미카엘 그로모프 (수학자)

Mikhael Gromov (mathematician)
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미카엘 레오니도비치 그로모프
Mikhael Gromov.jpg
2014년 미하일 그로모프
태어난 (1943-12-23) 1943년 12월 23일(78세)
복시토고르스크, 러시아 SFSR, 소련
국적.러시아어와 프랑스어
모교레닌그라드 주립 대학교 (PhD)
로 알려져 있다기하학적 군론
심플렉틱 기하학
수축기하학
그로모프 경계
그로모프의 콤팩트성 정리(기하학)
그로모프의 콤팩트성 정리(위상학)
다항식 성장군에 대한 그로모프의 정리
그로모프-하우스도르프 수렴
그로모프-루 정리
그로모프-비텐 불변량
그로모프 쌍곡선 군
그로모프 γ-고압 공간
그로모프 규범
그로모프 제품
그로모프 위상
복잡한 투영 공간에 대한 그로모프의 부등식
그로모프의 수축기 부등식
비숍-그로모프 부등식
점근 차원
기본 다양체
충전 면적 추측
충전 반지름
평균 치수
최소 볼륨
논스퀴징 정리
의사 홀러모픽 곡선
랜덤 그룹
소픽군
수축기 자유
2차 정리
어워드오스왈드 베블렌 기하학상(1981년)
울프상(1993)
교토상(2002년)
Nemmers상 수학 부문 (2004)
불야상(2005년)
아벨상(2009)
과학 경력
필드수학
기관과학 연구소
뉴욕 대학교
박사 어드바이저블라디미르 로클린
박사과정 학생데니스 아우루
프랑수아 라부리
피에르 판수
미하일 카츠

미카엘 레오니도비치 그로모프(Mikhael Leonidovich Gromov, 미하일 그로모프, 미샤 그로모프, 1943년 12월 23일 ~ )는 러시아의 수학자이다.그는 프랑스 IHES 상임이사이며 뉴욕대학교 수학과 교수입니다.

그로모프는 "기하학에 대한 혁명적 공헌"으로 2009년 아벨상을 수상하는 등 여러 상을 수상했습니다.

전기

미하일 그로모프는 1943년 12월 23일 소련 복시토고르스크에서 태어났다.그의 러시아인 아버지 레오니드 그로모프와 유대인[1] 어머니 Lea Rabinovitz는[2][3] [4]병리학자였다.그의 어머니는 수학자 이사크 모이세비치 [5]라비노비치뿐만 아니라 세계 체스 챔피언 미하일 보트빈닉의 사촌이었다.그로모프는 2차 세계대전 중에 태어났고 소련군에서 의사로 일했던 그의 어머니는 그를 [6]낳기 위해 일선을 떠나야 했다.그로모프가 [7]9살이었을 때, 그의 어머니는 그에게 한스 라데마허와 오토 토플리츠의 수학의 즐거움이라는 책을 주었는데, 이것은 그의 호기심을 자극했고 그에게 [6]큰 영향을 주었다.

그로모프는 레닌그라드 주립대학에서 수학을 공부했고 1965년 석사, 1969년 박사학위를 취득했으며 1973년 박사후 논문을 변호했다.그의 논문 조언자는 블라디미르 [8]로클린이었다.

그로모프는 1967년에 결혼했다.1970년, 그는 프랑스 니스에서 열린 국제 수학자 회의에서 발표하도록 초청받았다.그러나 그는 소련을 떠나는 것이 허락되지 않았다.그럼에도 불구하고 그의 강연은 학회 [9]의사록에 실렸다.

소련 체제에 반대하여 그는 14세 때부터 이민을 생각하고 있었다.1970년대 초에 그는 출판을 중단했고,[7][10] 이것이 이스라엘로의 이주를 위한 그의 신청에 도움이 되기를 희망했다.그는 성을 어머니의 [7]성으로 바꿨다.그는 소련을 벗어날 수 있다면 그를 위해 자리가 마련된 스토니브룩으로 갈 수 있다는 암호 편지를 받았다.1974년 요청이 받아들여졌을 때, 그는 뉴욕으로 직접 가서 [9]스토니브룩에서 일했다.

1981년 Stony Brook University of Paris VI의 교수에 합류하기 위해 그는 Stony Brook University를 떠났고 1982년 IHES(Institut des Hautes Etudes Scientifiques)의 상임 교수가 되었습니다.동시에 그는 1991년부터 1996년까지 메릴랜드 대학, 칼리지 파크,[3] 1996년부터 뉴욕의 Courant Institute of Mathematical Science에서 교수직을 역임했습니다.그는 [11]1992년에 프랑스 국적을 취득했다.

