카르거 알고리즘

컴퓨터 과학과 그래프 이론에서, 카거의 알고리즘은 연결된 그래프의 최소 컷을 계산하기 위한 무작위화된 알고리즘이다.데이비드 카거에 의해 발명되어 1993년에 처음 출판되었다.^[1]

알고리즘의 개념은 엣지$({\displaystyle u}$, v${\displaystyle }$) ${\displaystyle (u,v)}$의 수축 개념을 비방향 $그래프{\displaystyle }$ G${\displaystyle }$= ${\displaystyle (V}$, ${\displaystyle E}$) ${\displaystyle G=(V,E)}$에 기초하고 있다$.$ 비공식적으로 edge의 수축은 노드 $u{\displaystyle }$ ${\$displaysty u}과 v ${\displaystytyle$ v$}$을 하나로 병합하여$$ 총수를 줄인다.그래프의 1개 노드.$u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$ $또는$ v ${\displaystyle v}$을(를) 연결하는 다른 모든 가장자리는 병합된 노드에 "재연결"되어$$ 사실상 다중 그래프를 생성한다.Karger의 기본 알고리즘은 무작위로 선택한 가장자리를 두 개의 노드만 남을 때까지 반복적으로 수축한다. 이 노드는 원래 그래프의 컷을 나타낸다.이 기본 알고리즘을 충분한 횟수로 반복함으로써 높은 확률로 최소 절단을 찾을 수 있다.

글로벌 최소 삭감 문제

A cut ${\displaystyle (S,T)}$ in an undirected graph ${\displaystyle G=(V,E)}$ is a partition of the vertices ${\displaystyle V}$ into two non-empty, disjoint sets ${\displaystyle S\cup T=V}$. The cutset of a cut consists of the edges ${\displaystyle \{\,$uv$\in E\colon u\in$ S,$v\in T\\}$ 두 부분 사이에 있는$$ $uv$\in u.가중치가 없는 그래프에서 절단된 부분의 크기(또는 무게)는 절단 세트의 카디널리티, 즉 두 부분 사이의 가장자리 수입니다.

$\displaystyle w(S,T)= \{\,uv\in E\colon u\in S,v\in T\,\} \,}$

$S{\displaystyle }$ {\$displaystyle S}$에 속하든 T ${\displaystyle T}$에 속하든 각 꼭지점에 대해 2 ${\displaystyle V^{}}$ $displaystyle$ 2$^{$V$}}}$ 선택 방법이$$ 있지만$,$ $이{\displaystyle }$ 중 두 가지 선택은 S ${\displaystyle$ S$}$ 또는$$ $T{\displaystyle }$ ${\displaystystyte}$이 비어 있으며 컷을 발생시키지 않는다.나머지 선택 사항 중 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$과 T ${\displaystyle T}$의 역할을 스와핑해도 컷이 변경되지 않으므로$$ 각 컷은 두 ${\displaystyle {번}^{}}$ 계수되므로${\displaystyle {}^{}}$V${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1}$- 1 {\$displaystyle 2$^{ V $-1}-1}$ 구별되는$$ 컷이 $있다{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$.최소 절단 문제는 이 절단 중에서 가장 작은 크기의 절단면을 찾는 것이다.

${\displaystyle 양}$의 에지 가중치가 w${\displaystyle }$: E${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\$인 가중 그래프의 경우 절단 가중치는$$ 각 파트의 꼭지점 사이의 에지 가중치 합이다.

$w.\displaystyle w(S,T)=\sum _{uv\in E\colon u\in S,v\in T}w(uv)\...}$

$w{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle w=1}$에 대한 가중치가 없는 정의에 동의함$.$

컷은 특정 꼭지점 쌍에 ${\displaystyle }$ "s ${\displaystyle$ s$}$- ${\displaystyle }$ ${\displaystyle$ t$}$ 컷과 $구별$하기 위해 "global cut"이라고 부르기도 하는데, 이 컷은 ${\displaystyle s}$ ${\$$displaystyle s\$$in S}$ 및 $t$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaysty$}에 대한 추가 요건이 있다$.$ 모든 컷은 $s{\displaystyle }$ ${\$$displaystate이다$$.$$yle t}$ cut for some ${\displaystyle s,t\in V}$. Thus, the minimum cut problem can be solved in polynomial time by iterating over all choices of ${\displaystyle s,t\in V}$ and solving the resulting minimum ${\displaystyle s}$-${\displaystyle t}$ cut problem using the max-flow min-cut theorem and a po푸시-릴라벨 알고리즘과 같은 최대 흐름을 위한 리노멀 시간 알고리즘은 이 접근방식이 최적이지는 않지만.글로벌 최소 절단 문제에 대한 더 나은 결정론적 알고리즘에는 $O{\displaystyle (m}$ ${\displaystyle n}$+ n ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle \log }$ $){\displaystyle O(mn+n^{2$)의 실행 시간이 있는 Stoer-Wagner 알고리즘이 포함된다.$}}\log$ n$)}$^[2].

