관절 스펙트럼 반지름

수학에서 관절 스펙트럼 반경은 행렬의 스펙트럼 반경에 대한 고전적 개념을 행렬 집합에 일반화한 것이다.최근 몇 년 동안 이 개념은 수많은 공학 분야에서 응용 분야를 발견했으며 여전히 활발한 연구의 주제다.

일반 설명

행렬 집합의 관절 스펙트럼 반경은 해당 집합에서 취해진 행렬의 생산물의 최대 무증상 증가율이다. ${\mathcal {M}}=\{A_{1},\dots ,A_{m}\}\subset \mathbb {R} ^{n\times n},$ (또는 더 일반적으로 ${\mathcal {M}}=\{A_{1},\dots ,A_{m}\}\subset \mathbb {R} ^{n\times n},$ 한 ${\mathcal {M}}=\{A_{1},\dots ,A_{m}\}\subset \mathbb {R} ^{n\times n},$ 행렬 M ${\mathcal {M}}=\{A_{1},\dots ,A_{m}\}\subset \mathbb {R} ^{n\times n},$ = { A ${\mathcal {M}}=\{A_{1},\dots ,A_{m}\}\subset \mathbb {R} ^{n\times n},$ , ${\mathcal {M}}=\{A_{1},\dots ,A_{m}\}\subset \mathbb {R} ^{n\times n},$ , ${\mathcal {M}}=\{A_{1},\dots ,A_{m}\}\subset \mathbb {R} ^{n\times n},$ m ${\mathcal {M}}=\{A_{1},\dots ,A_{m}\}\subset \mathbb {R} ^{n\times n},$ ${\mathcal {M}}=\{A_{1},\dots ,A_{m}\}\subset \mathbb {R} ^{n\times n},$ R ${\mathcal {M}}=\{A_{1},\dots ,A_{m}\}\subset \mathbb {R} ^{n\times n},$ ${\mathcal {M}}=\{A_{1},\dots ,A_{m}\}\subset \mathbb {R} ^{n\times n},$ n ${\mathcal {M}}=\{A_{1},\dots ,A_{m}\}\subset \mathbb {R} ^{n\times n},$ , {\ $displaystyle$ {\ $mathcal{$ M}=\{ $A_{1},\dots$ , $A_{$ m}\}\ $subset \mathb$ {R $} ^{n\time$ n $}}},}$ 과 ${\mathcal {M}}=\{A_{1},\dots ,A_{m}\}\subset \mathbb {R} ^{n\times n},$ 같이 정의된다.

\rho({\mathcal{M}}}=\lim _{k\to\infit }\max {\\\A_{1}1}}\cdots A_{i_{k}\{1/k}:A_{i}\in {\mathcal {M}\}}\,

한계가 존재하고 수량이 실제로 선택된 행렬 규범에 의존하지 않는다는 것을 증명할 수 있다(이는 어떤 규범에 대해서도 사실이지만 특히 규범이 하위 증배성인지 쉽게 알 수 있다).관절 스펙트럼 반경은 MIT 출신의 두 수학자인 ^[1]지안 카를로 로타와 길버트 스트러트가 1960년 도입했지만 잉그리드 다우베키스와 제프리 라고리아스의 작품으로 주목을 받기 시작했다.^[2]그들은 관절 스펙트럼 반경을 특정 파장 함수의 부드러움 특성을 설명하는 데 사용할 수 있다는 것을 보여주었다.^[3]그 이후로 많은 신청이 제안되었다.설정된 ${\mathcal {M}}$ ${\$ 이(가) 두 행렬의 0이 아닌 모든 입력이 동일한 행렬로 구성되더라도 ${\mathcal {M}}$ , 관절 스펙트럼 반경량은 계산이나 근사치가 NP인 것으로 알려져 있다.^[4] $\rho \leq 1?$ , " " $\rho \leq 1?$ $\rho \leq 1?$ ? ${\displaystyle \rho \leq$ 1 $\rho \leq 1?$ 이라는 질문은 이해할 수 없는 문제다.^[5]그럼에도 불구하고, 최근 몇 년 동안 그것의 이해에 많은 진전이 이루어졌고, 실제로 관절 스펙트럼 반경은 만족스러운 정밀도로 계산될 수 있으며, 더욱이 공학과 수학 문제에서 흥미로운 통찰력을 가져올 수 있는 것으로 보인다.

연산

근사 알고리즘

관절 스펙트럼 반경 계산능력에 대한 부정적 이론적 결과에도 불구하고, 실무에서 잘 수행하는 방법이 제안되었다.알고리즘은 사전 계산 가능한 시간 내에 임의의 정확도에 도달할 수 있는 것으로 알려져 있다.이러한 알고리즘은 극한규범이라 불리는 특정 벡터규범의 단위볼에 근사치를 시도하는 것으로 볼 수 있다.^[6]하나는 일반적으로 그러한 알고리즘의 두 패밀리를 구별한다: 폴리토프 규범법이라고 불리는 첫 번째 패밀리는 점의 긴 궤적을 계산하여 극한 규범을 구성한다.^[7]^[8]이러한 방법의 장점은 유리한 경우 관절 스펙트럼 반경의 정확한 값을 찾아내고 이것이 정확한 값이라는 증명서를 제공할 수 있다는 것이다.

