미분 방정식의 예

미분 방정식은 물리, 공학, 그리고 다른 과학의 많은 문제에서 발생한다.다음의 예는 정확한 해결책이 존재하는 몇 가지 간단한 경우에서 미분 방정식을 푸는 방법을 보여준다.

분리 가능한 1차 일반 미분 방정식

Equations in the form ${\frac {dy}{dx}}=f(x)g(y)$ are called separable and are solved by ${\frac {dy}{g(y)}}=f(x)\,dx$ and thus $\int {\frac {dy}{g(y)}}=\int f(x)\,dx$ . Prior $g(y)$ ( $g(y)$ ) $g(y)$ 로 나누려면 고정(평형이라고도 함 $g(y)$ $y={\text{const}}$ y $y={\text{const}}$ = $y={\text{const}}$ ${\$ 을 $y={\text{const}}$ (를) 만족하는 g $g(y)=0$ ( $g(y)=0$ ) $g(y)=0$ = $g(y)=0$ ${\displaysty g(y)=0}$ 이 있는지 확인할 필요가 있다 $g(y)=0$

분리 가능(동종) 1차 선형 보통 미분 방정식

첫 번째 순서의 분리 가능한 선형 보통 미분 방정식은 균질해야 하며 일반적인 형태를 가져야 한다.

{\frac {dy}{dt}+f(t)y=0

여기서 $f(t)$ ( $f(t)$ ) $f(t)$ 은 $f(t)$ (는) 알려진 기능이다.변수(y 항을 한쪽으로 이동하고 t 항을 다른 쪽으로 이동)의 분리로 이 문제를 해결할 수 있다.

{\frac {dy}{y}=-f(t)\,dt

이 경우 변수의 분리는 y로 나누는 것을 포함하므로 상수함수 y=0이 원래 방정식의 해법인지 반드시 확인해야 한다.사소한 것으로 y=0이면 y′=0이므로 y=0은 실제로 원래 방정식의 해법이다.우리는 y=0이 변형 방정식에서 허용되지 않는다는 점에 주목한다.

우리는 이미 분리한 변수들로 변환된 방정식을 통합함으로써 해결한다.

\displaystyle \ln y =\좌측값\int f(t)\,dt\오른쪽)++C}

여기서 C는 임의의 상수다.그리고 나서, 지수를 통해, 우리는 얻는다.

{\

C}=\pm e^{C}e^{-\int f(t)\,dt

$e^{C}>0$ 서 $e^{C}>0$ $e^{C}>0$ > 0 ${\displaystyle e^{C}}0$ 그래서 $\pm e^{C}\neq 0$ ± $\pm e^{C}\neq 0$ C $\pm e^{C}\neq 0$ 0 $\pm e^{C}\neq 0$ {\ $displaystyle \pm$ e $^{C}\neq$ 0 $\pm e^{C}\neq 0$ 그러나 y=0도 원래 방정식의 해법이라는 것을 우리는 독립적으로 확인하였으므로, 따라서 y=0도 원래의 방정식의 해법이라는 것을 확인했다.

y=Ae^{-\int f(t)\,dt}

=

y=Ae^{-\int f(t)\,dt}

y=Ae^{-\int f(t)\,dt}

-

y=Ae^{-\int f(t)\,dt}

y=Ae^{-\int f(t)\,dt}

( t

y=Ae^{-\int f(t)\,dt}

)

y=Ae^{-\int f(t)\,dt}

y=Ae^{-\int f(t)\,dt}

{\

y

=Ae^{-\int f(t)\,dt

임의의 상수 A로, 모든 경우를 포괄하는.이것이 원래의 미분방정식에 플러그를 꽂아 해결책임을 쉽게 확인할 수 있다.

{\frac}{dt}+f(t)=-f(t)\cdot Ae^{-\int f(t)\,dt}+f(t)\cdot Ae^{-\int f(t)\,dt}=0

ƒ(t)은 통합조차 불가능할 수 있기 때문에 약간의 정교함이 필요하다.또한 방정식이 완전히 정의되기 전에 관련 함수의 영역에 대해 어떤 것을 가정해야 한다.위의 해결책은 실제 경우를 가정한다.

