수학 에서 볼테라 적분 방정식 은 특별한 유형의 적분 방정식 이다.[1] 이들은 제1종과 제2종으로 구분된다.
제1종류의 선형 볼테라 방정식은
f ( t ) = ∫ a t K ( t , s ) x ( s ) d s {\displaystyle f(t)=\int _{a}^{t}K(t,s)\,x(s)\,ds} 여기서 f 는 주어진 함수고 x 는 풀 수 없는 함수다. 두 번째 종류의 선형 볼테라 방정식은
x ( t ) = f ( t ) + ∫ a t K ( t , s ) x ( s ) d s . {\displaystyle x(t)=f(t)+\int _{a}^{t(t,s)x\,ds.} 연산자 이론 과 프레드홀름 이론에서는 해당 연산자를 볼테라 연산자라고 부른다 .그런 방정식을 푸는 데 유용한 방법인 아도미안 분해법 은 조지 아도미안 때문이다.
선형 볼테라 적분 방정식은 다음과 같은 경우 콘볼루션 방정식이다.
x ( t ) = f ( t ) + ∫ t 0 t K ( t − s ) x ( s ) d s . {\displaystyle x(t)=f(t)+\int_{t_{0}^{t(t-s)x\,ds.} 적분 {\displaystyle K} 커널 이라고 한다.그러한 방정식은 라플라스 변환 기법을 통해 분석 및 해결할 수 있다.
볼테라 적분 방정식은 비토 볼테라 가 소개한 뒤 에밀 피카르트 의 지시로 쓴 1908년 논문 《수르 레스 에쿼레이션스 드 볼테라 》에서 트라이안 레레스쿠가 연구했다. 1911년, Lalescu는 적분 방정식에 대한 최초의 책을 썼다.
볼테라 적분 방정식은 인구통계학 , 점탄성 물질 연구, 갱신 방정식 을 통한 보험수리적 과학 에서 응용을 찾는다.[2]
제1종 볼테라 방정식의 제2종 전환 제1종류의 선형 볼테라 방정식은 항상 ( t t 0 (\displaystyle (t,t)\neq } .
d f d t = ∫ a t ∂ K ∂ t x ( s ) d s + K ( t , t ) x ( t ) {\df 스타일 {df \over {dt}=\int_{a}^{t}{\partial K \over {\partial t}ds+K(t,t)x(t)} K t t {\displaystyle K(t,t)} x ( t ) = 1 K ( t , t ) d f d t − ∫ a t 1 K ( t , t ) ∂ K ∂ t x ( s ) d s {\displaystyle x(t)={1 \over {K(t,t)}{df \over {dt}-\int _{a}^{t}{1 \over {K(t,t)}}}{\partial K \over {\partial t}x(s)} Defining f ~ ( t ) = 1 K ( t , t ) d f d t {\textstyle {\widetilde {f}}(t)={1 \over {K(t,t)}}{df \over {dt}}} K ~ ( t , s ) = − 1 K ( t , t ) ∂ K ∂ t {\textstyle {\widetilde {K}}(t,s)=-{1 \over {K(t,t)}}{\partial K \over {\partial t}}} n을 두 번째 종류의 선형 볼테라 방정식에 넣는다.
사다리꼴 규칙을 이용한 수치해법 두 번째 종류의 선형 볼테라 방정식의 수치 해답을 계산하는 표준 방법은 사다리꼴 규칙 으로, 동일한 간격의 하위 절편에 대해 Δ {\displaystyle \Delta }
∫ a b f ( x ) d x ≈ Δ x 2 [ f ( x 0 ) + 2 ∑ i = 1 n − 1 f ( x i ) + f ( x n ) ] {\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx\ 약 {\Delta x \over{2}}\좌측[f(x_{0})+2\sum _{n=1}^{n-1f(x_{i})+f(x_{n}\n}\rig}\rig]}}}}}}}} 하위 절편에 대해 동일한 간격을 가정할 때 볼테라 방정식의 적분 구성 요소는 다음과 같이 근사할 수 있다. ∫ a t K ( t , s ) x ( s ) d s ≈ Δ s 2 [ K ( t , s 0 ) x ( s 0 ) + 2 K ( t , s 1 ) x ( s 1 ) + ⋯ + 2 K ( t , s n − 1 ) x ( s n − 1 ) + K ( t , s n ) x ( s n ) ] {\displaystyle \int _{a}^{t}K(t,s)x(s)ds\approx {\Delta s \over {2}}\left[K(t,s_{0})x(s_{0})+2K(t,s_{1})x(s_{1})+\cdots +2K(t,s_{n-1})x(s_{n-1})+K(t,s_{n})x(s_{n})\right]} Defining x i = x ( s i ) {\displaystyle x_{i}=x(s_{i})} f i = f ( t i ) {\displaystyle f_{i}=f(t_{i})} K i j = K ( t i , s j ) {\displaystyle K_{ij}=K(t_{i},s_{j})} x 0 = f 0 x 1 = f 1 + Δ s 2 ( K 10 x 0 + K 11 x 1 ) x 2 = f 2 + Δ s 2 ( K 20 x 0 + 2 K 21 x 1 + K 22 x 2 ) ⋮ x n = f n + Δ s 2 ( K n 0 x 0 + 2 K n 1 x 1 + ⋯ + 2 K n , n − 1 x n − 1 + K n n x n ) {\displaystyle {\begin}x_{0}&=f_{0}\\\x_{1}+{1}{1}+{2}}:\{10}x_{0}+K_{11}x_{1}\오른쪽) \\x_{2}&=f_{2}+{\Delta s \over{2}}\좌측(K_{20}x_{0}+2K_{21}x_{1}+K_{22}x_{2}\오른쪽) \\&\vdots \\x_{n}&=f_{n}+{\Delta s \over {2}}\left(K_{n0}x_{0}+2K_{n1}x_{1}+\cdots +2K_{n,n-1}x_{n-1}+K_{nn}x_{n}\right)\end{aligned}}} 이는 행렬 방정식과 동일하다. x = f + M x ⟹ x = ( I − M ) − 1 f {\displaystyle x=f+Mx\implies x=(I-M)^{-1}f} 품행이 좋은 알맹이의 경우 사다리꼴 규칙이 잘 작동하는 경향이 있다.