수축 알고리즘

카거 알고리즘의 근본적인 작동은 가장자리 수축의 한 형태다.The result of contracting the edge ${\displaystyle e=\{u,v\}}$ is new node ${\displaystyle uv}$. Every edge ${\displaystyle \{w,u\}}$ or ${\displaystyle \{w,v\}}$ for ${\displaystyle w\notin \{u,v\}}$ to the endpoints of the contracted edge is replaced by an edge $$${\displaystyle 새}$ 노드에${\displaystyle }${ ${\displaystyle w}$ ,${\displaystyle u}$ v$$} {\$displaystyle \{w,$uv\}}.마지막으로 모든 인시던트 가장자리가 있는$$ 계약 노드 u ${\displaystyle u}$ 및$$ $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$이(가) 제거된다.특히 결과 그래프에는 자체 루프가 포함되지 않는다.가장자리 $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$의 수축 $결과$는 G /${\displaystyle e}$ ${\displaystyle G/e}$로 표시된다$.$

수축 알고리즘은 그래프에서 무작위 가장자리를 반복적으로 수축하는데, 이때 단 하나의 절단이 있을 뿐이다.

알고리즘의 핵심 아이디어는 최소 절삭 에지가 보통 최소 절삭되지 않은 에지에 의해 훨씬 수적으로 우세하기 때문에 최소 절삭 에지가 무작위로 선택되어 수축으로 손실될 가능성이 훨씬 더 높다는 것이다.이후, 최소 절삭 에지는 모든 가장자리 수축에서 살아남을 수 있으며, 알고리즘은 최소 절삭 에지를 정확하게 식별할 수 있다.

절차 계약(${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle V}$, E${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ G$=(V,E)}):$ $$> 2 ${\displaystyle$ $V$$>2}$이(가$)$ 임의 G ${\displaystyle \leftarrow }$ ${\displaystyle G}$/ e ${\displaystyle G\leftarrow G/e}$에서 균일하게$$ $e{\displaystyle }$∈ ${\displaystyle E}$ ${\display G}$을($으{\displaystyle }$)로 반환함

그래프를 인접 리스트나 인접 매트릭스를 사용하여 표시할 때, $데이터{\displaystyle }$ 구조에 대한 선형적인 수의 업데이트로 단일 에지 수축 연산을 실행할 수 있으며, 총 실행 시간은 O${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$V ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$) ${\displaystyle O(V ^{2}).$ 또는 이 절차는 Kruskal의 알고리의 실행으로 볼 수 있다$.$thm ${\displaystyle {}_{}}$ 순열 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$에 따라$$ 가장자리가 $w{\displaystyle }$( ${\displaystyle e_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \pi }$( ${\displaystyle i}$) ${\displaystyle w(e_{i}=\pi (i)}}}$을(를$)$ 갖는 그래프에서 최소 스패닝 트리를 구성하는 경우 이 트리의 가장 무거운 가장자리를 제거하면 절단을 설명하는 두 구성 요소가 된다.이런 식으로 수축 절차는 $시간{\displaystyle }$ O${\displaystyle }$(${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle }$ $){\displaystyle$ O $($E$\log$E$)}}$에 있는 크러스칼의 알고리즘처럼 구현될 수 있다$.$

가장 잘 알려진 구현에서는 $각각{\displaystyle }$ O${\displaystyle }$( ${\displaystyle E}$) ${\$$displaystyle O(E$ $)}$ 시간$$ 및 공간 또는 $O{\displaystyle }$( E ${\displaystyle 로그}$⁡ ${\displaystyle E}$ )${\displaystyle O(E \log$ E $)}$ 시간$$ 및 O ${\displaystyle (V}$ $)$ 공간을$$ 사용한다$.$^[1]

