자코비 세트

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수학 분야인 모스 이론에서 자코비 집합은 둘 이상의 모스 함수 사이의 관계를 연구하는 방법을 제공한다.

두 Morse 함수의 경우, Jacobi 집합은 한 함수를 다른 함수의 레벨 집합으로 제한하는 임계 지점 집합으로 정의된다.^[1]

자코비 집합은 두 기능의 그라데이션이 평행한 점 집합으로도 정의할 수 있다.

두 기능이 모두 일반적이라면 자코비 세트는 매끄럽게 내장된 1매니폴드다.

정의

$두{\displaystyle }$ 가지 일반적인 Morse 함수 f${\displaystyle }$, ${\displaystyle g}$: ${\displaystyle M\mathbb{}}$→ R ${\$부드러운 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$ -manifold에$$ 정의된$$ $M\to \mathb {R} }.$Let the restriction of ${\displaystyle f}$ to the level set ${\displaystyle g^{-1}(t)}$ for ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ a regular value, be called ${\displaystyle f_{t}:g^{-1}(t)\to \mathbb {R} }$; it is a Morse function.그러면 자코비 집합 $J{\displaystyle }$${\displaystyle f}$과 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$은(는) $J{\displaystyle }$= ${\displaystyle c}$ = l${\displaystyle }${ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ M ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle \text{x}}$는 ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ x${\mbox{}}}}}의 임계점$이다$.$

Alternatively, the Jacobi set is the collection of points where the gradients of the functions align with each other or one of the gradients vanish (cite?), for some ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle J=\{x\in M\mid$$\nabla {f(x)}+\lambda \nabla {g(x)}=0{\mbox{ 또는 }}\lambda \ \la {f(x)}+\\la {g(x)}=0\}.$$}$

Equivalently, the Jacobi set can be described as the collection of critical points of the family of functions ${\displaystyle f+\lambda g}$, for some ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle J=\{x\in M\mid x{\mbox{ is a crit$$}}}f+\lambda g{\mbox{또는 }}}}\cal point of f+g\}.$$}$

참조