불변기준수

수학에서, 더 구체적으로 링 이론 분야에서, R 위에서 유한하게 생성된 모든 자유 왼쪽 모듈이 잘 정의된 순위를 가진다면 링은 불변 기저 수(IBN) 속성을 갖습니다. 필드의 경우, IBN 속성은 유한 차원 벡터 공간이 고유한 차원을 갖는다는 문장이 됩니다.

정의.

모든 양의 정수 m과 n에 대하여, R과 동형인 R(왼쪽 R-모듈로)이 m = n임을 의미하는 경우, 링 R은 불변 기저 수(IBN)를 갖습니다.

이와 동등하게, 이것은^m R과 동형인ⁿ 뚜렷한 양의 정수 m과 n이 존재하지 않는다는 것을 의미합니다.

행렬의 관점에서 불변 기저 수의 정의를 다시 말하면, A가 R 위의 m-by-n 행렬이고 B가 R 위의 n-by-m 행렬일 때 AB = I, BA = I, m = n이라고 합니다. 이 형식은 정의가 좌-우 대칭임을 보여주기 때문에 왼쪽 모듈이나 오른쪽 모듈 측면에서 IBN을 정의하더라도 아무런 차이가 없습니다. 두 정의는 동등합니다.^[1]

n 또는 m 중 하나가 1인 경우에도 정의의 동형은 링 동형이 아니라 모듈 동형입니다.

특성.

불변 기저 수 조건의 주요 목적은 IBN 링 위의 자유 모듈이 벡터 공간에 대한 차원 정리의 아날로그를 만족시키는 것입니다: IBN 링 위의 자유 모듈에 대한 임의의 두 기저는 동일한 카디널리티를 갖습니다. 한외 필터 보조제(엄격하게 약한 형태의 선택 공리)를 가정하면, 이 결과는 실제로 여기에 주어진 정의와 동일하며, 대안적인 정의로 간주될 수 있습니다.

IBN 링 R 위의 자유 모듈 R의ⁿ 랭크는 R과ⁿ 동형인 임의의 (따라서 모든) R-모듈 R의^m 지수 m의 카디널리티로 정의됩니다. 따라서 IBN 속성은 자유 R-모듈의 모든 동형 클래스가 고유한 순위를 갖는다고 주장합니다. 순위는 IBN을 만족하지 않는 링에 대해 정의되지 않았습니다. 벡터 공간의 경우 랭크를 차원이라고도 합니다. 따라서 위의 결과는 간단히 말해서, 순위는 유한하게 생성된 자유 R 모듈에 대해 고유하게 정의된 경우 모든 자유 R 모듈에 대해 고유하게 정의됩니다.

예

모든 필드는 IBN을 만족하며, 이는 유한 차원 벡터 공간이 잘 정의된 차원을 갖는다는 사실에 해당합니다. 또한, 임의의 교환환(제로 링 제외)은 임의의 왼쪽-노에테리아 링 및 임의의 반국소 링과 마찬가지로 IBN을 만족합니다.^[2]

증명

A를 가환환이라 하고, A-모듈 동형 $f\colon A^{n}\to A^{p}$ 가 존재한다고 가정하자 $f\colon A^{n}\to A^{p}$ $f\colon A^{n}\to A^{p}$ → A $f\colon A^{n}\to A^{p}$ {\ $displaystyle f\$ colon A^{n $}\$ to $f\colon A^{n}\to A^{p}$ A^{ $(e_{1},\dots ,e_{n})$ ( $(e_{1},\dots ,e_{n})$ $(e_{1},\dots ,e_{n})$ $…,$ $n)$ {\ $displaystyle$ ( $e_{1},\$ dots, $e_{n}}$ A의 표준기준 즉, $e$ $∈$ 를 의미합니다. {\ $displaystyle e_{i}\$ in A^{n}}는 i번째 위치에 있는 하나를 제외하고 모두 0입니다. 크룰의 정리에 의하여, ${\displaystyle$ ( $i_{1},\dots,i_{n})\$ in $(i_{1},\dots ,i_{n})\in I^{n}$ I^{n}에서 $(i_{1},\dots ,i_{n})\in I^{n}$ 와 $(i_{1},\dots ,i_{n})\in I^{n}$ $(i_{1},\dots ,i_{n})\in I^{n}$ …에서 $(i_{1},\dots ,i_{n})\in I^{n}$ ∈의 최대 적합 아이디얼을 구하자. A-모듈 형태론은 다음을 의미합니다.

