정점(가수성)

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수학에서, 오래된 텍스트에서 때때로 spinode라고 불리는 cusple은 이동 지점이 방향을 반전시켜야 하는 곡선의 점이다. 전형적인 예가 그림에 제시되어 있다. 따라서 정점은 곡선의 단수 점의 한 유형이다.

분석적 모수 방정식에 의해 정의된 평면 곡선의 경우

${\displaystyle {\regated}x&=f(t)\y&=g(t),\end{aged}}}$

cusp는 f와 g의 파생상품이 모두 0이며, 방향파생물은 접선방향으로 기호를 변경하는 지점이다(접선방향은 경사 림 ${\displaystyle 방향({}^{}}$ ${\displaystyle \prime }$ (${\displaystyle t}$ )${\displaystyle }$/ f ${\displaystyle {\prime }^{}}$(${\displaystyle t}$)${\displaystyle \lim(g')/f'(t)}).$ Cusps는 둘 이상의 값을 포함하는 자기 절개 점과는 대조적으로 매개변수 t의 값을 하나만 포함한다는 점에서 국소 특이점이다. 어떤 맥락에서 방향파생상품의 조건은 생략될 수 있지만, 이 경우 특이점은 정규점처럼 보일 수 있다.

암묵적 방정식으로 정의된 원곡선의 경우

$F(x,y)=0,}$

부드러운 cusps는 Taylor 확장 F의 최저도 조건이 선형 다항식의 힘인 지점이다. 그러나 이 특성을 가진 모든 단수점이 cusps는 아니다. Puiseux 시리즈 이론은 F가 분석 함수(예: 다항식)인 경우, 좌표의 선형 변경은 다음과 같이 첨부의 근방에서 곡선을 파라메트리할 수 있게 한다는 것을 암시한다.

${\displaystyle {\begin}x&=at^{m}\y&=S(t),\end{aigned}}}$

여기서 a는 실수, m은 양수 짝수 정수, S(t)는 m보다 큰 순서 k(최저도의 0이 아닌 항의 도)의 권력 계열이다. 숫자 m은 때때로 첨부의 순서 또는 다중성이라고 불리며, 최저 F의 0이 아닌 부분의 정도와 같다. 어떤 맥락에서, 서류의 정의는 순서가 2인 경우, 즉 m = 2인 경우로 제한된다.

평면 곡선과 암묵적으로 정의된 곡선에 대한 정의는 르네 톰과 블라디미르 아놀드가 서로 다른 함수에 의해 정의한 곡선에 대해 일반화했다. 즉 곡선은 위 정의된 큐스 중 하나에 곡선을 매핑하는 주변 공간에 점근위의 차이점형성이 있을 경우 한 지점에 정점이 있다.

미분 기하학에서의 분류

x와 y가 실제 숫자인 f(x, y)와 같은 두 변수의 매끄러운 실제 값 함수를 고려하십시오. 그래서 f는 비행기에서 선까지 함수다. 그러한 모든 매끄러운 기능의 공간은 평면의 차이점 형태와 선의 차이점 형태, 즉 선원과 표적의 좌표의 차이점 형태 변화에 의해 작용한다. 이 동작은 전체 함수 공간을 동등성 등급, 즉 그룹 동작의 궤도로 나눈다.

그러한 동등성 등급의 한 계열은 A로_k^± 표시되며, 여기서 k는 음이 아닌 정수다. 이 표기법은 V에 의해 도입되었다. 나. 아놀드. 함수 f는 x² ± y의^k+1 궤도에 놓여 있으면 A형이라고_k^± 한다. 즉, f를 이러한 형태 중 하나로 가져가는 선원과 표적에 다른 형태의 좌표 변화가 있다. 이러한 간단한 형태 x² ± y는^k+1 A-성격_k^± 형식에 대해 정상적인 형태를 제공한다고 한다. 선원의 좌표(x, y) → (x, -y)의 차이점 변화가 x² + y에서²ⁿ⁺¹ x² - y를²ⁿ⁺¹ 취하므로 A는_2n⁺ A와_2n⁻ 동일하다는 점에 유의하십시오. 그래서_2n^± 우리는 A 표기법에서 ±를 떨어뜨릴 수 있다.

그런 다음, cusps는 A_2n 동등성 계급을 대표하는 0-수준 집합에 의해 주어지며, 여기서 n n 1은 정수다.^{[citation needed]}

예

• 일반적인 cusple은 x² - y³ = 0으로 주어진다. 즉, A형식의₂ 0-수준 집합이 주어진다. f(x, y)를 x와 y의 매끄러운 함수로 하고 단순성을 위해 f(0, 0) = 0으로 가정한다. 그러면 f의 (0, 0) 형식은 다음과 같이 특징 지을₂ 수 있다.