일하다.

그로모프의 기하학 스타일은 종종 점근적 [G00]또는 대규모 특성을 분석하는 "조용한" 또는 "부드러운" 관점을 특징으로 한다.그는 또한 수학 생물학,[12] 뇌의 구조와 사고 과정, 그리고 과학적 아이디어가 [9]진화하는 방식에 관심이 있다.

Nash와 Kuiper의 등각 임베딩 이론과 Morris Hirsch와 Stephen [12]Smale의 몰입에 대한 결과에 의해 동기부여된 그로모프는 다양한 공식에서 h 원리를 도입했다.허쉬-스메일 이론의 특별한 경우를 모델로, 그는 마이크로 플렉시블 시브의 일반 이론을 도입하고 개발하여 개방 다양체에 [G69]대한 h-원칙을 충족한다는 것을 증명했다.그 결과 (다른 결과들 중에서) 그는 어떤 열린 다양체에서도 양의 곡선과 음의 곡선의 리만 메트릭스의 존재를 확립할 수 있었다.그의 결과는 양의 곡률 또는 음의 곡률의 지리학적으로 완전한 리만 다양체에 대한 잘 알려진 위상적 제한(치거-그로몰 영혼 정리 또는 카르탄-하다마르 정리)과 대척점에 있다.이 초기 연구 후에, 그는 부분적으로 야코프 엘리아쉬버그와 협력하여 내쉬와 카이퍼의 정리와 내쉬-모저 암묵적 함수 정리에 기반을 둔 연구를 포함하여 추가적인 h-원칙을 개발하였다.그의 결과에는 심플렉틱 및 접촉 [13][14]기하학에서 정확한 라그랑지안 침수와 유사한 물체의 존재에 대한 위상 조건을 포함하여 많은 응용이 있다.그의 유명한 책인 "부분적 미분 관계"는 이러한 [G86]문제에 대한 그의 연구의 대부분을 수집한다.나중에 그는 그의 방법을 복잡한 기하학에 적용하여 연속 지도의 완전 [G89]형상으로의 변형에 대한 오카 원리의 몇 가지 예를 증명했다.그의 연구는 1950년대에 [15][16]도입된 오카-그로어 이론에 대한 새로운 연구를 시작했다.

그로모프와 비탈리 밀만은 측정 [GM83]현상의 농도를 공식화했다.그들은 "레비족"을 점근적으로 사라지지 않는 집합의 시퀀스를 거의 모든 점을 포함하도록 미터법으로 두꺼워질 수 있는 정규화된 미터법 측정 공간의 시퀀스로 정의했다.이것은 대수의 법칙의 현상을 거의 모방하고 있으며, 사실 대수의 법칙은 레비족들의 틀에 넣을 수 있다.그로모프와 밀만은 레비족에 대한 기본 이론을 개발하고 많은 예를 확인했는데, 가장 중요한 것은 리치 곡률의 하한이나 라플라스-벨트라미 연산자의 첫 번째 고유값이 무한대로 갈라지는 리만 다양체의 시퀀스에서 비롯되었다.그들은 또한 연속 함수의 시퀀스가 점근적으로 거의 일정해야 하는 Levy 계열의 특징을 강조했다.이러한 고려사항은 [17]미셸 탈라랑과 같은 다른 저자들에 의해 더 많이 채택되었다.

제임스 엘스와 조셉 샘슨의 고조파 지도에 관한 1964년 출판 이후, 다양한 강성 현상은 고조파 매핑을 위한 존재 정리와 (특정) 고조파 매핑이 완전히 측지학 또는 [18][19][20]홀모픽이어야 한다고 주장하는 사라지는 정리의 조합으로부터 추론되었다.그로모프는 이 프로그램을 메트릭 공간에 매핑하는 설정으로 확장하면 Margulis 초강성(superrigidity)에 이어 이산 그룹에 새로운 결과를 의미할 것이라는 통찰력을 가지고 있었다.리처드 쇤은 고조파 지도 이론을 미터법 공간 설정으로 확장하기 위한 해석 작업을 수행했다; 이것은 니콜라스 코레바르와 쇤에 의해 더 체계적으로 수행되었고, 대부분의 표준 소볼레프 공간 [21]이론의 확장을 확립했다.그로모프와 쇤의 방법의 적용 예는 4차 쌍곡선 공간의 등각군에서의 격자가 [GS92]산술적이라는 사실이다.