f(i_{1},\dots ,i_{n})=\sum _{k=1}^{n}i_{k}f(e_{k})\in I^{p}

나는 이상적인 사람이기 때문입니다. Sof는 A/I-module morphism $f'\colon \left({\frac {A}{I}}\right)^{n}\to \left({\frac {A}{I}}\right)^{p}$ 를 유도합니다 $f'\colon \left({\frac {A}{I}}\right)^{n}\to \left({\frac {A}{I}}\right)^{p}$ ( $f'\colon \left({\frac {A}{I}}\right)^{n}\to \left({\frac {A}{I}}\right)^{p}$ $f'\colon \left({\frac {A}{I}}\right)^{n}\to \left({\frac {A}{I}}\right)^{p}$ → $f'\colon \left({\frac {A}{I}}\right)^{n}\to \left({\frac {A}{I}}\right)^{p}$ ( $f'\colon \left({\frac {A}{I}}\right)^{n}\to \left({\frac {A}{I}}\right)^{p}$ $f'\colon \left({\frac {A}{I}}\right)^{n}\to \left({\frac {A}{I}}\right)^{p}$ {\ $displaystyle$ $f'\$ colon \left $f'\colon \left({\frac {A}{I}}\right)^{n}\to \left({\frac {A}{I}}\right)^{p}$ ({\frac {A}{ $I})\right)$ $^{n}\to \left({\frac {A}{$ $I}\right)^{p$ 동형임을 쉽게 증명할 수 있습니다. A/I는 장이므로 f'는 유한 차원 벡터 공간 사이의 동형이므로 son = p입니다.

이븐을 만족하지 않는 0이 아닌 링의 예로는 열 유한 행렬 $\mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)$ M $\mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)$ ${\displaystyle \mathbb {CFM}_{\mathbb {N}}(R$ $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ × $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ ${\$ \times \mathbb {N}로 인덱싱되고 $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ 각 열에는 유한하게 많은 0이 아닌 항목만 포함되는 R환의 계수를 갖는 행렬. 마지막 요구 사항은 무한 행렬 MN의 곱을 정의하여 고리 구조를 제공할 수 있게 해줍니다. $\mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)\cong \mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)^{2}$ 모듈 동형 $\mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)\cong \mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)^{2}$ $\mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)\cong \mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)^{2}$ $\mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)\cong \mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)^{2}$ ≅ $\mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)\cong \mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)^{2}$ N $(R$ ) 2 ${\displaystyle \mathbb$ {CFM} $_{\mathbb {N$ }}(R $)\cong \mathbb$ {CFM} $_{\mathbb {N}}($ R)^{2}는 다음과 같이 주어집니다.

{\begin{array}{rcl}\psi :\mathbb {CFM}_{\mathbb {N}}(R)&\to &\mathbb {CFM}_{\mathbb {N}}(R)^{2}\\M&\mapsto &({\text{odd polumns of }M,{\text{짝수열 of }M)\end{array}}

이 무한 행렬 고리는 계산 가능한 순위의 R 위에 있는 오른쪽 자유 모듈의 내형과 동형인 것으로 밝혀졌습니다.^[3]

이 동형으로부터, $\mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)=S$ 의 양의 정수 n에 대하여 S가 ≅ S이고, 따라서 임의의 두 양의 정수 m과 n에 대하여 S ≅ S임을 (약칭 $\mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)=S$ $\mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)=S$ = S ${\displaystyle \mathbb$ {CFM}_{\mathbb {N}}(R)= S임을 보일 수 있습니다. 이 성질이 없는 비 IBN 고리의 다른 예들이 있는데, 그 중에는 레빗 대수도 있습니다.^[4]

기타결과

IBN은 나눗셈이 0이 없는 링이 나눗셈 링에 포함될 수 있는 필요 조건(환환의 경우 분수 필드 비교)입니다. Ore 조건도 참조하십시오.

모든 중요하지 않은 나눗셈 고리 또는 안정적으로 유한한 고리는 불변의 기저 수를 가집니다.

순위 조건을 만족하는 모든 링에는 불변의 기본 번호가 있어야 합니다.^[5]

참고문헌

^ (람 1999, 3페이지)
^ "Stacks Project, Tag 0FJ7". stacks.math.columbia.edu. Retrieved 4 March 2023.
^ (헝거포드 1980, 190쪽)
^ (Abrams & Anh 2002)
^ (Lam 1999, 제안 1.22)

원천

Abrams, Gene; Ánh, P. N. (2002), "Some ultramatricial algebras which arise as intersections of Leavitt algebras", J. Algebra Appl., 1 (4): 357–363, doi:10.1142/S0219498802000227, ISSN 0219-4988, MR 1950131

Hungerford, Thomas W. (1980) [1974], Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 73, New York: Springer-Verlag, pp. xxiii+502, ISBN 0-387-90518-9, MR 0600654 1974년 원본 재인쇄

Lam, Tsit Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics, vol. 189, New York: Springer-Verlag, pp. xxiv+557, ISBN 0-387-98428-3, MR 1653294

[1] (람 1999, 3페이지)

[2] "Stacks Project, Tag 0FJ7". stacks.math.columbia.edu. Retrieved 4 March 2023.

[3] (헝거포드 1980, 190쪽)

[4] (Abrams & Anh 2002)

[5] (Lam 1999, 제안 1.22)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

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