}{bmatrix}{bmatrix}{bmatrix}1\\0&0\end{bmatrix}={\nd{bmatrix}}}}.}$

• M_n(R)의 중심은 스칼라가 R의 중심에 속하는 ID 매트릭스의 스칼라 배수로 구성된다.
• M_n(R)의 단위 그룹은 곱하기 하의 변위할 수 없는 행렬로 구성되며 GL_n(R)로 표시된다.
• F가 필드인 경우, M_n(F)의 두 행렬 A와 B에 대해 AB = 1은 BA = 1을 의미한다. 그러나 이것은 모든 반지 R에 대한 것은 아니다. 매트릭스 링이 모두 언급된 속성을 가지고 있는 링 R은 안정적으로 유한한 링으로 알려져 있다(Lam 1999, 페이지 5).

매트릭스 의미 부여

사실, R은_n M(R)이 정의되려면 단지 하나의 의미일 필요가 있다. 이 경우 M_n(R)은 매트릭스 세미닝이라고 하는 세미닝이다. 마찬가지로, R이 정류적 의미인 경우 M_n(R)은 행렬의 반음계(semialgebra)이다.

예를 들어, R이 부울의 의미 부여(이원 부울 대수 R = {0,1}, 1 + 1 = 1)인 경우, M_n(R)은 결합을 덧셈으로 하고, 관계 구성을 곱으로 하고, 비어 있는 관계(0 행렬)를 0으로 하고, 정체성 관계(identity matrix)를 단위로 하는 n-element 집합의 이진관계의 연보이다.^[7]

참고 항목

• 중앙단순대수학
• 클리포드 대수
• 후르비츠의 정리(표준분할 알헤브라스)
• 제네릭 매트릭스 링
• 실베스터의 관성 법칙

참조