콜모고로프 방정식

확률론에서 콜모고로프 전진 방정식과 콜모고로프 후진 방정식을 포함한 콜모고로프 방정식은 확률적 과정의 특성을 나타낸다.특히 그들은 확률적 과정이 특정 상태에 있을 확률은 시간이 지남에 따라 어떻게 변하는지 설명한다.

확산 프로세스 vs 점프 프로세스

안드레이 콜모고로프는 1931년 글을 쓰면서 채프만-콜모고로프 방정식에 의해 기술되는 이산 시간 마르코프 프로세스 이론에서 출발하여 이 방정식을 확장하여 연속 시간 마르코프 프로세스 이론을 도출하고자 하였다.그는 짧은 시간 간격에 걸쳐 가정된 행동에 따라 두 가지 종류의 연속 시간 마코프 과정이 있다는 것을 발견했다.

만약 당신이 "작은 시간 간격에서 국가가 변하지 않을 가능성이 압도적으로 높지만, 만약 그것이 변화한다면, 그 변화는 급진적일 수 있다"^[1]고 가정한다면, 당신은 점프 과정이라고 불리는 것으로 이끌리게 된다.

다른 경우는 "확산 및 브라운 운동에 의해 대표되는" 과정과 같은 과정으로 이어진다. 어떤 시간 간격에서든 어떤 변화가 일어날 것이 확실하다. 다만 여기서, 작은 시간 간격 동안의 변화도 또한 작을 것이다."^[1]

이 두 종류의 공정 각각에 대해 콜모고로프는 방정식의 전진 및 후진 계통(모두 4개)을 도출했다.

역사

이 방정식은 안드레이 콜모고로프의 1931년 기초 작업에서 강조되었기 때문에 그의 이름을 따서 명명되었다.^[2]

1949년 윌리엄 펠러는 점프와 확산 과정에서 콜모고로프 쌍의 보다 일반적인 버전을 위해 "전방 방정식"과 "후방 방정식"이라는 이름을 사용했다.^[1]훨씬 후인 1956년에 그는 점프 과정의 방정식을 "콜모고로프 전진 방정식"과 "콜모고로프 후진 방정식"^[3]이라고 언급하였다.

기무라 모투 등 다른 저자들은 확산식(포커-플랑크)을 콜모고로프 전진식(Kolmogorov forward 방정식)이라고 지칭했는데,^[4] 이 방정식은 그 동안 지속되어 온 이름이다.

현대관

• 점프가 있는 연속 시간 마코프 프로세스의 맥락에서 콜모고로프 방정식(마코프 점프 프로세스)을 참조하십시오.특히 자연과학에서는 포워드 방정식을 마스터 방정식이라고도 한다.
• 확산 과정의 맥락에서, 후방 Kolmogorov 방정식은 Kolmogorov 후진 방정식(diffusion)을 참조한다.전방 콜모고로프 방정식은 포커-플랑크 방정식이라고도 한다.

생물학에서 본보기

생물학의 한 예는 다음과 같다.^[5]

${\displaystyle p_{n}'(t)=(n-1)\n-1}(t)-n_{n}(t)}$

이 방정식은 출생과 함께 인구 증가를 모형화하는 데 적용된다.여기서 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$은(는) 모집단 지수인데, 초기 모집단을 참조하면 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta}$이(가) 출생률이고$$, 마지막으로 ${\displaystyle {pn}_{}(t}$) = $t)$= ${\displaystyle n}$) ${\displaystystyp_{n}=\Pr(N)(n$ 즉 특정 모집단 크기 달성 확률이다.

분석 솔루션은 다음과 같다.^[5]

${\displaystyle p_{n}(t)=(n-1)\cHB e^{-n\buffer t}\int _{0}^{t}\!p_{n-1}s\,e^{n\mathrm {d}s}$

이것은 앞의 것,${\displaystyle 즉}$ ${\displaystyle p_{}}$ $n{\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$( t${\displaystyle }$) ${\$$displaystyle p_{n}(t)$의 밀도 p${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ ( t ){\$displaystyle p_{n-1}(t)}$에 대한$$ 공식이다$.$

참조