주코프스키 변환

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응용 수학에서, 니콜라이 주코프스키(1910년 출판)의 이름을 딴 주코프스키 변환은 역사적으로 에어포일 설계의 일부 원리를 이해하기 위해 사용된 정합 지도다.^[1]

변신은

${\displaystyle z=\zeta +{\frac {1}{\zeta }},}$

여기서 $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle i}$ y ${\displaystyle z=x+iy}$은(는) 새 공간의 복합 변수, $\zeta {\displaystyle }$= ${\displaystyle \chi }$+ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \zeta =\chi +i\eta }$은(는) 원래 공간의 복합 변수다$$.이 변형은 주코프스키 변환, 주코프스키 변환, 주코프스키 변환, 그리고 다른 변형으로도 불린다.

공기역학에서, 이 변환은 Joukowsky Airfoils로 알려진 한 부류의 에어포일 주위의 2차원 전위 흐름을 해결하기 위해 사용된다.$Joukowsky{\displaystyle }$ 에어포일은 \ ${\displaystyle \zeta}$ - 면의$$ $$에 Joukowsky 변환을 적용하여 복합 평면(z {\$displaysty$ z$}$ -plane$$)에서 생성된다.원의 중심 좌표는 변수가 되며, 이를 변화시키면 결과적으로 발생하는 에어포일의 형상이 수정된다.원은 점 $\zeta {\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \zeta =-1}($파생상품이 0인 경우)을 감싸고 $점{\displaystyle }$ ${\displaystyle =\mathrm{}}$= 1.$${\$displaystyle \zeta$=1$.}$ 허용 가능한 중심$$ 위치 ${\displaystyle {\mu }_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$+ i ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\$ \mu $_{x}i\y}}}$에 대해 원의 반지름을 변화시켜 달성할$$ 수 있다.

Joukowsky Airfoils는 후미진 가장자리에 정지가 있다.밀접하게 연관된 정합 지도인 Karrman-Trefftz 변환은 후행 에지 각도를 제어하여 훨씬 더 넓은 등급의 Karrman-Trefftz 에어포일을 생성한다.후행 에지 각도가 0으로 지정되면 Karrman-Treffz 변환은 Joukowsky 변환으로 감소한다.

일반 주코프스키 변환

모든 복잡한 숫자 $\zeta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \zeta }$을(를) $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}($으)로$$ 변환하는 Joukowsky 변환은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy=\zeta +{\frac {1}{\zeta }}\\&=\chi +i\eta +{\frac {1}{\chi +i\eta }}\\[2pt]&=\chi +i\eta +{\frac {\chi -i\eta }{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\\[2pt]&={\frac {\chi \left(\chi ^{2}+\eta ^{2}+1\right)}}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}+i{\frac {\eta \left(\chi ^{2}+\eta ^{2}-1\right)}}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}.\end{정렬}}}$

따라서 실제(${\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$\})$ 및 가상(${\displaystyle }$ ${\displaystyle$ y$\})$ 구성 요소는 다음과 같다.

${\displaystyle {\displaysty}x&={\fract {\chi \left(\chi ^{2}+\eta ^{2}+1\right)}}{\chi ^{2}+\eta ^{2}},\[2pt]y&={\frac {\eta \left(\chi ^{2}+\eta ^{2}-1\right)}}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}.\end{정렬}}}$

샘플 Joukowsky 에어포일

단위 원의 모든 복잡한 숫자의 변환은 특별한 경우다.

${\displaystyle \jeta ={\sqrt {\chi ^{2}+\eta ^{2}=1,\cHB {\text{which }\cHI ^{2}+\eta ^{2}=1.}$

따라서 실제 구성 요소는 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle \chi \frac{}{}}$ (${\displaystyle \frac{1}{}}$+${\displaystyle \frac{1}{}}$) ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$= 2 ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle x={\frac {\chi (1+1)}{1$}{1$}}}=2\chi$}}이$$(${\displaystyle \frac{\mathrm{가}}{}}$) 되면 가상 성분이 y${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{\mathrm{\eta }}{}}$(1${\displaystyle \frac{}{}}$-${\displaystyle \frac{}{}}$1 )${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ y$={\fract {\eta (1-1)}{$1}:{1$}=0}$이(가$)$

따라서 복잡한 단위 원은 -2에서 +2까지의 실제 번호 선의 평평한 판에 매핑된다.

