조스트 함수

산란 이론에서 조스트 함수는 일반용액의 ron스키안과 미분방정식의 (비정규) 조스트용액 -${\displaystyle {}^{}}$ψ + ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \psi }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle -\psi"+V\psi =k^{2}\psi$ $\}.$ 레스 조스트에 의해 도입되었다.

배경

사례 ${\displaystyle \mathrm{\ell }}$= 0 ${\$$displaystyle \psi(k,r)}$에서 방사형 슈뢰딩거 방정식에 대한$$ 솔루션 $\psi {\displaystyle (k}$, $){\$$displaystyle \ell =0}$을(를) 찾고 있다$.$

${\displaystyle -\psi'+V\psi =k^{2}\psi .}$

일반 및 불규칙 솔루션

일반 용액 $\phi {\displaystyle (k}$, ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle \varphi(k,r)}$은 경계 조건을 만족하는 용액이다.

${\displaystyle {\regated}\varphi (k,0)&=0\\\varphi _{r}(k,0)&=1.\end{정렬}}}$

( r)< ${\displaystyle \int _{0}^{\infit }r V(r) <\infit$ 용액은 볼테라 적분 방정식으로 주어진다.

${\displaystyle \varphi(k,r)=k^{-1}\sin(kr)+k^{-1}\int _0^{r}dr'\sin(k-r')V(r')\varphi(k,r')}$

$r$로 두 가지 불규칙한 솔루션(Jost solutions) $f{\displaystyle {}_{}}$± ${\$이(가) 있으며$$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle f^{}{}_{}}$±${\displaystyle {}_{}}$= e${\displaystyle {}^{}}$± ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$+ ${\displaystyle o}$(${\displaystyle 1}$ $){\pm f_{\pm$ }=e^{\pm ikr}+$o($1)는$$r${\displaystyle }$→ $∞로$한다$.$그것들은 볼테라 적분 방정식에 의해 주어진다.

${\displaystyle f_{\pm }(k,r)=e^{\pm ikr}-k^{-1}\int _{r}^{r}\dr'\sin(k-r')V(')f_{\pm }(k,r')}$

$k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle k\neq$ 0$\}$인 경우 $f{\displaystyle {}_{}}$+${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$- ${\$는 선형적으로 독립적이다$$.그것들은 2차 차등방정식에 대한 해법이기 때문에, 모든 해법(특히 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi$ $\})$은 그것들의 선형 결합으로 쓰여질 수 있다.

조스트 함수 정의

Jost 함수는

${\displaystyle \omega (k):$$=W(f_{+},\varphi )\equiv \varphi _{r}(k,r)f_{+(k,r)-\varphi(k$,r$)f_{+,x}'(k,r$

W는 Wronskian이다.$f{\displaystyle {}_{}}$+ ,${\displaystyle {}_{}\phi }$ ${\displaystyle f_{+},\varphi }$ 모두 동일한$$ 미분 방정식에 대한 솔루션이므로 Wronskiian은 r과 독립적이다.따라서 $r{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle r=0}$에서 평가하고 $and$ ${\displaystyle \varphi }$의 경계 조건을 사용하여$$ $\Omega {\displaystyle ({}_{}}$)${\displaystyle }$= f${\displaystyle {}_{}}$+${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle 0}$) ${\displaysty \omega(k)=f_{+}(k,0$

적용들

Jost 함수는 Green의 함수를 구성하는 데 사용될 수 있다.

${\displaystyle \left[-{\frac {\partial^{2}}:{\partial r^{2}}+V(r)-k^{2}\오른쪽]G=-\delta(r-r')}$

실은.

${\displaystyle G^{+}(k;r,r')=-{\frac {\varphi(k,r\wedge r')f_{+}(k,r\ve r')}{\omega(k)},},},}$

여기서 $r{\displaystyle }$∧ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \prime }$ ${\displaystyle minmin}$(${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$) ${\displaystyle$ r$\re'\equiv \min(r,$${\displaystyle {}^{}}$$')}$ 및$$ $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ 최대${\displaystyle (r}$,${\displaystyle r{,}^{}}$) ${\displaystyle$ r$\vee$r'\$equiv \max(r,r$

참조

• 로저 G.뉴턴, 파동과 입자의 산란 이론.
• D. R. 야파예프, 수학 산란 이론.