스펙트럼 반지름

수학에서 사각 행렬 또는 경계 선형 연산자의 스펙트럼 반경은 고유값의 최대 절대값(즉, 스펙트럼 내 원소의 절대값 중 우월함)이다. ρ(·)로 표기하기도 한다.

행렬

$λ 1, ...,$ $λ$ 을_n 행렬 $A$ ∈ $C$ 의^n×n (실제 또는 복합) 고유값이 되게 하라. 스펙트럼 반경 radius( $A)$ 은 다음과 같이 정의된다.

\displaystyle \rho (A)=\max \left\{\lambda _{1},\dotsc , \lambda _{n} \right\}.}

스펙트럼 반경은 매트릭스의 모든 규범에 대한 일종의 최소치다. Indeed, on the one hand, $\rho (A)\leqslant \ A\$ for every natural matrix norm $\ \cdot \$ ; and on the other hand, Gelfand's formula states that $\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\ A^{k}\ ^{1/k}$ . Both these results는 다음과 같다.

However, the spectral radius does not necessarily satisfy $\ A\mathbf {v} \ \leqslant \rho (A)\ \mathbf {v} \$ for arbitrary vectors $\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}$ . To see why, let $r>1$ be arbitrary and consider the matrix

C_{r}={\begin{pmatrix}0&r^{-1}\\r&0\end{pmatrix}}

C_{r}={\begin{pmatrix}0&r^{-1}\\r&0\end{pmatrix}}

=

C_{r}={\begin{pmatrix}0&r^{-1}\\r&0\end{pmatrix}}

(

C_{r}={\begin{pmatrix}0&r^{-1}\\r&0\end{pmatrix}}

r

C_{r}={\begin{pmatrix}0&r^{-1}\\r&0\end{pmatrix}}

- 1

C_{r}={\begin{pmatrix}0&r^{-1}\\r&0\end{pmatrix}}

C_{r}={\begin{pmatrix}0&r^{-1}\\r&0\end{pmatrix}}

)

{\

The characteristic polynomial of $C_{r}$ is $\lambda ^{2}-1$ , so its eigenvalues are $\{-1,1\}$ and thus $\rho (C_{r})=1$ . However, ${\displaystyle C_{r}\mathbf {e} _{1}=r\mat$ $hbf {e} _{2$ 그 결과 $\ell ^{p}$ $\ell ^{p}$ ${\$ 표준에 $\ell ^{p}$ 대해,

\C_{r}\mathbf {e} _{1}\=1=\rho(C_{r})\mathbf {e} _{1}\

Gelfand 공식의 예로서 $\|C_{r}^{k}\|^{1/k}\to 1$ $k\to \infty$ $C_{r}^{k}=I$ k $C_{r}^{k}=I$ = I = $C_{r}^{k}=I$ ${\$ $displaystyle C_{r}^{k}\^{1/k}\$ $to \$ potty $}$ 으로 $k\to \infty$ fty C $\|C_{r}^{k}\|^{1/k}\to 1$ $\|C_{r}^{k}\|^{1/k}\to 1$ $k\to \infty$ = {\ $displaystyle C_{r}^{$ $\|C_{r}^{k}\|^{1/k}\to 1$ }={ $k}}$ 에 $\|C_{r}^{k}\|^{1/k}\to 1$ 주목한다. $k$ $k$ 이 $C_{r}^{k}=I$ $k$ (가) 짝수일 $경우$ I $},$ $k$ $k$ 이(가) 홀수일 $k$ 경우 $C_{r}^{k}=C_{r}$ $C_{r}^{k}=C_{r}$ $C_{r}^{k}=C_{r}$ = $C_{r}^{k}=C_{r}$ $C_{r}^{k}=C_{r}$ ${\$

A special case in which $\ A\mathbf {v} \ \leqslant \rho (A)\ \mathbf {v} \$ for all $\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}$ is when $A$ is a Hermitian matrix and $\ \cdot \$ is the Euclidean norm. 이는 모든 에르미트 행렬이 단일 행렬에 의해 대각선화할 수 있고, 단일 행렬은 벡터 길이를 보존하기 때문이다.