두 번째 방법군은 타원형 표준 근사치,^[9] 반피니트 프로그래밍,^[10]^[11] Sum Of Square ^[12]및 원뿔 프로그래밍과 같은 현대적 최적화 기법으로 극단적 규범에 근사치를 한다.^[13]이러한 방법의 장점은 구현이 용이하고 실제로 관절 스펙트럼 반경에 대한 최상의 경계를 제공한다는 것이다.

미세한 추측.

관절 스펙트럼 반경의 계산성과 관련된 추정은 다음과 같다.^[14]

"모든 유한한 행렬 ${\mathcal {M}}\subset \mathbb {R} ^{n\times n},$ R n ${\mathcal {M}}\subset \mathbb {R} ^{n\times n},$ n ${\mathcal {M}}\subset \mathbb {R} ^{n\times n},$ , ${\mathcal{{M}\subset {R$ ^{ $n\time$ n $}}}}$ 에 대해 이 집합에 행렬의 $A_{1}\dots A_{t}$ $A_{1}\dots A_{t}$ … $A_{1}\dots A_{t}$ ${\$ 가 있다 ${\mathcal {M}}\subset \mathbb {R} ^{n\times n},$ .

\rho ({\mathcal {M}})=\rho (A_{1}\dots A_{t})^{1/t}.

(

\rho ({\mathcal {M}})=\rho (A_{1}\dots A_{t})^{1/t}.

)

\rho ({\mathcal {M}})=\rho (A_{1}\dots A_{t})^{1/t}.

=

\rho ({\mathcal {M}})=\rho (A_{1}\dots A_{t})^{1/t}.

(

\rho ({\mathcal {M}})=\rho (A_{1}\dots A_{t})^{1/t}.

1

\rho ({\mathcal {M}})=\rho (A_{1}\dots A_{t})^{1/t}.

…

\rho ({\mathcal {M}})=\rho (A_{1}\dots A_{t})^{1/t}.

\rho ({\mathcal {M}})=\rho (A_{1}\dots A_{t})^{1/t}.

)

\rho ({\mathcal {M}})=\rho (A_{1}\dots A_{t})^{1/t}.

/ t

\rho ({\mathcal {M}})=\rho (A_{1}\dots A_{t})^{1/t}.

.

{\displaystyle \rho ({\mathcal{M}}})=\rho (A_{1}\dots A_{t}^{1/t

위의 방정식에서 " $\rho (A_{1}\dots A_{t})$ ( $\rho (A_{1}\dots A_{t})$ 1 $\rho (A_{1}\dots A_{t})$ … A $\rho (A_{1}\dots A_{t})$ ) ${\displaystyle \rho (A_{1}\dots A_{t$ 는 $A_{1}\dots A_{t}.$ A $A_{1}\dots A_{t}.$ … $A_{1}\dots A_{t}.$ . {\ $displaystyle A_{1}\dots A_{t}$ 의 고전적 스펙트럼 반경을 가리킨다. $}$

1995년에 제안된 이 추측은 2003년에 거짓으로 판명되었다.^[15]그 참고문헌에 제시된 백범본은 고급 측정 이론적 아이디어를 사용한다.그 후 간단한 조합 특성 매트릭스를 사용하는 기본 counterexample과 동적 시스템 특성에 기반한 counterrexample을 포함하여 많은 다른 counterrexample이 제공되었다.^[17]최근에 명시적인 counterexample이 제안되었다.^[18]예를 들어, 2진법 행렬의 쌍을 유지하는지에 대한 질문처럼, 이 추측과 관련된 많은 질문들은 여전히 열려 있다.^[19]^[20]

적용들

관절 스펙트럼 반경은 이산 시간 스위칭 동적 시스템의 안정성 조건으로서 해석하기 위해 도입되었다.실제로, 방정식에 의해 정의되는 시스템

x_{t+1}=A_{t}x_{t},\quad A_{t}\in {\mathcal{M}\,\all t

$\rho ({\mathcal {M}})<1.$ ( $\rho ({\mathcal {M}})<1.$ ) $\rho ({\mathcal {M}})<1.$ < 1 ${\displaystyle \rho({\mathcal{M})<1일$ 경우에만 안정적이다 $.$ $}$

이 관절 스펙트럼 반경은 잉그리드 다우베키스와 제프리 라고리아스가 특정 웨이브렛 기능의 연속성을 지배한다는 것을 보여주면서 유명해졌다.그 이후로, 그것은 숫자 이론에서부터 정보 이론, 자율 에이전트 합의, 단어에 대한 조합론,...에 이르는 많은 응용 프로그램을 발견했다.

참조

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추가 읽기

Raphael M. Jungers (2009). The joint spectral radius, Theory and applications. Springer. ISBN 978-3-540-95979-3.

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Antonio Cicone (2011). "PhD thesis. Spectral Properties of Families of Matrices. Part III" (PDF).

Jacques Theys (2005). "PhD thesis. Joint Spectral Radius: Theory and approximations" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2007-06-13.

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