수축 알고리즘의 성공 확률

그래프에서 G=n과(V, E){G=(V,E)\displaystyle})V{\displaystylen= V}vertices, 그 수축 알고리즘 polynomially 작은 확률(n2)과 1{\displaystyle{\binom{n}{2}}^{)}−}. 모든 그래프 2n− 1− 1{\displaystyle 2^{n-1}-1}amo cuts,[3]고 있는 최소 상처를 반환합니다.쇼핑최대${\displaystyle }$(${\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{2}{}}$) ${\$ 최소 절단일 수 있다$$.따라서 이 알고리즘의 성공 확률은 절단을 무작위로 선택할 확률보다 훨씬 우수하며, 이는 최대${\displaystyle }$(${\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{2}{}}$)${\displaystyle }$/${\displaystyle }$(${\displaystyle {2n}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$- ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle {\tbinom{n}{2}}/(2^{n-1-1)}$이다$.$

예를 들어, $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 꼭지점에$$ 대한 사이클 그래프는 정확히${\displaystyle }$(${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{n}}{}}$2 )$${\$displaystyle${\$binom {n}{2$}}개의$$ 최소 절단을 가지며, 2개의 가장자리를 선택하는 모든 선택에서 주어진다.수축 절차는 이것들 각각을 동일한 확률로 찾는다.

$성공{\displaystyle }$ 확률에서 하한을 추가로 설정하려면 C ${\displaystyle$ C$}$이(가) k $크기{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$의 특정 최소 절단 가장자리를 나타내도록 하십시오$$$.$수축 알고리즘은 $임의$의 가장자리가 C ${\displaystyle C}$의 절단 세트에 속하지 않을$$ $경우{\displaystyle }$ C$$${\displaystyle C}$을(를) 반환한다$.$ 특히 첫 번째 가장자리 수축은 $확률{\displaystyle \mathrm{}}$1 - ${\displaystyle k}$ /${\displaystyle E}${\$displaystyle 1-k/$E$}$과$($를)에서 $발생$한다$.$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyl$)의 최소도$e G}$이(가) $적어도{\displaystyle }$k {\$displaystyle k}$이므로($$그렇지 않으면 두 파티션 중 하나가 최소도 정점만을 포함하는 경우 더 작은 절단을 유도할 수 있음) ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k\mathrm{}}$/ 2 ${\displaystyle$E$\geq nk/2$ 따라서 수축 알고리즘이 $}$에서 에지를 선택할 확률은 ${\displaystyty$c}이다$$.

${\displaystyle {\frac {k}{{nk/2}}={\frac {2}{n}}{n}}}.}$

The probability ${\displaystyle p_{n}}$ that the contraction algorithm on an ${\displaystyle n}$-vertex graph avoids ${\displaystyle C}$ satisfies the recurrence ${\displaystyle p_{n}\geq \left(1-{\frac {2}{n}}\right)p_{n-1}}$, with ${\displaystyle p_{2}=$$\{\},$ $확장$ 가능

${\displaystyle p_{n}\geq \prod _{i=0}^{n-3}{\Bigl (}1-{\frac {2}{n-i}}{\Bigr )}=\prod _{i=0}^{n-3}{\frac {n-i-2}{n-i}}={\frac {n-2}{n}}\cdot {\frac {n-3}{n-1}}\cdot {\frac {n-4}{n-2}}\cdots {\frac {3}{5}}\cdot {\frac {2}{4}}\cdot {\frac {1}{3}}={\binom {n}{2}}^{-1}\,.}$

수축 알고리즘 반복

수축 알고리즘 $T{\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{2}{}}$ )${\displaystyle \ln }$ n ${\displaystyle T={\binom {n}{2}}\lnn}$을(를) 독립 랜덤 선택으로 반복하고 가장 작은 컷을 반환하면 최소 컷을 찾지 못할 확률은 다음과 같다.