$f(t)=\alpha$ ( $f(t)=\alpha$ ) $f(t)=\alpha$ = $f(t)=\alpha$ ${\displaystyle f(t)=\alpha$ $}$ 이(가) 상수인 $f(t)=\alpha$ 경우 용액은 $y=Ae^{-\alpha t}$ $y=Ae^{-\alpha t}$ , $y=Ae^{-\alpha t}$ = $y=Ae^{-\alpha t}$ - $y=Ae^{-\alpha t}$ {\ $displaystyle$ y= $Ae^{-\lpha$ t $}},$ 예를 들어 $\alpha >0$ > $\alpha >0$ ${\displaystystycopic$ 수준에서 방사성 물질의 $지수 붕괴$ 를 설명한다 $\alpha >0$ $\alpha$ $\alpha$ 의 값이 priori를 알 수 없는 $\alpha$ 경우에는 용액의 두 가지 측정값으로 결정할 수 있다.예를 들어,

{\frac {dy}{dt}+\filename y=0,y(1)=2,y(2)=1

$\alpha =\ln(2)$ = $\alpha =\ln(2)$ $\alpha =\ln(2)$ ( 2 $\alpha =\ln(2)$ ) ${\displaystyle \alpha =\ln(2)},$ y $\alpha =\ln(2)$ $y=4e^{-\ln(2)t}=2^{2-t}$ = $y=4e^{-\ln(2)t}=2^{2-t}$ $y=4e^{-\ln(2)t}=2^{2-t}$ - $y=4e^{-\ln(2)t}=2^{2-t}$ $y=4e^{-\ln(2)t}=2^{2-t}$ ( $y=4e^{-\ln(2)t}=2^{2-t}$ ) $y=4e^{-\ln(2)t}=2^{2-t}$ = $y=4e^{-\ln(2)t}=2^{2-t}$ - $y=4e^{-\ln(2)t}=2^{2-t}$ = 2 - $y=4e^{-\ln(2)t}=2^{2-t}$ t ${\$

비분리(동종) 1차 선형 보통 미분 방정식

1차 선형 비균형 일반 미분방정식(ODE)은 분리할 수 없다.이러한 접근방식은 통합 인자 방식이라고 알려진 다음과 같은 접근방법으로 해결할 수 있다.일반 형태의 1차 선형 ODE를 고려하십시오.

{\frac {dy}{dx}+p(x)y=q(x)

이 방정식을 푸는 방법은 다음과 같은 특수 통합 인자 μ에 의존한다. μ:

\mu =e^{\int _{x_{0}^{x}p(t)\,dt}

우리는 이 통합요소를 선택하는데, 그 파생상품 자체가 우리가 통합하고 있는 함수의 곱인 특수성을 가지고 있기 때문이다.

{\dfrac {d{\mu }{dx}}=e^{\int _{x_{0}^{x}p(t)\,dt}\cdot p(x)=\mu p(x)}

원래 미분 방정식의 양쪽에 μ를 곱하여 다음을 얻으십시오.

\mu {\frac {dy}{dx}+\mu {p(x)y}=\mu {q(x)}}}

우리가 선택한 특수 μ 때문에 dμ/dx를 μ p(x)로 대체하여 방정식을 다음과 같이 단순화할 수 있다.

\mu {dy}{dx}}+y{\frac {d{\mu}}=\mu {q(x)}}

제품 규칙을 역방향으로 사용하면 다음과 같은 이점을 얻을 수 있다.

{\frac {d}{dx}{dx}}{(\mu {y})=\mu {q(x)}}}

양측 통합:

\mu {y}=\left(\inte \mu q(x)\,dx\right)++C

마지막으로 y를 위해 양쪽을 μ로 나눈다.

y={\frac {\\좌(\int \mu q(x)\,dx\우)+C}{\mu }

μ는 x의 함수이기 때문에 더 이상 직접 단순화할 수 없다.

2차 선형 보통 미분 방정식

간단한 예

스프링의 연장/압축에 비례하는 질량에 매력적인 힘을 발휘하는 스프링에 질량이 부착되어 있다고 가정합시다.현재로서는 다른 힘(중력, 마찰 등)은 무시해도 좋다.우리는 한 번에 spring의 연장을 x(t)로 쓸 것이다.이제 뉴턴의 두 번째 법칙을 사용해서 다음과 같이 쓸 수 있다.

m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}+kx=0,

여기서 m은 질량이고 k는 스프링 강성의 측정치를 나타내는 스프링 상수다.간단히 말하자면 m=k를 예로 들어 보자.

If we look for solutions that have the form $Ce^{\lambda t}$ , where C is a constant, we discover the relationship $\lambda ^{2}+1=0$ , and thus $\lambda$ must be one of the complex numbers $i$ or $-i$ .따라서 오일러의 공식을 사용하여 해결책은 다음과 같은 형태여야 한다고 말할 수 있다.