리만 기하학

1978년 그로모프는 거의 평평한 [G78]다지관의 개념을 도입했다.리만 기하학에서 유명한 1/4 핀치 구 정리는 완전한 리만 다양체가 주어진 양의 상수에 충분히 가까운 단면 곡률을 갖는다면 M은 구에 의해 완전히 덮여야 한다고 말한다.대조적으로, 모든 닫힌 리만 다양체는 임의로 단면 곡률이 0에 가까운 리만 메트릭을 가지고 있다는 것을 스케일링으로 볼 수 있다.그로모프는 고정된 직경의 리만 다양체만을 고려함으로써 스케일링 가능성이 깨진다면, 단면 곡률이 0에 충분히 가까운 그러한 리만 메트릭을 받아들이는 닫힌 다양체는 nilmanifold에 의해 완전히 가려져야 한다는 것을 보여주었다.그 증명은 비버바흐 정리와 마르굴리스 보결의 증명들을 재현함으로써 작용한다.그로모프의 증거는 피터 버저와 헤르만 [22][23][24]카르처에 의해 신중하게 설명되었다.

1979년 Richard Schoen과 Sing-Tung Yau는 양의 스칼라 곡률의 리만 지표를 받아들이는 매끄러운 다양체의 클래스가 위상학적으로 풍부하다는 것을 보여주었다.특히, 그들은 이 클래스가 적어도 [25]3개의 코디멘션에서 연결합과 수술로 닫혔다는 것을 보여주었다.그들의 증명은 특히 그린의 함수와 관련된 편미분 방정식의 기본적인 방법을 사용했다.그로모프와 블레인 로슨은 기초 기하학적 [GL80b]구조를 이용하여 쇤과 야우의 결과에 대한 또 다른 증거를 제시했습니다.그들은 또한 Stephen Smale의 h-코보디즘 정리와 같은 순수하게 위상 결과를 적용하여 5, 6, 또는 7차원의 모든 폐쇄적이고 단순하게 연결된 매끄러운 다양체가 양의 스칼라 곡률의 리만 메트릭을 가지고 있다는 사실과 같은 결론을 도출할 수 있는 방법을 보여주었다.그들은 호모토피 [GL80a]이론의 조건에 따라 구별되는 확장 가능한 다양체의 새로운 클래스를 추가로 도입했다.그들은 양의 스칼라 곡률의 리만 메트릭이 그러한 다양체에 존재할 수 없다는 것을 보여주었다.특정한 결과는 토러스가 양의 스칼라 곡률의 리만 메트릭을 지원할 수 없다는 것이다. 이는 이전에 쇤과 야우가 [26]저차원에서 해결한 주요 추측이었다.

1981년 그로모프는 비음수 단면 [G81a]곡률의 리만 지표를 수용하는 다양체에서 베티 수치를 기반으로 위상 제한을 식별했다.그의 연구의 주요 아이디어는 카르스텐 그로브와 시오하마 가쓰히로의 거리 함수를 위한 모스 이론을 결합하는 것이었고, 지오데식 [27]공의 부피에 대한 비숍-그로모프 부등식과 함께 토포노고프 비교 정리로부터 얻은 거리 함수를 제어하는 것이었다.이는 지오데식 볼에 의해 위상적으로 다지관 커버가 제어되는 결과를 낳았고, 스펙트럼 시퀀스 인수가 기본 다지관의 토폴로지를 제어하기 위해 적용될 수 있었다.단면 곡률 하단의 토폴로지는 아직 완전히 이해되지 않았으며 그로모프의 연구는 주요 결과로 남아 있다.호지 이론의 적용으로서, 피터 리와 야우는 그들의 구배 추정치를 그로모프보다 약하지만 다양체가 볼록한 [28]경계를 가질 수 있는 유사한 베티 수 추정치를 찾기 위해 적용할 수 있었다.

제프 치거의 리만 다양체에 대한 기본 콤팩트성 이론에서, 한계 공간에 좌표를 구성하는 핵심 단계는 닫힌 다양체에 [29]대한 주입 반지름 추정이다.Cheeger, Gromov 및 Michael Taylor는 Cheeger의 추정치를 현지화하여 Bishop-Gromov 체적 비교를 사용하여 절대적인 관점에서 곡률 한계 및 측지 공 [CGT82]체적에 의한 주입 반지름을 제어하는 방법을 보여 주었다.이들의 추정치는 좌표구축이 중요한 [30][31][32]여러 곳에서 사용되고 있다.이것의 특히 잘 알려진 예는 볼륨을 제어하는 그리고리 페렐만의 리치 흐름에 대한 "비충돌 정리"가 리처드 해밀턴의 콤팩트성 [33][34][35]이론을 적용하기에 충분하다는 것을 보여주는 것이다.Cheeger, Gromov 및 Taylor는 열 커널의 가우스 제어를 증명하기 위해 주입 반지름 추정치를 적용했지만, 이러한 추정치는 나중에 Li와 Yau에 의해 구배 [28]추정치의 적용으로 개선되었다.