1. 퇴행성 이차적 부분을 갖는 것, 즉 F의 테일러 시리즈에서 2차적 항이 완벽한 정사각형을 이루고, 여기서 L(x, y)²은 x와 y로 선형이고,
2. L(x, y)은 테일러 시리즈 f(x, y)에서 입방 항을 분할하지 않는다.

• rhamphoid cusp (그리스어로 부리 같은 뜻에서 유래$)$는 원래 두 가지 가지가 접선의 같은 면에 있는 cusp를 나타내며, 등식 ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ $2{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 5${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle$ x$^{2}-x$^{4}-$y^{5=$0.$}}$ 이러한 특이점이 A형식의₄ 특이점인$$ $방정식{\displaystyle {}^{}}$ x${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ - y${\displaystyle {}^{}5}$ = 0${\displaystyle ,}${\$displaystyle$ x$^{2}-y^{5}=0,}$의 첨부와 동일한 미분류에 있으므로$$, 이 용어는 그러한 모든 특이점으로 확장되었다. 이 쿠스프는 가성비와 파도 전선과 같이 일반적이지 않다. 암포이드 정점과 일반 정점은 비차형이다. 파라메트릭 형식은 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {}^{}y}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 입니다$.$

타입 A-성격의₄ 경우, 우리는 f가 퇴화된 2차적 부분(이것은 타입 A를_≥2 준다), L은 입방 항(이것은 타입 A를_≥3 준다), 다른 차별성 조건(제공 타입_≥4 A를 준다), 그리고 최종 비분할성 조건(정확히 A를₄ 준다)을 나눈다.

이러한 추가 구분 조건의 출처를 확인하려면 f가 퇴보 2차적 부분 L을² 가지고 있고 L이 입방 항을 나눈다고 가정한다. 이어서² 3번째 순서인 f의 taylor 시리즈는 L ± LQ에 의해 주어지며, 여기서 Q는 x와 y로 2차이다. 우리는² L ± LQ = (L ± qQ)² – qQ를⁴ 보여주는 광장을 완성할 수 있다. 이제₁ 우리는 (L ± ½Q)² - ¼Q⁴ → x₁² + P가₁ x와₁ y에서₁ 사분위수 (4 순서)가 되도록 변수의 차이점 변화를 만들 수 있다. A타입에_≥4 대한 불분명한 조건은 x가₁ P를₁ 나눈다는 것이다. x가₁ P를₁ 나누지 않으면, 우리는 정확히₃ A형(여기서 0-레벨 세트는 tacnode이다.)을 갖는다. x가₁ p를₁ 나누면 x₁² + P의₁ 제곱을 완성하고 좌표를 변경하여 x + P가₂ 오분수(주문 5)인₂ x와₂² y가₂ 되도록₂ 한다. 만약₂ x가₂ P를 나누지 않는다면, 우리는₄ 정확히 A 타입을 가지고 있다. 즉, 0-레벨 세트는 암포이드 쿠스트가 될 것이다.

적용들

쿠스는 3차원 유클리드 공간에서 평면에 부드러운 곡선을 투영할 때 자연적으로 나타난다. 일반적으로 그러한 투영법은 특이점이 자기 교차점과 일반 쿠스프인 곡선이다. 곡선의 서로 다른 두 점이 동일한 투영법을 가질 때 자체 교차점이 나타난다. 일반 쿠스는 곡선에 대한 접선이 투영 방향과 평행할 때 나타난다(즉 접선이 단일 점에 투영될 때). 여러 현상이 동시에 발생할 때 더 복잡한 특이점이 발생한다. 예를 들어, rhamphoid cusps는 접선이 투영 방향과 평행인 변곡점(및 굴절점)에 대해 발생한다.

많은 경우에, 그리고 일반적으로 컴퓨터 비전과 컴퓨터 그래픽에서 투영되는 곡선은 투영의 (매끄러운) 공간적 객체에 대한 제한의 임계점들의 곡선이다. 따라서 중단은 객체(비전) 영상 또는 그 그림자(컴퓨터 그래픽) 영상 등고선의 특이점으로 나타난다.

가성비와 파도 전선은 실제 세계에서 볼 수 있는 쿠스가 있는 곡선의 다른 예들이다.

참고 항목

• 쿠스프 대재앙
• 흉부외과

참조

• Bruce, J. W.; Giblin, Peter (1984). Curves and Singularities. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-42999-3.
• Porteous, Ian (1994). Geometric Differentiation. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-39063-7.

외부 링크

• 커피잔에서 코스모스를 본 물리학자들