[\displaystyle x(t)=A\cos t+B\sin t}

Wolfram Alpha의 솔루션을 참조하십시오.

알 수 없는 상수 A와 B를 결정하기 위해서는 주어진 시간(일반적으로 t = 0)에 시스템 상태를 지정하는 등가라는 초기 조건이 필요하다.

예를 들어, t = 0에서 확장이 단위 거리(x = 1)이고 입자가 움직이지 않는다고 가정할 경우(dx/dt = 0)우리는 가지고 있다.

[\displaystyle x(0)=A\cos 0+B\sin 0=A=1,}

그래서 A = 1.

x'(0)=-A\sin 0+B\cos 0=B=0,

그래서 B = 0이다.

따라서 x(t) = cos t.이것은 단순한 조화 운동의 한 예다.

Wolfram Alpha의 솔루션을 확인하십시오.

더 복잡한 모델

위의 스프링 진동 질량 모델은 그럴듯하지만 매우 현실적이지는 않다: 실제로 마찰은 질량을 감속하는 경향이 있고 그 속도에 비례하는 크기(dx/dt)가속도와 힘의 균형을 나타내는 우리의 새로운 미분방정식은

m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}+c{\frac {dx}{dt}}+kx=0,

여기서 $c$ $c$ 은 $c$ (는) 마찰을 나타내는 댐핑 계수다. $Ce^{\lambda t}$ C $Ce^{\lambda t}$ $Ce^{\lambda t}$ $Ce^{\lambda t}$ ${\$ 형식의 솔루션을 찾아보면 다음과 같다 $Ce^{\lambda t}$

m\boda ^{2}+c\c\bda +k=0.

이것은 우리가 해결할 수 있는 2차 방정식이다. $c^{2}<4km$ $c^{2}<4km$ < $c^{2}<4km$ $c^{2}<4km$ $c^{2}<4km$ $c^{2}<4km$ 에 두 개의 복잡한 결합 뿌리가 있는 $c^{2}<4km$ 경우, (위의 경계 조건을 가진) 용액은 다음과 같이 보일 것이다.

x(t)=e^{at}\왼쪽(\cos bt-{\frac {a}{b}\sin bt\오른쪽)

단순성을 위해 $m=1$ = $m=1$ ${\displaystyle m=1$ 그 $0<c=-2a$ 0 $0<c=-2a$ < $0<c=-2a$ c = - $0<c=-2a$ $0<c=-2a$ {\ $displaystyle 0<c=-$ $k=a^{2}+b^{2}$ $k=a^{2}+b^{2}$ = $k=a^{2}+b^{2}$ + $k=a^{2}+b^{2}$ $k=a^{2}+b^{2}$ {\ $displaystyle k=a^{2$ }+b $^{2$

이 방정식은 다음과 같이 MATLAB 심볼 툴박스에서도 해결할 수 있다.

x = 덤블링하다('D2x+c*Dx+k*x=0','x(0)=1','Dx(0)=0') % 또는 동등하게 syms x(t) c k Dx = 산산이 흩어지다(x, t); x = 덤블링하다(산산이 흩어지다(x,t,2) + c*Dx + k*x == 0, x(0) == 1, Dx(0) == 0)

비록 해답이 좀 못생겼지만,

x = (c + (c^2 - 4*k)^(1/2))/(2*exp(t*(c/2 - (c^2 - 4*k)^(1/2)/2))*(c^2 - 4*k)^(1/2)) -   (c - (c^2 - 4*k)^(1/2))/(2*exp(t*(c/2 + (c^2 - 4*k)^(1/2)/2))*(c^2 - 4*k)^(1/2))

이것은 감쇠된 발진기의 모델이다.시간에 따른 변위 플롯은 다음과 같이 보일 것이다.

마찰로 인해 시스템에서 에너지가 제거될 때 진동 스프링이 작동하기를 기대하는 것과 유사하다.

ODE 선형 시스템

ODE의 첫 번째 순서 선형 시스템의 다음 예

y_{1}'=y_{1}+2y_{2}+t

y_{2}'=2y_{1}-2y_{2}+\sin(t)

수치 분석 소프트웨어를 사용하여 상징적으로 쉽게 해결할 수 있다.

참고 항목

참고 문헌 목록

A. D. Polyanin과 V.F. Zaitsev, 일반 미분 방정식을 위한 정확한 해결책 핸드북, 제2판, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003; ISBN 1-58488-297-2.

외부 링크

EqWorld의 일반 미분 방정식:수학 방정식의 세계.

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