\displaystyle \ A\mathbf {v} \\U^{*}DU\mathbf {v} \\leqslant \rho(A)\ U\mathbf {v} \\mathbf {v} \\mathbf {v} \rho} \\mathb {v} \v} \v} \v} \v} \v} \} \} \v} \} \} \}}}}}}}

경계 선형 연산자

Banach 공간의 경계 선형 $연산자$ A의 경우 고유값은 연산자의 스펙트럼으로 $\lambda$ 되며, $A-\lambda I$ - $A-\lambda I$ I $A-\lambda I$ {\ $displaystyle A-\lambda I}$ 에 $\lambda$ 대한 값 { $\lambda$ {\ $displaystyle \lambda }$ 이(가) 비주사적이지 않으며 $A-\lambda I$ , 우리는 다음과 같이 스펙트럼을 나타낸다.

$\sigma(A)=\좌측\{\lambda \in \mathb {C} :A-\lambda I\;{\text{beverjective}\right\}}}}$

스펙트럼 반경은 스펙트럼 내 원소 규모의 우월성으로 정의된다.

$\displaystyle \rho (A)=\sup _{\lambda \in \sigma (A)} \lambda }$

연산자 규범을 $\|\cdot \|$ { ${$ {\ $displaystyle$ \ $cdot$ \ \cdot \ $\|\cdot \|$ 으로 표시하면 스펙트럼 반경 공식이나 Gelfand의 공식은 다음과 같다.

\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \inflt }\A^{k}\{\frac {1}{k}}.}

(복합 힐버트 공간에 있는) 경계 연산자는 스펙트럼 반경이 수치 반지름과 일치하면 스펙트럼 분석 연산자라고 불린다. 그러한 연산자의 예로는 정상 연산자가 있다.

그래프

유한 그래프의 스펙트럼 반경은 인접 행렬의 스펙트럼 반경으로 정의된다.

이 정의는 정점의 경계가 있는 무한 그래프의 경우로 확장된다(즉, 그래프의 모든 꼭지점의 $정도$ 가 C보다 작을 정도로 일부 실제 $숫자$ C가 존재한다). 이 경우 그래프 $G$ 에 대해 다음을 정의한다.

\displaystyle \#{2}(G)=\left\{f:V(G)\to \mathbf {R}\\\\\\\\\\\\\\\\\sum \nollimits \\\\\\\\in{v(G)\fteight\.}

$G$ :의 인접 연산자가 되도록 한다.

{\begin}\gamma :\ell ^{2}(G)\\(\gamma f)\\(v)=\sum _{(u,v)\in E(G)f(u)\case{}}}}}}}

$G$ 의 스펙트럼 반경은 경계 선형 연산자 $γ$ 의 스펙트럼 반경으로 정의된다.

상한

행렬의 스펙트럼 반경에 대한 상한

다음 명제는 행렬의 스펙트럼 반경에 대한 단순하지만 유용한 상한을 보여준다.

제안. 스펙트럼 반경 $ρ (A)$ 과 일관된 행렬 규범 ⋅을 가진 $A$ ∈ $C$ 를^n×n 두십시오 $.$ $k\geqslant 1$ 각 정수 $k\geqslant 1$ $k\geqslant 1$ 1 ${\displaystyle k\geqslant$ 1 $}$ 에 대해 $k\geqslant 1$

\displaystyle \rho (A)\leq \A^{k}\^{\frac {1}{k}}.}

증명

$(v,$ $λ)$ 행렬 A에 대한 고유 벡터- 고유값 쌍이 되도록 한다. 행렬 표준의 하위 곱셈 특성에 의해 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

\displaystyle \lambda ^{k}\mathbf {v} \ =\\lambda ^{k}\mathbf {v} \leq \ A^{k}\cdot \mathbf {v} \mathbf {v} \ \}}}}}}}}

$그리고$ v ≠ 0 $이후$ 로 우리는

\displaystyle \lambda ^{k}\leq \ A^{k}\ }

따라서

\displaystyle \rho (A)\leq \A^{k}\^{\frac {1}{k}}.}

그래프의 스펙트럼 반경에 대한 상한

정점 수 n과 가장자리 수 m 측면에서 그래프의 스펙트럼 반경에 대한 상한이 많다. 예를 들어, 다음과 같다.