응용 프로그램: 파멸 이론 볼테라 적분 방정식이 나타나는 한 분야는 보험수리적 과학의 부실 위험 연구인 파멸 이론 이다. 목표 파멸 . u 초기 , u는 . 파괴 이론의 고전적 모델 에서 순현금 포지션 X t {\ displaystyle X_{t} c displaystyle c} , ξ {\displaystyle \xi} .
X t = u + c t − ∑ i = 1 N t ξ i , t ≥ 0 {\displaystyle X_{t}=u+ct-\sum _{i=1}^{{N_{t}\xi _{i}\quad t\geq 0} 여기서 N t {\ displaystyle N_{t} λ {\displaystyle \lambda } 포아송 과정 이다. [3] ψ ( u ) = λ c ∫ u ∞ S ( x ) d x + λ c ∫ 0 u ψ ( u − x ) S ( x ) d x {\displaystyle \psi(u)={\lambda \over{c}\int_{0}dx+{\lambda \int_{0}^{u}\psi(x)dx} 여기서 S ⋅ {\displaystyle (\cdot )} 생존 함수 다
참고 항목 참조 ^ Polyanin, Andrei D.; Manzhirov, Alexander V. (2008). Handbook of Integral Equations (2nd ed.). Boca Raton, FL: Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-1584885078 ^ Brunner, Hermann (2017). Volterra Integral Equations: An Introduction to Theory and Applications . Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 978-1107098725 ^ "Lecture Notes on Risk Theory" (PDF) . School of Mathematics, Statistics and Actuarial Science . University of Kent. February 20, 2010. pp. 17–22. 추가 읽기 Traian Lalescu, 소개 ab la theri des équation inégrales. Avec un preéface de EE. 파리 피카르 : A. 헤르만 외 필스 , 1912년VII + 152 페이지 "Volterra equation" , Encyclopedia of Mathematics EMS Press , 2001 [1994]Weisstein, Eric W. "Volterra Integral Equation of the First Kind" . MathWorld Weisstein, Eric W. "Volterra Integral Equation of the Second Kind" . MathWorld 적분 방정식: EqWorld의 정확한 솔루션 :수학 방정식의 세계. Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Section 19.2. Volterra Equations" . Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8 외부 링크 
K 
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\Delta x \over {2}}\left[f(x_{0})+2\sum _{i=1}^{n-1}f(x_{i})+f(x_{n})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/845e4e4e9b722a5af6a86fe11da8c98b593f5e46)
![{\displaystyle \int _{a}^{t}K(t,s)x(s)ds\approx {\Delta s \over {2}}\left[K(t,s_{0})x(s_{0})+2K(t,s_{1})x(s_{1})+\cdots +2K(t,s_{n-1})x(s_{n-1})+K(t,s_{n})x(s_{n})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/092c6c963f9a396cb56c59e8426f2f5b7f25c590)
![{\displaystyle \psi (u)=\mathbb {P} [\tau (u)<\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3baa0c1e6f98a0e39a0b572132d401f7546c47c)
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