다른 원으로부터의 변환은 광범위한 에어포일 모양을 만든다.

Joukowsky 에어포일의 속도장 및 순환

원형 실린더 주위의 잠재적 흐름에 대한 해결책은 분석적이며 잘 알려져 있다.균일한 흐름, 더블트, 소용돌이의 중첩이다.

복합결합속도$$ $W{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ =$u{\displaystyle }$${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ ${\displaystyle x_{}}$- ${\displaystyle i{\stackrel{}{}u}_{}}$ ~ y${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle$ ${\widetilde{W}={\widetilde{u}_{x}-i$$$${\widetilde$${u}}}}}}}.$

${\displaystyle {\widetilde {W}}=V_{\infty }e^{-i\alpha }+{\frac {i\Gamma }{2\pi (\zeta -\mu )}}-{\frac {V_{\infty }R^{2}e^{i\alpha }}{(\zeta -\mu )^{2}}},}$

어디에

${\displaystyle \mu }$= ${\displaystyle {\mu }_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\$mu $=\mu _{x$}+$i\mu$_{y}}}는$$ 원의 중심부의 복잡한 좌표다.

${\displaystyle V_{}}$ $∞{\$은(는) 유체의 가장 자유로운 속도,

${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha}$은(는) 프리스트림 흐름에 대한 에어포일의 공격 각도,

${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$은$($는) 원의$$ $반지름$으로${\displaystyle ,\sqrt{{}^{}}}$R${\displaystyle }$= (${\displaystyle \sqrt{{1_{}}^{}}}$ -${\displaystyle \sqrt{{{}_{}}^{}}}$x ) 2 +$$ ${\displaystyle \sqrt{{\mathrm{}}_{}^{}}}$ {\$displaystyle$R={\$sqrt {\\\\(1-\mu _{x}\오른쪽)^{2}+\mu _{y}2}},$ ,

${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$ ${\displaystyle \Gamma }$은(는) 순환이며, 이 경우 다음과 같이 감소하는 Kutta 조건을 사용하여 발견된다.

${\displaystyle \Gamma =4\pi V_{\nft}{R\sin \left(\alpha +\sin ^{-1}{\frac {\mu _{y}}}\ri}\right).}$

$z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$ - 평면의$$ 에어포일 주위에$$ 있는 복잡한 $속도{\displaystyle }$ W ${\displaystyle W}$은(는) 등각 매핑 규칙 및 Joukowsky 변환 사용 규칙에 따른다.

${\displaystyle W={\frac {\widetilde{W}{\frac {dz}{d\zeta }}}}={\frac {widetilde{W}{1-{\frac {1}{\zeta^}}}}}}}}}.}$

Here ${\displaystyle W=u_{x}-iu_{y},}$ with ${\displaystyle u_{x}}$ and ${\displaystyle u_{y}}$ the velocity components in the ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$ directions respectively (${\displaystyle z=x+iy,}$ with ${\displaystyle x}$$및{\displaystyle }$ y ${\displaystyle y}$ 실제$$ 값.이 속도에서, 스팬 단위당 압력 계수 및 리프트 계수 같은 흐름의 다른 관심 특성을 계산할 수 있다.

Joukowsky Airfoil은 후행 가장자리에 끝이 있다.

그 변신은 러시아의 과학자 니콜라이 주콥스키의 이름을 따서 지어졌다.그의 이름은 역사적으로 여러 가지 방법으로 로마자화되어 왔으며, 따라서 변형 철자의 변화도 있었다.

카르만-트레프츠 변환

카르만-트레프츠 변환은 조코프스키 변환과 밀접한 관련이 있는 정합 지도다.While a Joukowsky airfoil has a cusped trailing edge, a Kármán–Trefftz airfoil—which is the result of the transform of a circle in the ${\displaystyle \zeta }$-plane to the physical ${\displaystyle z}$-plane, analogue to the definition of the Joukowsky airfoil—has a non-zero angle at the trailing edge, between the upper and lower에어포일 표면따라서 Karrman-Trefftz 변환에는 추가 파라미터가 필요하다: 후행 에지 각도 $\alpha {\displaystyle .}$ ${\displaystyle \alpha.}$ 이 변환은$$^[2][3]

${\displaystyle z=nb{\frac {(\zeta +b)^{n}+(\zeta -b)^{n}{n}{{n}}{n}}}$

(A)

여기서 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$은(는${\displaystyle )}$ ${\displaystyle d}$ z / d ${\displaystyle \mathrm{\zeta }}$= 0 ${\displaystyle dz/d\zeta =0}$및 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 2보다 약간 작은 위치를 결정하는 실제 상수다$$.후행 에지에서 상부 및 하부 에어포일 표면의 접선 사이의$$ 각도 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$은(는) n ${\displaystyle n}$과^[2](와) 관련된다.

