불가분미분방정식

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수학에서 분리할 수 없는 미분방정식은 변수의 분리를 이용하여 해결할 수 없는 일반적인 미분방정식이다.분리할 수 없는 미분 방정식을 해결하기 위해 라플라스 변환, 대체 등과 같은 많은 다른 방법을 사용할 수 있다.^{[citation needed]}

예

분리할 수 없는 일반적인 방정식을 고려하십시오.

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}+p(x)y=q(x)}$

이제 적분 인자 μ는 다음과^{[1][note 1]} 같이 정의된다.

${\displaystyle \mu =e^{\int p(x)\,dx}}$

따라서 다음과 같다.

${\dplaystyle {\frac {d\mu }{dx}}=\왼쪽(e^{\int p(x)\,dx}\오른쪽){\frac {d}}{dx}\좌(\int p(x)\,dx\오른쪽)}}$

${\displaystyle {\frac {d\mu }{dx}=\mu p(x)}$

여기서 우리는 위의 정의를 사용하여 방정식을 풀 수 있다.

${\displaystyle \mu \frac {dy}{dx}+\mu p(x)y=\mu q(x)}$

${\displaystyle \mu {dy}{dx}+y{\frac {d\mu }{dx}=\mu q(x)}$

(역방향으로 제품 규칙 사용)

${\displaystyle {\frac {d}{dx}(\mu y)=\mu \,q(x)}$

$\displaystyle \mu y=\int \mu \,q(x)\,dx}$

마지막으로 다음과 같은 이점을 얻는다.

${\displaystyle y={\frac {\int \mu \,q(x)\,dx}{\mu }}}$

이것은 선형 미분방정식, 즉 선형 미분방정식을 제외하고 y가 없는 대부분의 분리불가능한 방정식을 푸는 데 사용될 수 있다.예를 들어 분리할 수 없는 방정식의 해결:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}=x+y}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}-y=x}$

필요한 양식을 배열하여 다음을 얻는다.

${\displaystyle p(x)=-1}$

${\displaystyle q(x)=x}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}+p(x)y=q(x)}$

이제 필요한 것은 우리의 $원래{\displaystyle }$ 방정식인 y${\displaystyle }$=${\displaystyle \frac{\mu \mu }{}}$ ${\displaystyle \frac{q}{}}$ ( x ) d x ${\displaystyle \frac{}{}}$ {\$displaystyle y={\frac {\int \mu \,q(x)\,dx}{\mu$ $\}\}$에 꽂을 μs 값을 찾는 것이다.

${\displaystyle \mu =e^{\int p(x)\,dx}=e^{\int -1\,dx}=e^{-x}}$

이것을 원래의 방정식에 연결하고 단순화하는 것은 우리에게 마지막 해답을 준다.

${\displaystyle y={\frac {\int xe^{-x}\,dx}{e^{-x}}}}}}$

${\displaystyle y=e^{x}\왼쪽(-xe^{-x}-e^{-x}+C\right)}$

${\displaystyle y=Ce^{x}-x-1}$

분리할 수 없는 방정식을 예로 들어보자.

$2y'+3y'+y=5.}$

라플라스 변환을 사용하여 해결합시다.한 사람이 그것을 가지고 있다.

${\displaystyle {\mathcal {L}\{f'\}=s{\mathcal {L}\{f\}-f(0)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}\{f"\}=s^{2}{\mathcal {L}\{f\}-sf(0)-f'(0)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}\{f^{{f^{n)\right\}=s^{n}{\mathcal {L}\{f\}-s^{n-1}f(0)-\cdots -f^{f-1}(0)}(0).}$

라플라스 변환이 선형성의 규칙을 따르는 편리함을 이용하여, 미분방정식의 양쪽에서 라플라스 변환을 수행하고, 초기 값을 대체하고, 변환된 함수에 대해 해결한 다음, 역변환을 수행함으로써 위의 예시를 y에 대해 해결할 수 있다.

위의 ${\displaystyle \mathrm{예}}$에서는 $초기{\displaystyle }$ 값이 y${\displaystyle }$( 0${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ y$(0)=0}$이고 $y{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle$ y' ($0)=0$이라고 가정한다$.$$}}$ 그렇다면$$

${\displaystyle 2\좌측(s^{2}Y-s\cdot 0-0\우측)+3\좌측(sY)-0\우측)+++Y(s)={\frac {5}{s}}.}$

그 뒤를 잇는다.

$왼쪽(2s+1\오른쪽)\왼쪽(s+1\오른쪽)Y(s)={\frac {5}{s}}}}$

또는

${\displaystyle Y(s)={\frac {5}{s\좌측(2s+1\우측)\좌측(s+1\우측)}}.}$

이제 Y의 역방향 Laplace 변환을 사용하여 원래 방정식에 대한 해법 y를 구할 수 있다.

참고 항목

• 미분방정식
• 미분 방정식의 예
• 일반 미분방정식의 수치적 방법
• 모수의 변동 방법

메모들

참조