내인성 평탄 거리

Intrinsic flat distance

수학에서 본질적인 평탄거리는 두 리만 다지관 사이의 거리에 대한 개념으로 페더러와 플레밍이 유클리드 공간에 놓여 있는 서브매니폴드와 적분 전류 사이의 평탄한 거리를 일반화한 것이다.

개요

소르마니-벵거 내성 평탄(SWIF) 거리는 같은 차원의 콤팩트 지향 리만 다지관 사이의 거리다.보다 일반적으로 동일한 치수(아래 참조)의 두 적분 전류 공간(X,d,T) 사이의 거리를 정의한다.이 등급의 공간과 이 거리는 2009년 기하학 축제에서 수학자 소르마니와 벵거에 의해 처음 발표되었고 이러한 개념의 상세한 발전은 2011년 미분 기하학 저널에 실렸다.[1]

SWIF 거리는 페더러와 플레밍이 개발한 유클리드 공간의 서브매니폴드와 적분 전류 사이의 (초외) 평탄한 거리에 기초한 내재적 개념이다.이 정의는 그로모프-하우스도르프 거리에 대한 그로모프의 정의를 모방하는데, 이는 주어진 공간의 모든 거리 보존 지도를 가능한 모든 주변 공간 Z로 최소화하는 것을 포함한다는 것이다.일단 공통 공간 Z에 들어가면, 이미지 사이의 평탄한 거리는 암브로시오-키르흐하임의 의미에서 공간의 이미지를 적분 전류로 보는 것으로 촬영된다.[1]

내적 설정과 외적 설정 모두에서 대략적인 아이디어는 공간을 제3의 공간이나 지역의 경계로 보고 이 제3의 공간 중 가장 작은 가중치를 가진 부피를 찾는 것이다.이렇게 해서 점점 소량의 부피를 포함하고 있는 많은 스플라인을 가진 구들은 "SWIF-ly"를 구에 융합한다.[1]

리만 설정

두 개의 콤팩트한 방향의 리만족 다지관 Mi(경계:

dSWIF(M1, M2) = 0

만약1 M에서 M까지의2 등위계를 보존하는 방향이 있다면.M이i Gromov-Hausdorff 감각에서 미터 공간 Y로 수렴하는 경우, M의i 부분합성은 Y에 포함되지만 반드시 Y와 동일하지는 않은 적분 전류 공간에 SWIFly를 수렴한다.예를 들어, 길고 가는 목 핀치가 있는 일련의 구들의 GH 한계는 선 세그먼트가 그 사이를 흐르는 한 쌍의 구인 반면, SWIF 한계는 구들의 한 쌍일 뿐이다.얇고 얇은 토리 수열의 GH 한계는 원이지만 평평한 한계는 0 공간이다.음이 아닌 Ricci 곡률과 부피에서 균일한 하한을 갖는 설정에서 GH와 SWIF 한계는 일치한다.일련의 다지관이 립스치츠 감각에 한계 립스치츠 다지관으로 수렴하는 경우 SWIF 한계가 존재하며 동일한 한계를 갖는다.[1]

벵거의 콤팩트한 정리에는 일련의 콤팩트한 리만 다지관 M이j 직경, 부피, 경계 부피에 균일한 상한을 가지면 서브섹션이 SWIF-ly를 적분 전류 공간으로 수렴한다고 되어 있다.[1]

적분 전류 공간

m 치수 적분 전류 공간(X,d,T)은 m 차원 적분 전류 구조 T를 갖는 미터법 공간(X,d)이다.더 정확히 말하면, 암브로시오-키르치하임의 개념을 이용하여 T는 X의 미터법 완성도에 대한 m차원 적분 전류로, X는 T의 질량 측정의 양의 밀도 집합이다.Ambrosio-Kirchheim의 깊은 이론의 결과로, X는 그 때 계산 가능한 H의m 미터 공간이기 때문에, 그것은 거의m 모든 곳에서 R의 컴팩트 하위 집합의 바이 립시츠 차트의 이미지에 의해 H를m 덮으며, 그것은 정수 가치 중량 함수를 부여받고 방향을 가지고 있다.또한 적분 전류 공간에는 (m - 1)차원 적분 전류 공간인 경계 개념이 잘 정의되어 있다.0차원 적분 전류 공간은 정수 값의 가중치를 갖는 점들의 유한 집합이다.모든 차원에서 발견되는 하나의 특별한 적분 전류 공간은 0 공간이다.[1]

두 적분 전류 공간 사이의 내적 평탄한 거리는 다음과 같이 정의된다.

dSWIFi(X1, d1, T1), (X2, d2, T,)는 모든 미터법 공간2 M과 지도 f :X → Z를 보존하는 모든 거리에 대한 모든 숫자 d F(f1* T1,f2*2i T)의 최소값으로 정의된다.여기서 d는 F 통합 전류 구조 T를i 앞으로 밀어서 찾은 Z의 적분 전류 사이의 평탄한 거리를 나타낸다.

두 개의 적분 전류 공간은 공간SWIF 사이에 등거리계를 보존하는 전류가 존재하는 경우에만 d = 0을 가진다.[1]

위에서 언급한 모든 결과는 벵거의 콤팩트한 정리(Compactness Organization)를 포함하여 이 보다 일반적인 설정에서도 명시될 수 있다.[1]

적용들

  • 특정 GH 한계가 H로m 수정 가능하다는[1] 것을 입증하기 위해
  • 특이점으로부터[2] 벗어난 매끄러운 수렴을 이해한다.
  • 리만 다지관과 경계선의[1] 융합을 이해한다.
  • 일반상대성이론에서[3] 발생하는 문제를 연구한다.
  • Gromov의 Planto-Stein 다지관에[4] 관한 논문에서 발생하는 문제를 연구하기 위해

참조

  1. ^ a b c d e f g h i j 소르마니와 벵거, 제87권, 2011년, 117–199호, 소르마니 및 벵거의 "리만 다지관과 기타 적분 전류 공간 사이의 내부 평탄한 거리"
  2. ^ 분석과 기하학에서 Sajjjad Lakzian과 Christina Sormani Communications의 "Smooth Convergence at Unique Sets".제21권, 제1권, 제39권–104권, 2013년
  3. ^ 댄 리와 크리스티나 소르마니 안날레스 앙리 푸앵카레 2012년 11월 13권 1537–1556의 "회전 대칭 리만 다지관의 펜로즈 불평등"
  4. ^ Gromov, Misha (2014). "Plateau–Stein manifolds". Open Mathematics. 12. doi:10.2478/s11533-013-0387-5.

외부 링크