{\frac {(k-2)(k-3)}{2}}:\leq m-n\leq {\frac {k(k-3)}{2}}:

여기서 $3\leq k\leq n$ $3\leq k\leq n$ $3\leq k\leq n$ $3\leq k\leq n$ $3\leq k\leq n$ 은(는) 정수임 $3\leq k\leq n$ ^[1]

\rho (G)\leq {\sqrt {2m-n-k+{\frac {5}{5}}{2}}+{\sqrt{2m-2n+{\frac}{4}}}}}}}}}}

동력 시퀀스

정리

스펙트럼 반경은 매트릭스 동력 시퀀스의 수렴 작용과 밀접하게 관련된다. 즉, 다음 정리는 다음을 유지한다.

정리.

A

∈

C

를^n×n 스펙트럼 반경

ρ (A

)으로 한다

.

그렇다면

ρ (A)

<

1

은 만일 그렇다면 그리고 단지

\lim _{k\to \infit }A^{k}=0.

반면

ρ (A)

>

1

이면

\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|=\infty

k

\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|=\infty

→

\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|=\infty

\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|=\infty

A

\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|=\infty

k

\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|=\infty

= =

\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|=\infty

\

displaystyle \lim _{k\to \fty }\A^{k}\ =\fty

\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|=\infty

C

의^n×n 행렬 규범의 어떠한 선택에도 이 성명은 유효하다.

정리증거

문제의 한도가 0이라고 $가정하면 ((A)$ < 1. let ( $v,$ $λ)$ 은 A의 고유 벡터 고유값 쌍이 되도록 한다. $Av k$ = $vv$ 이므로^k:

{\begin}0&=\왼쪽(\lim _{k\to \infit }{k}\오른쪽)\mathbf {v}\v}\no=\lim \inft \{k}\infty(A^{k}\mathbf {v}\v} \right)\\&=\lim _{k\to \infit }\body ^{k}\mathbf {v}\\v}\lim_{k\to \infit }\lineed}}}}}}

그리고, 가설 $v$ ≠ $0$ 에 의해서, 우리는 반드시

\lim _{k\to \inflt }\bodda ^{k}=0

즉, < < 1. 이것은 어떤 고유값 λ에 대해서도 사실이어야 하므로 ρ(A) < 1을 결론지을 수 있다.

이제 $A$ 의 반지름이 $1$ 보다 작다고 가정하자. 요르단 정상 형태 정리로부터 우리는 $모든$ A $c n \times n$ C에 대해 $다음$ 과 같은 V, $J c n \times n$ C와 V 비송음, J $블록$ 대각선이 존재한다는 것을 알고 있다.

A=VJV^{-1

와 함께

J={\begin{bmatrix}J_{m_{1}:{1}(\lambda _{1}&#0&#0&#cdots &0\\0&#0&#0&#0&#0&#0&#0&#0&#0&#0&J_{m_{2}}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}

어디에

J_{m_{나는}}(\lambda_{나는})={\begin{bmatrix}\lambda _{나는}&, 1&, 0&, \cdots &, 0\\0&, \lambda _{나는}&, 1&, \cdots, 0\\\vdots, \vdots & &, \ddots &, \ddots &, \vdots \\0&, 0&, \cdots & &, \lambda _{나는}&, 1\\0&, 0&, \cdots &, 0&, \lambda _{나는}\end{bmatrix}}\in\mathbf{C}^{m_{나는}\times m_{나는}}i\leq s,1\leq.

는 것을 쉽게 알 수 있다.

A^{k}=VJ^{k}V^{-1

$그리고$ , J는 블록 대각선이기 때문에,

J^{k}={\begin{bmatrix}J_{m_{1}^{k}(\lambda _{1}&#0&\cdots &0\0\0&#0&#0&#0&#0&#0&#0&#0&#0&#0&#0&#0&#0&#J_{m_{2}}^{k}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}^{k}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}^{k}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}

$m_{i}\times m_{i}$ , m $m_{i}\times m_{i}$ $m_{i}\times m_{i}$ m $m_{i}\times m_{i}$ ${\$ Jordan $m_{i}\times m_{i}$ 블록의 k-power에 대한 표준 결과에 따르면 $k\geq m_{i}-1$ $k\geq m_{i}-1$ $k\geq m_{i}-1$ - $k\geq m_{i}-1$ {\ $displaystyle$ k\ $geq$ m_ ${i}-$ 1 $k\geq m_{i}-1$