그로모프는 수축기 기하학에 기초적인 기여를 했다.수축기하학에서는 매니폴드 M의 크기 불변량(예: 부피 또는 직경)과 위상적으로 사소하지 않은 서브매니폴드(예: 수축 불가능한 곡선) 사이의 관계를 연구한다.1983년 논문 "필링 리만 다양체"[G83]에서 그로모프는 리만 메트릭을 사용하는 모든 필수 다양체M(\ M이 최대 Volume(1/ {n)\{Vol})^{nn[36]을 포함한다는 것을 증명했다.

그로모프-하우스도르프 수렴과 기하학적 군론

1981년 그로모프는 미터법 [G81b]공간의 구조를 가진 모든 미터법 공간의 집합을 가능하게 하는 그로모프-하우스도르프 메트릭을 도입했다.보다 일반적으로, 각 공간의 점 선택에 상대적인 두 메트릭 공간 사이의 그로모프-하우스도르프 거리를 정의할 수 있다.이것이 모든 메트릭스페이스의 공간에 대한 메트릭을 제공하는 것은 아니지만 일련의 포인트 메트릭스페이스의 「Gromov-Hausdorf 컨버전스」를 제한으로 정의하기 위해서는 충분합니다.그로모프는 이 설정에서 중요한 콤팩트성 정리를 공식화했고, 포인트와 "적절한" 메트릭 공간의 시퀀스가 수렴하는 수열을 가져야 하는 조건을 부여했다.이것은 후에 그로모프와 다른 사람들에 의해 울트라리밋의 [G93]보다 유연한 개념으로 재구성되었다.

그로모프의 콤팩트성 정리는 기하학적 군 이론 분야에 깊은 영향을 미쳤다.그는 메트릭의 적절한 재스케일러링의 한계를 취함으로써 다항식 성장 그룹의 단어 메트릭의 점근 기하학을 이해하기 위해 그것을 적용했다.그는 미터법이라는 단어의 등각선 한계를 추적함으로써 한계 측정 공간에는 예기치 않은 연속성이 있으며, 특히 그 등각선 그룹이 Lie [G81b]그룹이라는 것을 보여줄 수 있었다.그 결과 그는 1960년대에 제기된 밀노르-울프 추측을 해결할 수 있었고, 밀노르-울프 추측은 사실상 무가치하다고 주장했다.울트라리밋을 사용하여 보다 일반적인 메트릭 [G93]공간에 대해 유사한 점근 구조를 연구할 수 있다.이 주제에 대한 중요한 발전은 [37][38]브루스 클라이너, 베른하르트 리프, 피에르 판수 등에 의해 이루어졌다.

또 다른 결과는 그로모프의 콤팩트성 정리로, 리치 곡률 θ c와 직경 θ D를 갖는 콤팩트 리만 다양체의 집합이 그로모프-하우스도르프 [G81b]메트릭에서 상대적으로 콤팩트하다는 것이다.그러한 다양체의 시퀀스의 가능한 한계점은 1992년 [BGP92]부라고, 그로모프 및 페렐만이 상세하게 연구한 미터법 공간의 클래스인 곡률 θ c이다.

Eliyahu Rips와 함께 그로모프는 쌍곡군 [G87]개념을 도입했다.

심플렉틱 기하학

그로모프의 의사 홀러모픽 곡선에 대한 이론은 심플렉틱 [G85]기하학의 현대 연구의 기초 중 하나이다.비록 그가 의사 홀모형 곡선을 처음으로 고려한 것은 아니지만, 그는 카렌 울렌벡의 초기 양-밀스 연결 연구, 그리고 울렌벡과 조나단 삭의 조화 [39][40]지도 연구 등과 유사한 "거품" 현상을 발견했다.색스, 울렌벡, 그리고 그로모프의 연구 이후, 그러한 거품 현상은 많은 다른 기하학적 맥락에서 발견되어 왔다.버블링을 코드하는 해당 콤팩트성 정리는 그로모프가 의사 홀러모픽 곡선의 존재에 대해 많은 분석적으로 깊은 결론에 도달할 수 있도록 했다.존재 이론과 최소 표면에 대한 단조성의 공식의 결과로 도달한 그로모프의 특히 유명한 결과는 심플렉틱 기하학의 두드러진 질적 특징을 제공한 "비끌림 정리"입니다.에드워드 위튼의 사상에 이어 그로모프의 작품은 끈 이론, 대수 기하학, 심플렉틱 [41][42][43]기하학에 이르기까지 널리 연구되는 주제인 그로모프-위튼 이론의 기초이기도 하다.다른 관점에서, 그로모프의 작품은 또한 안드레아스 플로어의 많은 [44]작품에 영감을 주었다.

