클레인-브루어 주문

기술 집합 이론에서, 클레어-브루어 순서 또는 루신-시어피에스키 순서는^[1] 어떤 선형 순서 집합,< ) ${\displaystyle (X$에 걸쳐 유한한 시퀀스에 대한 선형 순서로서, 한 시퀀스가 다른 시퀀스의 접두사일 때 사례를 처리하는 방법에서 더 흔히 사용되는 사전 순서와는 다르다.클레네-브루어 순서에서 접두사는 더 빨리 접두사를 포함하는 것보다 더 긴 시퀀스보다 더 늦는다.

클레네-브루어 질서는 유한한 나무에서 반드시 유한하지 않은 나무까지 포스트오더 횡단의 개념을 일반화한다.잘 정돈된 세트의 나무들에게 있어서, 클레네-브루어 주문은 그 자체가 만약 나무에게 무한한 가지가 없다면 그리고 오직 그 나무만이 잘 정돈된 것이다.스테판 콜 클레네, 루이첸 에그베르투스 얀 브루워, 니콜라이 루진, 와카와프 시에르피에스키의 이름을 따서 지은 것이다.

정의

$t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$ 및$$ $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 유한한 요소 시퀀스인$$ 경우$,$ 다음과 $같은$ n ${\displaystyle n$}이(가) 있을 t < ${\displaystystytyle$ t>라고 $한다.$

• ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \upharpoonright n}$= ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \upharpoonright n}$ ${\displaystyle t\upharpoonright n} 및$ $t{\displaystyle (n}$) ${\displaystyle t(n)}$이(가) 정의되었지만 $s{\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}$ ${\$$displaystyle$ $s(n$$)}$이($가$) 정의되지 않음($$$예{\displaystyle }$: t ${\displaystystylease$ s$})$s}) 또는
• $s{\displaystyle }$(${\displaystyle n}$) ${\displaystyle s(n)}$ 및$$ t${\displaystyle }$(${\displaystyle n)}$ ${\displaystyle t(n)}$이(가) 모두 $정의$되며${\displaystyle }$(< ( ${\displaystystyle$ t$($$n){\displaystystythpoonright n}$이 ${\displaystyle \mathrm{정의}}$된다$.$

까지 t{\displaystyle지}가 접두사에 여기서, 표기법 있어↾ n{t\upharpoonright n\displaystyle}참조하지만 t(n){\displaystyle t(n)}포함하지 않다. 간단히 말해서 밀폐된{\displaystyle지}(i.e. s{\di의, 있어<>KBs{\displaystyle t<._{KB}s} 때마다의{s\displaystyle}은 접두사이다.splays$tyle s}$은$($는) $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$보다 먼저$$ 종료되며, $최대{\displaystyle }$ 이점은 t {\displaystyle t} 또는 t ${\displaysty t}$이(가) 서로 다른 첫 번째 위치에서$$ $s{\displaystyle }$ ${\displaysty s}$의 "왼쪽"^[1]에$$ 있다.

나무해석

트리는 기술 집합 이론에서 접두사 연산에 따라 닫히는 유한 시퀀스의 집합으로 정의된다.어떤 시퀀스든 트리의 상위 시퀀스는 최종 요소를 제거함으로써 형성된 더 짧은 시퀀스다.따라서 어떤 유한 시퀀스 집합이라도 증원하여 나무를 형성할 수 있으며, 클레인-브루어 순서는 이 나무에 부여될 수 있는 자연스러운 순서다.유한 나무의 포스트오더 횡단의 잠재적으로 무한대의 나무에 대한 일반화인데, 나무의 모든 노드에서 하위 트리는 왼쪽에서 오른쪽으로 순서를 정하고, 노드 자체는 모든 자식들을 쫓아온다.클레인-브루어 순서가 선형 순서라는 사실(즉, 총체일 뿐 아니라 전이적이라는 사실)은 바로 여기서부터 따르며, 이 세 가지 순서가 transitivity를 시험하는 형태(접두사와 함께)로서 클레어-브루어 순서가 포스트 오더와 일치하는 유한 나무이기 때문이다.

클레인-브루어 주문의 의미는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 잘 정렬되어 있으면$$(클린-브루어 주문이 나무 원소의 잘 정돈되어 있는 경우에만 X ${\displaystyle X}$ 위에 있는 트리의 근거가 충분하다는 사실에서 비롯된다.^[1]

재귀론

재귀 이론에서, 클레인-브루어 순서는 총 재귀 함수 구현의 계산 트리에 적용될 수 있다.계산 트리는 그것에 의해 수행된 계산이 완전히 재귀적인 경우에만 충분히 근거가 있다.계산 트리의 각$$ $상태{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x$$}$에는 순서 번호 x $displaystyle$x}이(가) 할당될 수 있으며${\displaystyle ,<img\; alt="||x||"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/f411b0cc2b3f5be8a75b87fdb6865587b5319e6c"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:3.917ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="106">}$ $여기$서 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle 1$$+ y}$은$($는) 트리의$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 자식 위에 걸쳐 있다$$.이러한 방식으로, 총 재귀 함수 자체는 기능을 구현하는 모든 계산 트리에 걸쳐 최소화된 계산 트리의 루트 서수의 최소 값에 따라 계층 구조로 분류될 수 있다.근거가 충분한 계산 트리의 클레인-브루어 순서는 그 자체로 재귀적 순서가 잘 되어 있으며, 적어도 트리에 할당된 순서자만큼 크며, 그 결과 이 계층의 수준이 재귀 서수들에 의해 색인화된다.^[2]

역사

이 주문은 루신&시어핀스키(1923년)가 사용했고,^[3] 브루워(1924년)가 다시 사용하였다.^[4]브루워는 어떠한 언급도 인용하지 않지만, 모스초바키스는 루신&시어핀스키(1923년)를 본 적이 있거나, 이 작품으로 이어지는 같은 작가의 초기 작품에 영향을 받았을 가능성이 있다고 주장한다.훨씬 후에 클레네(1955)는 같은 순서를 연구하여 브루워에게 공로를 돌렸다.^[5]

참조