{\displaystyle J_{m_{나는}}^ᆪ(\lambda_{나는})={\begin{bmatrix}\lambda _{나는}^{k}&,{k1\choose}\lambda _{나는}^{k-1}&,{k2\choose}\lambda _{나는}^{k-2}&, \cdots &,{k\choose m_{나는}-1}\lambda _{나는}^{k-m_{나는}+1}\\0&, \lambda _{나는}^{k}&,{k1\choose}\lambda _{나는}^{k-1}&, \cdots &,{k\choose m_{나는}-2}\lambda _{나는}^{k-m_{나는}+2}\\\vdots &, \vdots &a.Mp, \ddots, \ddots &, \vdots \\0&, 0&, \cdots & &amp을 말한다.\lambda _{i}^{k}&{k \1}\{i}^{k-1}\\0&#0&\cdots &0&#0&#da _{i}^{k}\end{bmatrix}}}}}}}}을(를) 선택하십시오.

따라서 $\rho (A)<1$ ( $\rho (A)<1$ ) $\rho (A)<1$ < 1 $\rho (A)<1$ 의 경우 모든 $\rho (A)<1$ i $|\lambda _{i}|<1$ $|\lambda _{i}|<1$ < 1 ${\displaystyle \lambda _{i}{1$ } $|\lambda _{i}|<1$ . 따라서 우리가 $가진$ 모든 것은 다음과 같다.

\lim_{k\to \infit }J_{m_{i}^{k}=0

그 말은

\lim _{k\to \inflt }J^{k}=0.

그러므로

\lim _{k\to \ft }A^{k}=\lim _{k^{k^{1}=V\left(\lim _{k\to \inft }J^{k}\right)V^{-1}=0

반대편에서는 $\rho (A)>1$ ( $\rho (A)>1$ ) $\rho (A)>1$ > 1 ${\displaystyle \rho (A)>1$ }이 $\rho (A)>1$ 가) $\rho (A)>1$ , 적어도 $J$ 에는 k가 증가함에 따라 경계가 유지되지 않는 요소가 하나 있으므로, 성명의 두 번째 부분을 증명한다.

겔판드의 공식

정리

다음 정리는 스펙트럼 반경을 매트릭스 규범의 한계로 제시한다.

정리(Gelfand's Formula; 1941). 어떤 매트릭스 규범 ⋅에 대하여

,

우리는 다음과 같다.

\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}.

(

\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}.

)

\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}.

=

\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}.

k

\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}.

→

\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}.

\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}.

\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}.

1 k

\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}.

.

\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}.

{\

displaystyle \rho

(A

)=\lim _{k\to

\

inflty

}\{

k}\

^{\

fract{1}{

k

\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}.

^[2]

증명

어떤 $ε$ > $0$ 에 대해 먼저 다음 두 개의 행렬을 구성한다.

A_{\pm }={\frac {1}{\rho(A)\pm \varepsilon }A.

\rho \left(A_{\pm }}\rho(A)}{\rho(A)}{\rho(A)\pm\varepsilon }}}}},\qquad \rho(A_{+})<1<\rho(A_{-}).

먼저 이전의 $정리$ 를₊ A:에 적용한다.

\lim _{k\to \inflt }A_{+}^{k}=0.

즉, 시퀀스 한계 정의에 의해 $모든 +$ k ≥ N에₊ 대해 N ∈ $N$ 이 존재한다는 것을 의미한다.

{\begin{aigned}\왼쪽\A_{+}^{k}\오른쪽\<1\end{aigned}}}}

그렇게

{\begin}\왼쪽\A^{k}\right\^\\\frac {1}{1}{k}}<\rho(A)+\varepsilon .\ended}}}}

이전 정리를 $A$ 에₋ 적용하는 것은 $\|A_{-}^{k}\|$ A $\|A_{-}^{k}\|$ - $\|A_{-}^{k}\|$ $\|A_{-}^{k}\|$ ${\displaystyle$ \ $A_{-}^{k}\}}이($ 가) 경계가 없으며 모든 $\|A_{-}^{k}\|$ k ≥ N에₋ 대해 N $exists -$ $N$ 이 존재함을 의미한다.