${\displaystyle \left[1-{\binom {n}{2}}^{-1}\오른쪽]^{T}\leq {1}{e^{\lnn}={\frac {1}{n}\,}$

가장자리가 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$개이고$$ $가장자리$가$$m {\$displaystyle$ m$}$개인 그래프에 대한 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$ 반복의$$ 총 실행 시간은 $O{\displaystyle (\mathrm{Tm}}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle O({}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$) ${\displaystysty O(Tm)=O(n^{2}m\log$ n$)$이다$.$

카거-슈타인 알고리즘

데이비드 카거와 클리포드 스타인에 의한 카거 알고리즘의 연장은 규모 개선의 순서를 달성한다.^[4]

그래프가 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$정점에$$ 도달할 때까지 수축 절차를 수행하는 것이 기본 생각이다.

procedure contract(${\displaystyle G=(V,E)}$, ${\displaystyle t}$):    while ${\displaystyle  V >t}$        choose ${\displaystyle e\in E}$ uniformly at random        ${\displaystyle G\leftarrow G/e}$ return ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {이}_{}}$ 수축 절차가 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ $-vertex$$$ 그래프에서$$ 특정 절단 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$을(를) 피할$$ 확률은 다음과 같다$.$

${\displaystyle p_{n,t}\geq \prod _{i=0}^{n-t-1}{\Bigl (}1-{n-i}}{\Bigr )}={\binom {t}{2}}:{\bigg /}{n}:{n}2}},\,\,},},\,}$

이 식은 대략 t ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$/ n ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ t$^{2}/n^{2$}}이며$$ $t{\displaystyle }$= ${\displaystyle n\sqrt{\mathrm{}}}$/ 2 ${\$ 주위에$$ 1 ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\$}2$\}\}.$ 특히, $C{\displaystyle }$ ${\displaystystyle C}$의 에지가 수축될$$ 확률은 끝을 향해 증가한다.이것은 일정한 수의 수축 단계를 거쳐 느린 알고리즘으로 전환하려는 생각을 자극한다.

procedure fastmincut(${\displaystyle G=(V,E)}$):    if ${\displaystyle  V \leq 6}$:        return mincut(${\displaystyle V}$)    else:        ${\displaystyle t\leftarrow \lceil 1+ V /{\sqrt {2}}\rceil }$ ${\displaystyle G_{1}\leftarrow }$ contract(${\displaystyle G}$, ${\displaystyle t}$)        ${\displaystyle G_{2}\leftarrow }$ contract(${\displaystyle G}$, ${\displaystyle t}$)        return min {fastmincut(${\displaystyle G_{1}}$), fastmincut(${\displaystyle G_{2}}$)}

분석

알고리즘이$$ 특정 컷셋 $C{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle P(n)}$을(를) 찾은 확률 $P{\displaystyle (n)}$ ${\$$displaystyle C}$은(는) 반복 관계에 의해 주어진다$$.

${\displaystyle P(n)=1-\좌(1-{\frac {1}{2}}P\좌({\Bigl \lceil }+{\frac{n}{\sqrt{2}}:{\bigr \rceil }\우)^{2}}:$

$용액{\displaystyle }$ P${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle (1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\log }{}}$ ${\displaystyle \frac{n}{}}$) ${\$ n$}\right)}$을$($를) 사용하여 .fastmincut의 실행 시간이 충족됨

${\displaystyle T(n)=2T\왼쪽({\Bigl \lceil }1+{\frac {n}{\sqrt{2}}:{\Bigr \rceil }\오른쪽)++O(n^{2})}$

with solution ${\displaystyle T(n)=O(n^{2}\log n)}$. To achieve error probability ${\displaystyle O(1/n)}$, the algorithm can be repeated ${\displaystyle O(\log n/P(n))}$ times, for an overall running time of ${\displaystyle T(n)\cdot \frac{\log n}{P(n)}=O(n^2}$${\displaystyle {\log }^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}n}$) ${\displaystyle T(n)\cdot {\frac {\log n}{P(n)}}}=O(n^{2}\log ^{3}n)}$.이것은 카거의 원래 알고리즘보다 크기가 더 나아진 순서다.

개선 바운드

최소 절단을 결정하려면 그래프의 모든 에지를 한 번 이상 터치해야 하는데, 이는 밀도 그래프에서 $\theta {\displaystyle \mathrm{}({n\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle \Teta(n^{2})$ 시간이다$$.Karger-Stein의 min-cut 알고리즘은 $O{\displaystyle }$( ${\displaystyle {n\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle {ln\mathrm{O}}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}}$1 ) $){\displaystyle$O$(n^{2}\ln ^{O$(1$)n$의 실행 시간을 사용하는데, 이 시간은 그에 매우 가깝다.

참조