야코프 엘리아슈베르그와 그로모프는 볼록의 [EG91]심플렉틱 개념을 위한 기본 이론의 일부를 개발했습니다.그들은 볼록성의 다양한 특정 개념을 도입하는데, 이 모든 것은 심플렉틱 형식을 수축시키는 미분형식의 단일 매개 변수 패밀리의 존재와 관련이 있다.그것들은 볼록성이 특정 심플렉토모형을 구성하는 문제에 대해 h원리가 유지하기에 적절한 맥락이라는 것을 보여준다.그들은 또한 접촉 기하학에 유사한 개념을 도입했다; 볼록 접촉 구조의 존재는 나중에 Emmanuel [45]Giroux에 의해 연구되었다.

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출판물

책들

BGS85.
Ballmann, Werner; Gromov, Mikhael; Schroeder, Viktor (1985). Manifolds of nonpositive curvature. Progress in Mathematics. Vol. 61. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. doi:10.1007/978-1-4684-9159-3. ISBN 0-8176-3181-X. MR 0823981. Zbl 0591.53001.[51]
G86.
Gromov, Mikhael (1986). Partial differential relations. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3). Vol. 9. Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-02267-2. ISBN 3-540-12177-3. MR 0864505. Zbl 0651.53001.[52]
G99a.
Gromov, Misha (1999). Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces. Progress in Mathematics. Vol. 152. Translated by Bates, Sean Michael. With appendices by M. Katz, P. Pansu, and S. Semmes. (Based on the 1981 French original ed.). Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. doi:10.1007/978-0-8176-4583-0. ISBN 0-8176-3898-9. MR 1699320. Zbl 0953.53002.[53]
G18.
Gromov, Misha (2018). Great circle of mysteries. Mathematics, the world, the mind. Springer, Cham. doi:10.1007/978-3-319-53049-9. ISBN 978-3-319-53048-2. MR 3837512. Zbl 1433.00004.

주요 기사

G69.
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GL80a.
Gromov, Mikhael; Lawson, H. Blaine, Jr. (1980). "Spin and scalar curvature in the presence of a fundamental group. I". Annals of Mathematics. Second Series. 111 (2): 209–230. doi:10.2307/1971198. JSTOR 1971198. MR 0569070. S2CID 14149468. Zbl 0445.53025.
G81c
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G96.
Gromov, Mikhael (1996). "Carnot–Carathéodory spaces seen from within" (PDF). In Bellaïche, André; Risler, Jean-Jacques (eds.). Sub-Riemannian geometry. Progress in Mathematics. Vol. 144. Basel: Birkhäuser. pp. 79–323. doi:10.1007/978-3-0348-9210-0_2. ISBN 3-7643-5476-3. MR 1421823. Zbl 0864.53025.
G00.
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G03a.
G03b.
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Gromov, M. (2003). "Random walk in random groups". Geometric and Functional Analysis. 13 (1): 73–146. doi:10.1007/s000390300002. MR 1978492. Zbl 1122.20021.
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메모들

  1. ^ Masha Gessen (2011). Perfect Rigour: A Genius and the Mathematical Breakthrough of a Lifetime. Icon Books Ltd.
  2. ^ The International Who's Who, 1997–98. Europa Publications. 1997. p. 591. ISBN 978-1-85743-022-6.
  3. ^ a b O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Mikhael Gromov (mathematician)", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
  4. ^ 그로모프, 미하일의 "A Few Recemptions" (Gromov 홈페이지 링크에서도 이용 가능)
  5. ^ Воспоминания Владимира Рабиновича (генеалогия семьи М. Громова по материнской линии.Лия Александровна Рабинович также приходится двоюродной сестрой известному рижскому математику, историку математики и популяризатору науки Исааку Моисеевичу Рабиновичу (род. 1911), автору книг «Математик Пирс Боль из Риги» (совместно с А. Д. Мышкисом и с приложением комментария М. М. Ботвинника «О шахматной игре П. Г. Боля», 1965), «Строптивая про★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
  6. ^ a b 유럽수학회 회보, 제73호, 2009년 9월, 19페이지
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레퍼런스

외부 링크

위키미디어 커먼스의 미하일 레오니도비치 그로모프 관련 매체