프라티니 부분군

Frattini subgroup
하세도 다이어드 그룹 Dih4 부분군 격자.두 번째 열에는 최대 하위 그룹이 있고, 이들의 교차점(Frattini 하위 그룹)은 세 번째 행의 중심 요소다.그래서 Dih는4 e를 넘어 하나의 비발생적 요소만 가지고 있다.

수학에서, 특히 그룹 이론에서, 그룹 G의 Frattini 하위 그룹 ( ) G의 모든 최대 하위 그룹의 교차점이다.For the case that G has no maximal subgroups, for example the trivial group {e} or the Prüfer group, it is defined by . It is analogous to the Jacobson radical in the theory of rings, and intuitively can be thought of as the subgroup of "small elements" (see the "non-generator" characterization below).1885년 발표된 논문에서 개념을 정의한 조반니 프라티니의 이름을 따서 지은 것이다.[1]

몇 가지 사실

  • is equal to the set of all non-generators or non-generating elements of G. A non-generating element of G is an element that can always be removed from a generating set; that is, an element a of G such that whenever X is a generating set of G containing a, is또한 생성되는 G의 집합.
  • ( ) 은(는) 항상 G의 특성 부분군이며, 특히 항상 G의 정상 부분군이다.
  • G가 유한하면 ) 이(가) 영점이다.
  • If G is a finite p-group, then . Thus the Frattini subgroup is the smallest (with respect to inclusion) normal subgroup N such that the quotient group is an elementary abelian group, i.e., isomorphic to a direct sum of cyclic groups of order p.게다가, 지수 그룹 / ) GGFrattini 지수라고도 함)가 p k p를 가질 경우 kG에 대한 발생 세트의 가장 작은 카디널리티(cardinality)이다.특히 유한 p-그룹은 그것의 Frattini 몫이 순환(순서 p)인 경우에만 순환한다.유한 p-group은 Frattini 하위 그룹이 사소한 그룹인 경우에만 초등 아벨리안이다. )={
  • HK가 유한하면 ( )= ( ) × ) (

소수집단이 아닌 Frattini 하위집단을 가진 그룹의예로는 2의 주기 그룹 G p}}, 여기서 p는 a, say에 의해 생성되는 프라임이다; (G) = }\}\rigle

참고 항목

참조

  1. ^ Frattini, Giovanni (1885). "Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni" (PDF). Accademia dei Lincei, Rendiconti. (4). I: 281–285, 455–457. JFM 17.0097.01.
  • Hall, Marshall (1959). The Theory of Groups. New York: Macmillan. (특히 10.4장 참조)