{\begin{aigned}\왼쪽\A_{-}^{k}\오른쪽\>1\end{aigned}}}

그렇게

{\begin}\왼쪽\A^{k}\오른쪽\^{\frac {1}{k}}}\rho(A)-\varepsilon .\ended}}}

$N$ = $max{N +,$ N $}$ 을₋(를) 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

\displaystyle \for \varepsilon >0\quad \exists N\mathbf {N} \quad \rho (A)-\varepsilon <\좌측\A^{k}\frac {1}{1}{k}}+vpsilon}

정의상으로는

\lim_{k\to \flt }\왼쪽\A^{k}\오른쪽\{\frac {1}{k}}=\rho (A)

헬프랜드 산호관

Gelfand의 공식은 미세하게 많은 행렬이 있는 제품의 스펙트럼 반경에 대한 경계로 직결된다. 즉, 그것들이 모두 우리가 얻는 통근이라고 가정한다.

\rho(A_{1}\cdots A_{n})\leq \rho(A_{1})\cdots \rho(A_{n}).

실제로 규범이 일치하는 경우, 증거는 논문보다 더 많은 것을 보여준다. 사실, 이전 보조정리기를 사용하여 왼쪽 하한을 스펙트럼 반경 자체로 대체하고 보다 정확하게 다음과 같이 쓸 수 있다.

\for \varepsilon >0,\exists N\mathbf {N},\fall k\geq N\quad \rho (A)\leq \A^{1}\frac{1}{1}{k}}}}}}\rho+\varepsilon }}}}}}}

정의상으로는

\lim_{k\to \flt }\왼쪽\A^{k}\오른쪽\{\frac {1}{k}}=\rho(A)^{+}

여기서 +는 한계에 대해 위에서 접근하는 것을 의미한다.

예

행렬 고려

A={\begin{bmatrix}9&-1&2\\2&8&4\\1&8\end{bmatrix}}

이들의 $고유값은 5$ , 10, $10$ 이며, 정의상 $ρ (A)$ = $10$ 이다. In the following table, the values of $\ A^{k}\ ^{\frac {1}{k}}$ for the four most used norms are listed versus several increasing values of k (note that, due to the particular form of this matrix, $\ .\ _{1}=\ .\ _{\infty }$ ):

k	$\ .\ _{1}=\\ _{\fty}}$	$\ .\ _{F}$	${\displaystyle \ .\ _{2}}:$
1	14	15.362291496	10.681145748
2	12.649110641	12.328294348	10.595665162
3	11.934831919	11.532450664	10.500980846
4	11.501633169	11.151002986	10.418165779
5	11.216043151	10.921242235	10.351918183
$\displaystyle \vdots }$	$\displaystyle \vdots }$	$\displaystyle \vdots }$	$\displaystyle \vdots }$
10	10.604944422	10.455910430	10.183690042
11	10.548677680	10.413702213	10.166990229
12	10.501921835	10.378620930	10.153031596
$\displaystyle \vdots }$	$\displaystyle \vdots }$	$\displaystyle \vdots }$	$\displaystyle \vdots }$
20	10.298254399	10.225504447	10.091577411
30	10.197860892	10.149776921	10.060958900
40	10.148031640	10.112123681	10.045684426
50	10.118251035	10.089598820	10.036530875
$\displaystyle \vdots }$	$\displaystyle \vdots }$	$\displaystyle \vdots }$	$\displaystyle \vdots }$
100	10.058951752	10.044699508	10.018248786
200	10.029432562	10.022324834	10.009120234
300	10.019612095	10.014877690	10.006079232
400	10.014705469	10.011156194	10.004559078
$\displaystyle \vdots }$	$\displaystyle \vdots }$	$\displaystyle \vdots }$	$\displaystyle \vdots }$
1000	10.005879594	10.004460985	10.001823382
2000	10.002939365	10.002230244	10.000911649
3000	10.001959481	10.001486774	10.000607757
$\displaystyle \vdots }$	$\displaystyle \vdots }$	$\displaystyle \vdots }$	$\displaystyle \vdots }$
10000	10.000587804	10.000446009	10.000182323
20000	10.000293898	10.000223002	10.000091161
30000	10.000195931	10.000148667	10.000060774
$\displaystyle \vdots }$	$\displaystyle \vdots }$	$\displaystyle \vdots }$	$\displaystyle \vdots }$
100000	10.000058779	10.000044600	10.000018232

