역행 거리

역행 기하학에서 역행 거리는 원들이 서로 교차하는지, 서로 접선인지, 혹은 서로 분리되어 있는지에 관계없이 두 원 사이의 "거리"를 측정하는 방법이다.^[1]

특성.

원이 뒤집히거나 뫼비우스의 변형에 의해 변형되더라도 반전 거리는 변하지 않는다.^[1][2][3]한 쌍의 원은 두 쌍이 동일한 반전 거리를 갖는 경우에만 뫼비우스 변환에 의해 다른 쌍으로 변환될 수 있다.^[1]

벡만-쿼리 정리(Beckman-Quarles organization)의 아날로그는 반전 거리에 대해 참이다: 역전 평면에서 원 세트의 편차가 선택된 고정 거리 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaysty \delta$ $\}$에서 원 쌍 사이의 반전 거리를 보존한다면, 그것은 모든 반전 거리를 보존하는 뫼비우스 변환이어야 한다.^[3]

거리 공식

반지름 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$ $및{\displaystyle }$ R$$ ${\displaystyle R}$이$($가) 있는 유클리드 평면의 두 원과 중심 사이의$$ $거리{\displaystyle }$ d ${\displaystyle d}$에 대해 반전 거리는 공식으로^[1] 정의할 수 있다.

${\displaystyle I={\frac {d^{2}-r^{2}-R^{2}}{2R}}}}$

이 공식은 다음을 제공한다.

• 두 개의 분리 서클에 대해 1보다 큰 값
• 서로 접하고 바깥으로 접하는 두 원은 1의 값이다.
• 교차하는 두 원의 경우 -1과 1 사이의 값
  • 직각으로 서로 교차하는 두 원들에 대한 0의 값.
• -1의 값은 서로 접하는 원 두 개에 대한 값이며, 하나는 다른 원 안에 있고,
• 한 원이 다른 원을 포함할 때 -1보다 작은 값.

(일부 저자는 절대 역행 거리를 역행 거리의 절대값으로 정의한다.)

일부 저자들은 가치 그 자체보다는 위에서 주어진 가치의 역 쌍곡 코사인(역 쌍곡선 코사인)을 취함으로써 이 공식을 수정한다.^[2][4]즉, 숫자 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$을(를) 반전 거리로 사용하는 대신$$, 거리는 방정식에 따르는 숫자$$ $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$로 정의된다.

${\displaystyle \delta =\operatorname {arcosh}(I).}$

이런 식으로 역전 거리를 변환하면 거리 공식이 더 복잡해지고, 원을 교차하는 데 적용되는 것을 막을 수 있지만, (선상의 점의 일반적인 거리처럼) 원 연필로 원을 그릴 경우 거리가 더해진다는 장점이 있다.즉, 세 개의 원이 공통 연필에 속하는 경우($I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$ 대신$$ $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$을 역행 거리로 사용) 이들의$$ 세 쌍 거리 중 하나가 나머지 두 개의 합이 된다.^[2]

다른 기하학적 구조에서

구체의 원이나 쌍곡면의 원의 역행 거리도 정의할 수 있다.^[1]

적용들

스타이너 체인

두 개의 분리된 원을 위한 Steiner 체인은 추가 원의 유한 순환 시퀀스로, 각각 주어진 원 두 개와 체인의 두 이웃에 접한다.슈타이너의 다공증은 두 원 안에 슈타이너 사슬이 있으면 그러한 사슬이 무한히 많다고 말한다.체인은 두 원 둘레를 한 번 이상 감을 수 있으며$$, 분자가 체인에 있는 원의 수이고 분모가 둘레를 감는 횟수가 되는 합리적인 숫자 $[\displaystyle p]$로 특징지어질 수 있다.동일한 두 원의 모든 체인은 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$의 값이 같다$.$ 두 원 사이의 반전 거리(역방향 쌍곡선 코사인 복용 후)가 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$인 경우$,$ 공식으로$$p {\$displaystyle p}$을(를) 찾을 수 있다$$.

${\displaystyle p={\frac {\pi }{\sin ^{-1}\tanh(\displaysty /2)}}.}$

반대로, 이 공식이 합리적인 숫자를 주는 두 개의 분리된 원마다 스타이너 체인을 지지할 것이다.보다 일반적으로 임의의 쌍의 분리 원은 주어진 두 원의 공식 값에 대한 합리적인 근사치인 p ${\displaystyle p}$ 값을$$ 가진 Steiner 체인을 지지하는 원 쌍에 의해 임의로 가깝게 추정될 수 있다.^[2]

서클 패킹

역행 거리는 역행 원 패킹의 개념을 정의하는데 사용되어 왔다: (평면 그래프의 가장자리와 대응되는) 원의 특정 부분 집합이 서로에 대해 주어진 역행 거리를 갖는 것과 같은 원의 집합이다.이 개념은 원의 특정 쌍이 서로 접하는 원 패킹 정리에 의해 기술된 원 패킹을 일반화한다.^[1][5]접선 원 패킹에 비해 역방향 원 패킹의 존재에 대해서는 덜 알려져 있지만, 그러한 패킹이 존재했을 때 주어진 최대 평면 그래프와 유클리드 또는 쌍곡 역방향 거리 집합에 의해 (Möbius 변환까지) 고유하게 지정될 수 있다고 알려져 있다.이 강성 특성은 정점에 각도 결점이 있는 삼각형 다지관의 유클리드 또는 쌍곡선 측정기준으로 광범위하게 일반화할 수 있다.^[6]그러나 구면 기하학을 가진 다지관의 경우 이러한 패킹은 더 이상 고유하지 않다.^[7]또한, 역방향 원 패킹은 일치 매핑에 대한 근사를 구성하기 위해 사용되어 왔다.^[1]

참조

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Inversive Distance". MathWorld.