${\displaystyle \cHB =2\pi -n\pi ,\pi n=2-{\frac {\pi }.}$

속도 필드를 계산하는 데 필요한 $파생{\displaystyle d}$ ${\displaystyle z}$ / ${\displaystyle d}$ $\$ {\$dplaystyle dz/d$\zeta$$$}$은(는) 다음과 같다.

${\dplaystyle {\frac {dz}{d\zeta }}}={\frac {4n^{2}}:{\zeta ^{2}-1}{\frac {1+{\frac{1}{\zeta }}\오른쪽)^{n}\왼쪽(1-{\frac {1}{\\zeta }}\오른쪽)^{n}}{{n}}\왼쪽(1+{\frac {1}{\zeta }}\오른쪽)^{n}-\왼쪽(1-{\fract {1}{\zeta }\오른쪽)^{n}\right]^{2}}.}$

배경

첫째, 위에 제시된 바와 같이 Joukowsky 변환에서 2를 더하고 빼십시오.

${\displaystyle {\begin{aligned}z+2&=\zeta +2+{\frac {1}{\zeta }}={\frac {1}{\zeta }}(\zeta +1)^{2},\\[3pt]z-2&=\zeta -2+{\frac {1}{\zeta }}={\frac {1}{\zeta }}(\zeta -1)^{2}.\end{정렬}}}$

왼손과 오른손을 나누면 힘이 난다.

${\displaystyle {\frac {z-2}{z+2}}=\좌측data\frac {\zeta -1}{\zeta +1}\우측)^{2}}$

우측에는 $\zeta {\displaystyle }$=${\displaystyle }$+ 1.에 가까운 후미 가장자리에서 적용되는 전위 흐름 이론으로부터의 간단한 2차 동력 법칙이 (요소로써) 들어 있다${\displaystyle \mathrm{.}}$ $(\\displaystyle \zeta =+1.}$정렬 매핑 이론에서$$ 이 2차 지도는 $\zeta {\displaystyle }$ ${\displaysty \zeta}$ -공간의$$ 반평면을 반 무한궤도 흐름으로 바꾸는 것으로 알려져 있다.레이트 라인또한, 2보다 작은 힘의 값은 유한 각도를 중심으로 흐르게 된다.그래서 주코프스키 변환의 힘을 2보다 약간 작은 값으로 변경함으로써 그 결과는 코프스 대신 유한 각이 된다.이전 방정식에서$$ 2를 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$}(으$)로 바꾸면^[2]

${\displaystyle {\frac {z-n}{z+n}=\leftback\frac {\zeta -1}{\zeta +1}\right)^{n}}$

카르만-트레프츠 변형이야$z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$에 대한 해결은 방정식 A의 형태로 제공된다$$.

대칭 주코프스키 에어포일

1943년 Hsue-sen Tsien은 $매개변수{\displaystyle }$$\$ {\$displaystyle$ \$epsilon }$과 경사 $\alpha {\displaystyle }${\$displaystyle \alpha }$에 따라 달라지는 대칭 공포로 {\$displaystyle \$alpha }의$$ 반지름 원 변환을 발표했다$.$^[4]

${\displaystyle z=e^{i\nfs }\왼쪽(\zeta -\epsilon +{1}{\frac {1}{\zeta -\epsilon }}}+{2\epsilon ^{2}}:{a+\epsilon }\오른쪽).}$

매개변수 $ϵ{\displaystyle }$ ${\displaystyle \epsilon }$은 0일 때는 평판을, 무한일 때는 원을 생성하므로$$ 에어포일의 두께에 해당한다.

메모들

참조

외부 링크

• 주코스키, NASA 애플릿 변신
• Joukowsky Transform Interactive WebApp