참고 및 참조

^ Guo, Ji-Ming; Wang, Zhi-Wen; Li, Xin (2019). "Sharp upper bounds of the spectral radius of a graph". Discrete Mathematics. 342 (9): 2559–2563. doi:10.1016/j.disc.2019.05.017.
^ 이 공식은 Banach 대수학에서 사용된다. Dunford & Schwartz 1963 및 Lax 2002, 페이지 195–197의 Lema IX.1.8을 참조한다.

참고 문헌 목록

Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob (1963), Linear operators II. Spectral Theory: Self Adjoint Operators in Hilbert Space, Interscience Publishers, Inc.
Lax, Peter D. (2002), Functional Analysis, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-55604-1

참고 항목

스펙트럼 격차
관절 스펙트럼 반경은 행렬 집합에 대한 스펙트럼 반경을 일반화한 것이다.
행렬의 스펙트럼
스펙터클 애브시사

[1] Guo, Ji-Ming; Wang, Zhi-Wen; Li, Xin (2019). "Sharp upper bounds of the spectral radius of a graph". Discrete Mathematics. 342 (9): 2559–2563. doi:10.1016/j.disc.2019.05.017.

[2] 이 공식은 Banach 대수학에서 사용된다. Dunford & Schwartz 1963 및 Lax 2002, 페이지 195–197의 Lema IX.1.8을 참조한다.

[1]

[2]

v t 스펙트럼 이론과 -알게브라스
기본개념	비자발성/-알지브라 바나흐 대수 B-알지브라 C-알지브라 비확정 위상 투영 값 측정값 스펙트럼 C-알지브라 스펙트럼 스펙트럼 반지름 연산자 공간
주요 결과	겔판-마주르 정리 겔판트-나이마크 정리 헬프랜드 표현 극분해 단수 값 분해 스펙트럼 정리 정상 C*알게브라의 스펙트럼 이론
특수 요소/운영자	이소스펙트랄 정상 운영자 에르미트어/자체 성도 운영자 유니타리 운영자 구성 단위
스펙트럼	크레인-루트만 정리 정규 고유값 C*-알지브라 스펙트럼 스펙트럼 반지름 스펙트럼 비대칭 스펙트럼 격차
스펙트럼 분해	(연속) 포인트 잔차) 근사점 압축 이산형 스펙터클 애브시사
스펙트럼 정리	보렐 함수 미적분학 미니맥스 정리 양의 연산자 값 측정값 투영 값 측정값 리에즈 프로젝터 리그드 힐버트 공간 스펙트럼 정리 콤팩트 연산자의 스펙트럼 이론 정상 C*알게브라의 스펙트럼 이론
특수 알헤브라스	아메나블 바나흐 대수 대략적인 정체성 포함 바나흐 함수 대수 디스크 대수 균일대수학 폰 노이만 대수 토미타-다케사키 이론
유한 차원	알론-보파나 바운드 바우어-파이크 정리 숫자 범위 슈르-혼 정리
일반화	디락 스펙트럼 필수 스펙트럼 유사점 구조물 공간(Silov 경계)
잡다한	추상지수군 바나흐 대수 코호몰로지 코언-휴이트 인자화 정리 대칭 연산자의 확장 흡수원리 제한 언바운드 연산자
예	비너 대수
적용들	거의 마티외 연산자 코로나 정리 드럼의 모양(Dirichlet eigenvalue)을 들음 열 커널 쿠즈넷소프 미량식 락스 페어 프로토-값 함수 라마누잔 그래프 랠리-파버-크란 불평등 스펙트럼 기하학 스펙트럼법 일반 미분방정식의 스펙트럼 이론 스투름-리우빌 이론 슈퍼스트롱 근사치 전송 연산자 변형 이론 바일법

Search